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Questions and Answers
Quelle est la formule qui représente l'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi de Bernoulli ?
Quelle est la formule qui représente l'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi de Bernoulli ?
Quel est le paramètre de succès p pour une variable X qui prend la valeur 1 si l'issue est Pile lors d'un lancer de pièce ?
Quel est le paramètre de succès p pour une variable X qui prend la valeur 1 si l'issue est Pile lors d'un lancer de pièce ?
Quelle est la formule de la variance d'une variable aléatoire X suivant une loi de Bernoulli ?
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Pour une loi binomiale B(n; p), quelle condition est vraie concernant les épreuves ?
Pour une loi binomiale B(n; p), quelle condition est vraie concernant les épreuves ?
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Comment est notée une variable aléatoire suivant une loi binomiale avec n épreuves et une probabilité de succès p ?
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Quelle est la loi marginale de la variable aléatoire X ?
Quelle est la loi marginale de la variable aléatoire X ?
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Quel est le calcul de l'espérance E(X) pour la variable aléatoire X ?
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Quelle est la variance V(Y) de la variable aléatoire Y ?
Quelle est la variance V(Y) de la variable aléatoire Y ?
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Quel énoncé décrit correctement la loi conjointe d'un couple de variables aléatoires (X, Y) ?
Quel énoncé décrit correctement la loi conjointe d'un couple de variables aléatoires (X, Y) ?
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Study Notes
Chapitre I: Introduction aux Calculs des Probabilités
- Ce chapitre introduit les calculs de probabilités.
- Il présente l'analyse combinatoire, l'expérience aléatoire, la probabilité et l'indépendance.
- L'analyse combinatoire étudie le comptage des objets et est utilisée en théorie des probabilités.
Analyse combinatoire
- L'analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment compter les objets.
- Elle fournit des méthodes de dénombrement utiles en théorie des probabilités.
- Exemple de dénombrement avec un ensemble de 3 éléments E = {a, b, c} :
- Choisir un seul élément : a, b ou c.
- Choisir deux éléments dans un ordre déterminé : (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b).
- Choisir deux éléments sans ordre déterminé : (a, b), (a, c), (b, c).
- Choisir trois éléments dans un ordre déterminé : (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).
- Choisir trois éléments sans ordre déterminé : (a, b, c).
- Principe multiplicatif :
- Permet de compter le nombre de résultats d'expériences qui se décomposent en une succession de sous-expériences.
- Si une expérience comprend p étapes, la première pouvant se faire de n₁ façons, la deuxième de n₂ façons,..., la dernière de np façons, le nombre total de résultats possibles est n = n₁ × n₂ × ... × np.
- Arrangements sans répétition:
- Soit E un ensemble à n objets et p tel que 1 ≤ p ≤ n.
- Nombre de p-arrangements sans répétition d'un ensemble à n éléments: An,p = n! / (n-p)!.
- Arrangements avec répétition:
- Nombre d'arrangements avec répétition de p objets parmi n : n^p.
Permutations sans répétition
- Une permutation sans répétition de n éléments distincts est une suite ordonnée de ces n éléments.
- Le nombre de permutations de n objets est noté n!
Permutations avec répétition
-
Permettent de calculer le nombre de permutations d'un ensemble contenant des éléments identiques.
-
Formules : n!/(p!q!) ### Combinaisons sans répétition
-
Une combinaison de p objets pris dans E est un sous-ensemble de p de ces n objets.
-
Le nombre de combinaisons sans répétition de p objets parmi n : C(n, p) = n! / (p! (n-p)!).
Combinaisons avec répétition
- Une combinaison avec répétition de p objets pris dans un ensemble de n objets est un sous-ensemble de p éléments choisis parmi n, avec répétition possible.
- Nombre de combinaisons avec répétition de p objets parmi n : K(n, p) = C(n+p-1, p)
Probabilité
- Définition d'une expérience aléatoire.
- Un événement est un sous-ensemble de l'espace fondamental.
- La probabilité d'un événement est un nombre entre 0 et 1.
- En cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas.
### Probabilité conditionnelle
- La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée P(B|A), est la probabilité que l'événement B se produise sachant que l'événement A s'est produit.
- Formule : P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
Indépendance
- Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre.
- Formule : P(A∩B) = P(A) × P(B)
Variables aléatoires discrètes
- Dans une expérience aléatoire, au lieu de s'intéresser aux résultats, on s'intéresse à une caractéristique numérique associée à ces résultats.
Lois discrètes usuelles
- Loi de Bernoulli: modélise une expérience à deux issues (succès/échec).
- Loi binomiale: modélise le nombre de succès dans une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes.
- Loi géométrique: modélise le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès dans une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes.
- Loi de Poisson: modélise le nombre d'événements rares dans une période donnée.
- Formule = e^−λ * λ^k / k! / λ = average rate of event
- k = number of events
- Loi uniforme: modélise le cas où toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire ont la même probabilité.
Couple de variables aléatoires
- Loi de probabilité jointe : donne la probabilité d'obtenir une paire de valeurs pour les deux variables.
- Lois marginales : représentent les lois de probabilités individuelles de chaque variable.
- Indépendance: X et Y sont indépendants si la loi de probabilité jointe est le produit des lois marginales.
- On écrit pᵢⱼ = pᵢ.pⱼ.
Variables aléatoires continues
- Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R.
- Loi uniforme: toutes les valeurs d'un intervalle ont la même probabilité.
- Loi exponentielle: modélise la durée d'attente avant un événement (par exemple, la durée de vie d'un objet).
- Loi normale: une loi continue importante en statistiques.
Fonctions d'une variable aléatoire
- Une fonction appliquée à une variable aléatoire crée une nouvelle variable aléatoire.
Moyenne arithmétique
Variance
Étendue
Statistique descriptive
- Effectifs
- Fréquences
- Représentations graphiques (histogrammes, diagrammes à secteurs, diagrammes en bâtons)
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Description
Testez vos connaissances sur les lois de Bernoulli et binomiales. Ce quiz couvre des notions essentielles telles que l'espérance, la variance, et les conditions des épreuves dans ces lois. Parfait pour les étudiants en statistiques et en probabilités !
