Statistiques - Lois de Bernoulli et Binomiales

Chapitre I: Introduction aux Calculs des Probabilités

• Ce chapitre introduit les calculs de probabilités.
• Il présente l'analyse combinatoire, l'expérience aléatoire, la probabilité et l'indépendance.
• L'analyse combinatoire étudie le comptage des objets et est utilisée en théorie des probabilités.

Analyse combinatoire

• L'analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment compter les objets.
• Elle fournit des méthodes de dénombrement utiles en théorie des probabilités.
• Exemple de dénombrement avec un ensemble de 3 éléments E = {a, b, c} :
  • Choisir un seul élément : a, b ou c.
  • Choisir deux éléments dans un ordre déterminé : (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b).
  • Choisir deux éléments sans ordre déterminé : (a, b), (a, c), (b, c).
  • Choisir trois éléments dans un ordre déterminé : (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).
  • Choisir trois éléments sans ordre déterminé : (a, b, c).
• Principe multiplicatif :
  • Permet de compter le nombre de résultats d'expériences qui se décomposent en une succession de sous-expériences.
  • Si une expérience comprend p étapes, la première pouvant se faire de n₁ façons, la deuxième de n₂ façons,..., la dernière de np façons, le nombre total de résultats possibles est n = n₁ × n₂ × ... × np.
• Arrangements sans répétition:
  • Soit E un ensemble à n objets et p tel que 1 ≤ p ≤ n.
  • Nombre de p-arrangements sans répétition d'un ensemble à n éléments: An,p = n! / (n-p)!.
• Arrangements avec répétition:
  • Nombre d'arrangements avec répétition de p objets parmi n : n^p.

Permutations sans répétition

• Une permutation sans répétition de n éléments distincts est une suite ordonnée de ces n éléments.
• Le nombre de permutations de n objets est noté n!

Permutations avec répétition

• Permettent de calculer le nombre de permutations d'un ensemble contenant des éléments identiques.

• Formules : n!/(p!q!)   ### Combinaisons sans répétition

• Une combinaison de p objets pris dans E est un sous-ensemble de p de ces n objets.

• Le nombre de combinaisons sans répétition de p objets parmi n : C(n, p) = n! / (p! (n-p)!).

Combinaisons avec répétition

• Une combinaison avec répétition de p objets pris dans un ensemble de n objets est un sous-ensemble de p éléments choisis parmi n, avec répétition possible.
• Nombre de combinaisons avec répétition de p objets parmi n : K(n, p) = C(n+p-1, p)

Probabilité

• Définition d'une expérience aléatoire.
• Un événement est un sous-ensemble de l'espace fondamental.
• La probabilité d'un événement est un nombre entre 0 et 1.
• En cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas.

### Probabilité conditionnelle

• La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée P(B|A), est la probabilité que l'événement B se produise sachant que l'événement A s'est produit.
• Formule : P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

Indépendance

• Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre.
• Formule : P(A∩B) = P(A) × P(B)

Variables aléatoires discrètes

• Dans une expérience aléatoire, au lieu de s'intéresser aux résultats, on s'intéresse à une caractéristique numérique associée à ces résultats. 

Lois discrètes usuelles

• Loi de Bernoulli: modélise une expérience à deux issues (succès/échec).
• Loi binomiale: modélise le nombre de succès dans une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes.
• Loi géométrique: modélise le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès dans une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes.
• Loi de Poisson: modélise le nombre d'événements rares dans une période donnée.
  • Formule = e^−λ * λ^k / k! / λ = average rate of event
  • k = number of events
• Loi uniforme: modélise le cas où toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire ont la même probabilité. 

Couple de variables aléatoires

• Loi de probabilité jointe : donne la probabilité d'obtenir une paire de valeurs pour les deux variables.
• Lois marginales : représentent les lois de probabilités individuelles de chaque variable.
• Indépendance: X et Y sont indépendants si la loi de probabilité jointe est le produit des lois marginales.
  • On écrit pᵢⱼ = pᵢ.pⱼ. 

Variables aléatoires continues

• Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R. 
• Loi uniforme: toutes les valeurs d'un intervalle ont la même probabilité.
• Loi exponentielle: modélise la durée d'attente avant un événement (par exemple, la durée de vie d'un objet).
• Loi normale: une loi continue importante en statistiques. 

Fonctions d'une variable aléatoire

• Une fonction appliquée à une variable aléatoire crée une nouvelle variable aléatoire.

Moyenne arithmétique

Variance

Étendue

Statistique descriptive

• Effectifs
• Fréquences
• Représentations graphiques (histogrammes, diagrammes à secteurs, diagrammes en bâtons)