Dérivabilité des Fonctions

Fonctions dérivées

• Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle:
  • Une fonction est dérivable en un point a si elle admet un nombre dérivé en a.
  • Une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable pour tout réel de I.
  • La fonction est souvent dérivable sur son ensemble de définition, mais ce n'est pas toujours le cas.
  • Il est possible pour une fonction d'être définie mais non dérivable en un point.
• Exemple:
  • La fonction |x| définie sur ℝ⁺ est définie en 0 mais n'est pas dérivable en 0. Il y a un "point anguleux" en 0.
  • La fonction est définie par f(x)=-x pour x∈]-∞;0[ et f(x)=x pour x∈[0;+∞[.
  • La fonction n'a pas la même dérivée à droite et à gauche de 0, donc elle n'est pas dérivable en 0.
• Définition de la tangente à une courbe:
  • L'activité consiste à déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f(x) = x² en un point a.
  • Le coefficient directeur de la tangente en a calculé en [f(a+h)-f(a)] / h tends vers h vers 0
• Fonction dérivée:
  • La fonction dérivée de f, notée f', associe à chaque x le nombre dérivé f'(x).
  • Calculé f'a= (lim h->0 [f(a+h) - f(a)]/h) =2a
• Propriété
  • f(x) = b => f'(x)=0 (fonction constante)
  • f(x)= xⁿ => f’(x) = n x⁽ⁿ⁻¹⁾
• Exemples:
  • Si f(x) = x⁵ alors f'(x) = 5x⁴.
  • Si f(x) = x² alors f'(x) = 2x.
  • Si f(x) = 1/x alors f'(x) = -1/x².

Conséquences immédiates

• Quelques dérivées usuelles:
  • f(x)=x => f'(x) = 1
  • f(x)=x² => f'(x) = 2x
  • f(x)= 1/x=> f'(x) = -1/x²
  • f(x)=√x => f'(x) = 1/(2√x)
• Dérivée de xⁿ:
  • Pour la dérivée de xⁿ , si on prend n=1 , On obtient f'(x)= 1.
  • Pour la dérivée de x², on prend n=2 et on a f'(x) =2x
• Démonstration pour 1/x:
  • Déterminer la dérivée de f(x) = 1/x sur ℝ*
  • Calculer f(a+h) - f(a) / h
  • Limite quand h tend vers 0 donne f'(a)=-1/a²