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Questions and Answers
Quelle est la condition pour qu'une fonction soit dérivable en un point a?
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La fonction f(x) = |x| est dérivable en x = 0.
La fonction f(x) = |x| est dérivable en x = 0.
False
La fonction dérivée f' associée à une fonction f définie sur I à chaque x de I est notée f' et correspond à ___ (exprimer en termes de la fonction).
La fonction dérivée f' associée à une fonction f définie sur I à chaque x de I est notée f' et correspond à ___ (exprimer en termes de la fonction).
f'(x)
Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f(x) = x² en a?
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Associez chaque fonction avec sa dérivée correspondante :
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Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = x²?
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = x²?
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La dérivée de f(x) = 1/x est f'(x) = -1/x².
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Quelle est la dérivée de f(x) = √x?
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La dérivée de f(x) = x^3 est __________.
La dérivée de f(x) = x^3 est __________.
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Associez chaque fonction à sa dérivée:
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Pour quelle valeur de n la fonction f(x) = x^n est-elle dérivable sur ℝ?
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La dérivée de f(x) = 3 est égale à 0.
La dérivée de f(x) = 3 est égale à 0.
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Quelle est la formule pour trouver la dérivée de f(x) = x^n?
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Study Notes
Fonctions dérivées
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Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle:
- Une fonction est dérivable en un point a si elle admet un nombre dérivé en a.
- Une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable pour tout réel de I.
- La fonction est souvent dérivable sur son ensemble de définition, mais ce n'est pas toujours le cas.
- Il est possible pour une fonction d'être définie mais non dérivable en un point.
-
Exemple:
- La fonction |x| définie sur ℝ⁺ est définie en 0 mais n'est pas dérivable en 0. Il y a un "point anguleux" en 0.
- La fonction est définie par f(x)=-x pour x∈]-∞;0[ et f(x)=x pour x∈[0;+∞[.
- La fonction n'a pas la même dérivée à droite et à gauche de 0, donc elle n'est pas dérivable en 0.
-
Définition de la tangente à une courbe:
- L'activité consiste à déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f(x) = x² en un point a.
- Le coefficient directeur de la tangente en a calculé en [f(a+h)-f(a)] / h tends vers h vers 0
-
Fonction dérivée:
- La fonction dérivée de f, notée f', associe à chaque x le nombre dérivé f'(x).
- Calculé f'a= (lim h->0 [f(a+h) - f(a)]/h) =2a
-
Propriété
- f(x) = b => f'(x)=0 (fonction constante)
- f(x)= xⁿ => f’(x) = n x⁽ⁿ⁻¹⁾
-
Exemples:
- Si f(x) = x⁵ alors f'(x) = 5x⁴.
- Si f(x) = x² alors f'(x) = 2x.
- Si f(x) = 1/x alors f'(x) = -1/x².
Conséquences immédiates
-
Quelques dérivées usuelles:
- f(x)=x => f'(x) = 1
- f(x)=x² => f'(x) = 2x
- f(x)= 1/x=> f'(x) = -1/x²
- f(x)=√x => f'(x) = 1/(2√x)
-
Dérivée de xⁿ:
- Pour la dérivée de xⁿ , si on prend n=1 , On obtient f'(x)= 1.
- Pour la dérivée de x², on prend n=2 et on a f'(x) =2x
-
Démonstration pour 1/x:
- Déterminer la dérivée de f(x) = 1/x sur ℝ*
- Calculer f(a+h) - f(a) / h
- Limite quand h tend vers 0 donne f'(a)=-1/a²
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Description
Ce quiz aborde la dérivabilité des fonctions sur un intervalle, en examinant des exemples comme la fonction |x|. Les concepts de tangente à une courbe et de coefficients directeurs sont également explorés. Testez vos connaissances sur ces notions fondamentales de l'analyse.
