Sens de Variation et Extrema d'une Fonction PDF

Première Sens de variation et extrema d’une fonction Cours Sens de variation et extrema d’une fonction Une application de la dérivati...

Première Sens de variation et extrema d’une fonction Cours Sens de variation et extrema d’une fonction Une application de la dérivation 1 Variations d’une fonction : rappels et première approche Définition 1.1 – Sens de variation d’une fonction (Vu en seconde) Soit f une fonction définie sur un intervalle I. ∗ f est dite croissante sur I si et seulement si : pour tous réels x1 et x2 de I tels que x1 < x2 , on a f (x1 ) 6 f (x2 ). ∗ f est dite décroissante sur I si et seulement si : pour tous réels x1 et x2 de I tels que x1 < x2 , on a f (x1 ) > f (x2 ). ∗ f est dite monotone sur I si et seulement si f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. Lorsque les inégalités sont strictes, f est strictement monotone (strictement croissante, strictement décroissante). y y sens inverse sens conservé f (x1 ) f (x2 ) f (x2 ) f (x1 ) I I x1 x2 x x1 x2 x (a) f est croissante sur I (b) f est décroissante sur I Figure 1 – Illustration de la définition 1.1 Rappel Soit f une fonction définie sur un intervalle I. y ∗ Si f est dérivable en a ∈ I, alors f 0 (a) est le coefficient direc- teur (ou pente) de la tangente à la courbe de f , au point de 0 (a) coordonnées (a ; f (a)). f e= f (a) pent ∗ Si f 0 (a) = 0 la tangente est horizontale. ∗ Si f 0 (a) > 0 (ou f 0 (a) < 0), la tangente est dirigée vers I le haut (ou vers le bas). a x ∗ Si f est dérivable en tout a de I, alors f est dérivable sur I. On comprend alors que, lorsqu’une fonction est dérivable, il y a un lien fort entre ses variations et sa dérivée (voir exemple 1). Exemple 1 La fonction f est dérivable sur [−6 ; 4]. Sa courbe étant tracée, on en déduit facilement le tableau de variations de f. Janv 2025 1 [email protected] Première Sens de variation et extrema d’une fonction Cours y f 0 (2) = 0 6 f 0 (c 0 ) > < ) 4 (0 b 0 f 0 f x −6 −4 (a 2 4 )< signe 0 − 0 + 0 − 2 de f 0 (x) f 0 (−4) = 0 f (−6) 6 variations I de f 0 x 2 f (4) −6 −4 −2 0 2 4 2 Variations d’une fonction dérivable Propriété 2.1 – Monotonie et signe de la dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. ∗ f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x de I, f 0 (x) > 0. ∗ f est décroissante sur I si et seulement si, pour tout x de I, f 0 (x) 6 0. ∗ f est constante sur I si et seulement si, pour tout x de I, f 0 (x) = 0. Remarque : Ce théorème permet de déterminer les variations d’une fonction à partir du signe de sa dérivée. y y y >0 0 2) f ( f 0 (2) = 0 6 6 6 f 0 (−4) = 0 f 0 (2) = 0 4 4 4 0 > f 0 (−4) = 0 4) 0 (− 2 2 2 f I I I 0 0 0 −6 −4 −2 0 2 4 x −6 −4 −2 0 2 4 x −6 −4 −2 0 2 4 x fonctions strictement croissantes sur I fonctions croissantes sur I Figure 2 – Trois courbes de fonctions croissantes Propriété 2.2 – Monotonie stricte et signe de la dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. ∗ f est strictement croissante sur I si et seulement si f 0 est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où f 0 s’annule. ∗ f est strictement décroissante sur I si et seulement si f 0 est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où f 0 s’annule. Remarque : La phrase « f 0 est strictement positive sur I » signifie : « pour tout x ∈ I, f 0 (x) > 0 ». Janv 2025 2 [email protected] Première Sens de variation et extrema d’une fonction Cours Exemple 2 La fonction cube f : x 7−→ x3 est dérivable sur R. ∗ Pour tout x ∈ R, f 0 (x) = 3x2 > 0. Première conclusion : la fonction cube est croissante sur R. ∗ De plus, f 0 (x) = 0 ⇐⇒ 3x2 = 0 ⇐⇒ x = 0. Ainsi, f 0 est strictement positive sur R, sauf en 0. Deuxième conclusion : la fonction cube est strictement croissante sur R. y 1 x −∞ 0 +∞ signe de f 0 (x) + 0 + 0 −1 0 1 x variations de f 0 −1 Remarque : Observez sur la figure 2 la différence entre croissance stricte et croissance au sens large. 3 Extrema d’une fonction dérivable 3.1 Première approche Exemple 3 La fonction f représentée ci-dessous est dérivable sur son ensemble de définition D = [−3 ; 4]. y 4 M ax = 3, 5− ∗ Rappel de seconde : 3 ∗ Les extrema d’une fonction, lors- qu’ils existent, sont son maxi- 2 mum et son minimum. − 1, 5 = M ax local ∗ 3, 5 est le maximum de f , et il 1 est atteint en 4. En effet, pour tout x ∈ D, f (x) 6 3, 5 et 3, 5 = f (4). 0 ∗ Pour tout x ∈ D, f (x) > −1, 5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 x et −1, 5 = f (1), donc −1, 5 est le minimum de f , il est atteint en 1. −1 ∗ Nouveauté : min = −1, 5− ∗ f admet un maximum local en −2 −1. Il vaut 1, 5. x −3 −1 1 3 4 ∗ f admet un minimum local en signe 0 + 0 − 0 + 0 + de f 0 (x) 1, qui vaut −1, 5. 1, 5 3, 5 variations 0 de f 0, 5 −1, 5 Janv 2025 3 [email protected] Première Sens de variation et extrema d’une fonction Cours 3.2 Définitions et propriétés des extrema Définition 3.1 – Extremum d’une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. ∗ f admet un minimum local en x0 si et seulement s’il existe un intervalle ouvert J contenu dans I et contenant x0 tel que pour tout x de J, f (x) > f (x0 ). ∗ f admet un maximum local en x0 si et seulement s’il existe un intervalle ouvert J contenu dans I et contenant x0 tel que pour tout x de J, f (x) 6 f (x0 ). ∗ Un minimum local ou un maximum local est appelé un extremum local. Exemple 4 En reprenant la fonction f de l’exemple 3 : ∗ L’intervalle J =] − 1, 5 ; −0, 5[ est contenu dans D et contient x0 = −1. De plus, pour tout x ∈ J, f (x) 6 f (−1) = 1, 5. Conclusion : f admet un maximum local en −1, qui vaut 1, 5. ∗ ]0, 8 ; 1, 7[⊂ D et 1 ∈]0, 8 ; 1, 7[. D’autre part, pour tout x ∈]0, 8 ; 1, 7[, f (x) > f (1) = −1, 5. ∗ Par contre, il n’y a pas d’ouvert de D contenant −3, donc f n’admet pas d’extremum en−3. De même en −4. Conclusion : f admet un minimum local en 1, qui vaut −1, 5. Propriété 3.1 – Extremum local et dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f admet un extremum local en x0 , alors f 0 (x0 ) = 0. Attention, la réciproque est fausse ! ans l’exemple 3, f 0 (3) = 0 mais f n’admet pas d’extremum en −3. Propriété 3.2 – Reconnaître un extremum Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, et x0 ∈ I. Si f 0 s’annule en changeant de signe en x0 , alors f admet un extremum en x0. Remarque : La réciproque est vrai (voir exemple 5). Exemple 5 Reprenons la fonction f de l’exemple 3. f est définie sur [−3 ; 4], donc elle est définie sur ] − 3 ; 4[. Dans son tableau de variations, on lit : ∗ f 0 s’annule en changeant de signe en −1, donc f admet un extremum en −1. ∗ f 0 s’annule en 3, mais sans changer de signe. Ainsi, f est strictement monotone sur ]1 ; 4[, qui contient 3. f n’admet donc pas d’extremum en 3. Janv 2025 4 [email protected]