Fragilité et Ductilité des Matériaux (PDF)

MTR1035A Matériaux Unité 3 Fragilité, ductilité Cette présentation est donnée dans le cadre du cours Matériaux MTR1035A de l’École Polytechnique et est sujette au droit d’auteur. ...

MTR1035A Matériaux Unité 3 Fragilité, ductilité Cette présentation est donnée dans le cadre du cours Matériaux MTR1035A de l’École Polytechnique et est sujette au droit d’auteur.  2 Buts de l’unité 3 Expliquer pourquoi la résistance à la traction des matériaux est toujours inférieure à celle calculée théoriquement. Faire la différence entre les matériaux ductiles et fragiles et comprendre quels sont les mécanismes mis en œuvre permettant d’expliquer ces différences. Connaître les systèmes de glissement et calculer les facteurs de Schmid correspondants. Expliquer l’importance des dislocations dans le glissement. Introduire le facteur de concentration de contraintes. Comprendre le rôle déterminant des défauts microscopiques sur les propriétés mécaniques des matériaux. Comprendre quel est l’impact des défauts macroscopiques et de la géométrie sur la résistance de pièces fabriqués. Calculer l’impact du facteur de concentration de contrainte dans différentes configurations afin d’optimiser le design des pièces.  3 Vocabulaire nouveau Cission critique de glissement Multiplication des dislocations Concentration de contrainte Système de glissement Consolidation Contrainte de friction du réseau Défauts (imperfections) Dislocation (coin, vis, mixte) Ductilité Écrouissage Facteur de concentration de contrainte Facteur de Schmid Force sur une dislocation Fragilité Glissement cristallographique  4 Résistance théorique à la traction (Rth) - > énergie de surface pour que les atomes de surfaces soient maintenus en place. σ L’énergie élastique libérée par l’apparition d’une fissure (Wél ) doit compenser l’énergie de surface requise (Ws) pour la création de deux nouvelles surface. Wél = σ2/2E * a2 … par épaisseur unitaire (où E correspond au module d’Young) & Ws -. Ws = 2 γS*a … par épaisseur unitaire (où γS correspond à l’énergie de surface) a Et donc puisque à la rupture nous avons Wél = Ws σ Nous obtenons: la ruptur 𝐄s a longueur de contrainte de rupture dipend de : 3 = =𝟐 Module Young (E) · 𝒂 · Y s lénergie de surface)  5 Énergie élastique libérée - rappel Aire Energie rupture/deformation = sous courb. Volume objet. Le travail fait pour déformer l’éprouvette de traction est égal au volume de l’éprouvette multiplié par l’aire sous la courbe de traction: 𝑊 = න 𝜎𝑛𝑜𝑚 𝑑𝜀 = න 𝜎𝑛𝑜𝑚 𝑑𝜀é𝑙 + න 𝜎𝑛𝑜𝑚 𝑑𝜀𝑝 ▫ Énergie de déformation élastique Wél 𝟏 𝑬𝛆𝟐é𝐥 𝛔𝟐 𝐖é𝐥 = න 𝛔𝐧𝐨𝐦 𝐝𝛆é𝐥 = 𝛔𝛆é𝐥 = = 𝟐 𝟐 𝟐𝑬  Restituable si  est relâchée ▫ Énergie de déformation plastique Wp 𝑊p = න 𝜎𝑛𝑜𝑚 𝑑𝜀p  Dépensée de façon irréversible  Dissipée sous forme de chaleur  6 Résistance théorique à la traction (Rth) Ramenons le problème à l’échelle atomique. σ a0: Distance interatomique dire sous Id aire surface courbe u - Wél = σ2/2E * a0 2 War ao Ws = 2 γS*a0 distance interatorique S armstrong = & a0z Et donc puisque à la rupture des liens atomiques nous avons Wél = Ws 𝐄s Nous obtenons:  = Rth = 𝟐 𝐚𝟎 E contrainte de la résistance théorique à la traction R+h 𝟐𝐄s Analyse plus précise Rth = σ 𝐚𝟎 En insérant des valeurs typiques pour a et γs, nous obtenons Rth ~ E/10  8 Résistance théorique à la traction versus valeurs réelles - Matériau E Rm Rth Rth/Rm (GPa) (MPa) (MPa) Acier doux 210 180 - 500 21 000 > 40 Nickel 210 400-800 21 000 > 25 Silicium 160 150-200 16 000 ~ 80 Cuivre 110 120 - 400 11 000 > 25 Verre 75 30-170 7 500 > 45 Valeurs théoriques sont toujours beaucoup plus élevées que les valeurs réelles. Vrai aussi bien pour les matériaux fragiles que ductiles. la traction théorique à cause défauts donc contrainte à ↓ Grande question --- POURQUOI??? > - les difants (dislocations , joints de grain & fissures  9 Matériaux ductiles et matériaux fragiles 1) De nombreux matériaux sont 2) les matériaux fragiles (aucune ductiles (déformation déformation plastique avant la plastique avant la rupture). rupture) ont aussi une résistance à La contrainte qui correspond la traction Rm bien inférieure à au début de la déformation Rth. plastique (Re) est toujours bien inférieure à Rth.   Rth Rth Rm Re   Pourquoi ? Pourquoi ?  10 Matériaux ductiles σ Domaine de la déformation plastique Rm Quand σ atteint Re, une grande déformation irréversible (déformation plastique) s’ajoute à la déformation Re Wp élastique. À la limite d’élasticité () des matériaux cristallins, le matériau passe d’un comportement élastique à un comportement plastique. Cela signifie qu’une fois cette limite atteinte, la ' déformation devient en grande partie irréversible. La réponse aux contraintes n’est plus linéaire, et des changements permanents dans ε la structure interne du matériau se produisent, marquant le début de la A déformation plastique. Que se passe-t-il à la limite d’élasticité ? & Cas des matériaux cristallins Domaine de la déformation élastique  11 Glissement cristallographique : - - re - -  > Re Déformation plastique d’un monocristal de zinc (Zn) : - o Au-delà d’une certaine contrainte, on observe un cisaillement du cristal sur des plans parallèles inclinés par rapport aux sections droites, ce qui · Fusi résulte en un allongement axial E · irréversible.  > Re  12 Glissement: plan et direction asaillements diplacement des atomes cission = rupture du matériaux Les plans inclinés sont soumis à une contrainte de cisaillement ou cission τ. La déformation plastique s’effectue par glissement cristallographique selon un plan et une direction contenue dans ce plan. - diplacement des atomes seulement certaines directions & plans.  13 Monocristal, système de glissement  Système de glissement : direction de glissement Plan de glissement CFc: (111) lo c. C : (110) + plans de direction de glissement Δl glissement C+ : 2110 CC : < 1117   14 Systèmes de glissement Le glissement se produit sur certains plans cristallographiques et selon certaines directions contenues dans ces plans. Il s’agit principalement des plans et des directions de plus grande densité atomique. Il y a 12 systèmes de glissement pour les structures c.f.c. (a) et c.c. (c), mais seulement 3 pour les structures h.c. (b). Cfc 12 Systèmes glissement h 3 systemes C C 12 systèmes = =. C =.  15 Systèmes de glissement dans la structure CFC ሜ 101 ሜ 011 (11ሜ 1) ሜ (111) (1ሜ 11) ሜ ሜ ሜ 1) (11 ሜ 110 ሜ 110 011ሜ ሜ 101 ሜ 011 4 plans denses {111} 101ሜ 3 directions denses (111) Exam glissement - & direction de 12 systèmes de plan ↳ produit scalaire doit = o glissement dont 8 sont (1-1) + 4 1) + (1 0) - + (1 (1) X < IT O) = indépendants ex : = 1 - 1 + 0 - ሜ 110 = o Ok - ሜ 110 12 plus proches voisins Z 101ሜ 011ሜ Densité 74%  16 Systèmes de glissement dans la structure CC ሜ (110) (011) ሜ 111 ሜ 111 (101) ሜ (011) ሜ (101) 11ሜ 1ሜ (100) + , 0 0 = ሜ 1ሜ 11 , [ (110) 6 plans denses {110} ሜ 111 ሜ 111 2 directions denses + (110) 12 systèmes de glissement dont 8 sont > - indépendants - 8 plus proches voisins 11ሜ 1ሜ ሜ 1ሜ 11 Densité 68%  17 Glissement et cission Le glissement est produit par une cission. Domaine de déformation élastique Domaine de déformation plastique l l l l τ1 τ2 * t = assion minimale pour avoir une τ1 τ2 déformation déformation permanente plastique (τ = 0) t*= cosX. cost Cission: contrainte τ parallèle au plan de glissement. τ2 > τ* > τ1 où τ* est la cission minimale pour avoir une déformation plastique.  18 Contraintez σ et cission τ plan de glissement dF - y dF dN Te x dS dT dS' dz α dy dF dy de frateest 𝑑𝑇 = 𝑑𝐹 cos 𝛼 ~ anglede dF 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑆 𝑑𝑆 ′ = = sin 𝛼 sin 𝛼 - Surface initiale du barreau 𝑑𝐹 𝑑𝐹 𝑑𝑇 𝑑𝐹 cos 𝛼 sin 𝛼 ~ 𝜎𝑛𝑜𝑚 = = 𝜏= = = 𝜎𝑛𝑜𝑚 cos 𝛼 sin 𝛼 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑆 𝑑𝑆′ 𝑑𝑆 ↳ contrainte de ciscullement = cission  19 plans de glissements Loi de Schmid > 4 - ↳ donc diformation est anisotope dipend du : X: entre anglel'axe la normale du plan plan de glissement et de fraction la direction de O : angle entre glissement La cission résolue τ et l'axe de fraction sur le système de glissement est : FS 𝐹 - A normale au plan 𝜏 = cos 𝜒 cos 𝜃 de glissement tirs 𝑆0 ↓ à la direction de. gussement Le facteur de Schmid p cos χ cos θ est compris entre 0 et 𝑭 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝝉= 0,5. 𝑺 La valeur maximum de 0,5 correspond au cas où le cristal est le plus favorablement orienté ( χ = θ = 45°). FACTEUR DE SCHMID : COSCOSE - X = 0 = 45 ° = DEAL  20 Cission critique de glissement Quelle que soit l’orientation du Valeur de la contrainte (F/S0) imposée cristal par rapport à l’axe de Valeur de la cission (τ) calculée traction, la limite d’élasticité est atteinte pour une même valeur critique τ* de la cission. Si : 𝐹 ⑪ 𝜏 = cos 𝜒 cos 𝜃 = 𝜏 ∗ Hirs 𝑆0 polycristal : dibut diformation Alors : plastique quand 𝜏∗ cission critique de glissement (valeur Schmid 0 S =. 𝑅𝑒 = - moyenne calculée) cos 𝜒 cos 𝜃 Dans un polycristal, il y a toujours des grains favorablement orientés : ↑ ↳ cosX Cost 0 S ~ 0,167 On grand x &0 = 45 système = 𝑅𝑒 = 2𝜏 ∗ contrainte.. cission a Facteur de Schmid de glissement est minimale Le monocristal : 4so angles.  21 Cission critique de glissement ~ voir - manuel Cas polycristallin vs monocristallin Polycristallin : Dans un polycristal, les grains sont orientés aléatoirement. Certains grains atteignent le Quelle que soit l’orientation du Valeur de la contrainte (F/S0) imposée facteur de Schmid maximal (0,5) et amorcent le glissement cristal par rapport à l’axe de Valeur de la cission (τ) calculée plastique. Monocristallin : traction, la limite d’élasticité est L’orientation est uniforme. Si x = tetha= 45deg, le glissement se atteinte pour une même valeur produit de manière homogène avec un facteur de Schmid critique τ* de la cission. Si : optimal. 𝐹 𝜏 = cos 𝜒 cos 𝜃 = 𝜏 ∗ 𝑆0 Alors : Exemple: F/So~ 22.5 kPa 𝜏∗ cission critique de glissement (valeur 𝑅𝑒 = moyenne calculée) cos 𝜒 cos 𝜃 Dans un polycristal, il y a toujours des grains favorablement orientés : ~ 0,167 𝑅𝑒 = 2𝜏 ∗ Facteur de Schmid ↳ Re E = = 0 = τ = F/S0 * 0,167 ~ 3.75 T 0 cosXcoso = 0. -O 2 TY. = =  23 Exemple de calcul > direction F - appliquée F On applique une force dans la z direction sur un monocristal y CFC. Comment calculer facteur de x Schmid pour le système de F glissement (111) 110 ሜ. ሜ 110 E direction (111) > plan - glissement. F losx = MrectionF] (planatissement) ( > - 1) [drection FJ11 Ikplan glissement) Il - - Produit scalaire los 0 = -direction F] Edirection glissement] · - 11 (direction #J11 Il direction gissement] 1 F · Cos χ = 001 111 / ∥001∥ *∥111∥ = 1/√3 Cos θ = 001 110/ ∥001∥ *∥110∥ = 0/√2 FS= 0 > - Cost · Cost ↳ Cost = V  24 Exemple de calcul On applique une force dans la z direction sur un monocristal y CFC. Lequel des 12 systèmes de x glissement sera le plus favorisé? F 12 systemes : Plan Direction cos θ cos χ >a - faire pour tous les (111) ሜ 101 0.408 systèmes de glissement (111) ሜ 011 0.408 (111) ሜ 110 0 (1ሜ 11) ሜ ሜ 110 0 (1ሜ 11) ሜ 101 0.408 (1ሜ 11) ሜ 011 0.408 ሜ 1) (11 ሜ 011 - 0.408 F ሜ 1) (11 ሜ ሜ 101 -0.408 ሜ 1) (11 ሜ 110 0 (11ሜ 1) ሜ ሜ 011 -0.408 (11ሜ 1) ሜ 101 -0.408 (11ሜ 1) ሜ 110 0  25 Exemple de calcul On applique une force dans la z direction sur un monocristal y CFC. Lequel des 12 systèmes de x glissement sera le plus favorisé? ↳ tous F égaux Plan Direction cos θ cos χ Schmid le proche de (111) ሜ 101 0.408 garde + 0 S. ↳ valeur absolue ! (111) ሜ 011 0.408 (111) ሜ 0 Zelimine 110 vent dire tous = 0 peq (1ሜ 11) ሜ ሜ 110 0 qu'il n'y a pas de glissement. (1ሜ 11) ሜ 101 0.408 (1ሜ 11) ሜ 011 0.408 ሜ 1) (11 ሜ 011 - 0.408 F ሜ 1) (11 ሜ ሜ 101 -0.408 ሜ 1) (11 ሜ 110 0 (11ሜ 1) ሜ ሜ 011 -0.408 (11ሜ 1) ሜ 101 -0.408 (11ሜ 1) ሜ 110 0  27 Exemple de calcul On applique une force dans la direction sur un monocristal CFC. Lequel des 12 systèmes de glissement sera le plus favorisé? ↳ tous égaux F Plan Direction cos θ cos χ (111) ሜ 101 0 (111) ሜ 011 0 (111) ሜ 110 0 (1ሜ 11) ሜ ሜ 110 0 dietet et (1ሜ 11) ሜ 101 -0.272 LOS O -= 3 Cost CosX · = - 0. 272 (1ሜ 11) ሜ 011 -0.272 =C X ሜ 1) (11 ሜ 011 -0.272 ሜ 1) (11 ሜ ሜ 101 0 ሜ 1) (11 ሜ 110 -0.272 (11ሜ 1) ሜ ሜ 011 0 (11ሜ 1) ሜ 101 -0.272 F (11ሜ 1) ሜ 110 -0.272  29 Exemple de calcul On applique une force dans la direction sur un monocristal CFC. Lequel des 12 systèmes de glissement sera le plus favorisé? Plan Direction cos θ cos χ dir dir. dir dir ሜ lost = (111) 101 0.350 > - (111) ሜ 011 0.175 (111) 0.175 = ሜ 110 F (1ሜ 11) ሜ ሜ 110 0 cox (1ሜ 11) ሜ 101 0 (1ሜ 11) ሜ 011 0 ሜ 1) (11 ሜ 011 - 0.292 ሜ 1) (11 ሜ ሜ 101 -0.117 ሜ 1) (11 ሜ 110 -0.175 (11ሜ 1) ሜ ሜ 011 -0.117 valeur Schmid la (11ሜ 1) ሜ 101 -0.467 > F - ! (11ሜ 1) ሜ 110 -0.350 + grande  30 Exemple de calcul Pour une contrainte de 10 MPa par exemple, nous aurions donc, selon la direction de la traction, différentes valeurs de cissions maximales et F/S0= 10MPa différents systèmes de glissement activés. z Cission (Mpa) selon l’axe de traction y Plan Direction x (111) ሜ 101 4.08 0 3.5 (111) ሜ 011 4.08 0 1.75 (111) ሜ 110 0 0 1.75 (1ሜ 11) ሜ ሜ 110 0 0 0 (1ሜ 11) ሜ 101 4.08 -2.72 0 (1ሜ 11) ሜ 011 4.08 -2.72 0 ሜ 1) (11 ሜ 011 -4.08 -2.72 -2.92 ሜ 1) (11 ሜ ሜ 101 -4.08 0 -1.17 ሜ 1) (11 ሜ 110 0 -2.72 -1.75 (11ሜ 1) ሜ ሜ 011 -4.08 0 -1.17 (11ሜ 1) ሜ 101 -4.08 -2.72 -4.67 (11ሜ 1) ሜ 110 0 -2.72 -3.50 F  31 Polycristaux joints de grains orientés différement ↑ avec monocristaux pir aux autres Les matériaux réels étant pour la plupart constituées d’une multitude de grains, les premiers glissements > - polycristal constitut cristallographiques se produisent dans les grains les de monocristaux. plus favorablement orientés pour lesquels le facteur de Schmid atteint 0.5. Par la suite, le glissement cristallographique s’effectue progressivement dans les autres grains et sur plusieurs systèmes de glissement. La limite d’élasticité (Re) devrait donc être de 2 τ*, où θ = χ = 45° τ* correspond à la cission critique pour initier le Facteur de Schmid (FS) maximum = 0.5 glissement. τ = σ * FS #T 0 = FS. Re = σ , à la limite d’élasticité, et donc Re = 2 τ*  32 Cission critique théorique - assion : brise chacune atomique : demande des Liaisons E τth τth La cission critique théorique est très élevée par rapport aux valeurs expérimentales : τt h = 𝐺 6 σ𝑝 = 𝐸 8 3 matiriaen  34 Écart entre le modèle théorique et la réalité Notre modèle permet de comprendre pourquoi il y déformation plastique avant rupture mais … La contrainte à laquelle apparaît cette déformation  plastique est beaucoup plus basse que ce que nous calculons (Re(th)). Re(th) Métal G (MPa) τth (MPa) τ* (MPa) (Selon direction (Théorie) (Expérimental) Pourquoi t* est beaucoup plus basse ? de glissement) Défauts et dislocations : Dans un matériau réel, une contrainte bien plus faible suffit à faire bouger une dislocation, amorçant Al 24 400 4 800 0.79 Re ainsi la déformation plastique. Concentration locale de contraintes : Les dislocations Ag 25 000 5 000 0.37 concentrent les contraintes sur de petites zones, rendant le glissement plus facile.  Cu 40 700 8 000 0.49 Effets thermiques : À température ambiante, l’énergie thermique facilite le mouvement des dislocations. Feα 59 000 11 500 26.6 Adoucissement dû aux impuretés : Les atomes étrangers et les imperfections réduisent les forces d’interaction entre plans Mg 16 500 3 200 0.39 cristallins. & Pourquoi??  35 Défauts cristallins linéaires : les dislocations inter dans dem plan eleet energie du systeme b demi-plan C T Ligne de dislocation Influence sur les propriétés différence mécaniques: dénerg il entre ▫ limite d'élasticité; demi-plan el reste du ▫ ductilité; ~ système ▫ ténacité.  36 Propagation des dislocations   La cission critique réelle τ* est la cission nécessaire pour faire propager les dislocations. La propagation d’une dislocation à travers le   cristal a aussi pour effet de créer un glissement   unitaire , c.-à-d. une «marche» de glissement, mais à une cission beaucoup plus faible que la précédente.    37 L’analogie du tapis tapis - an complet = cission du cristal complet en 1 coup ↳ E - Pousser bosse = propagation de la dislocation en brisant. colonne atomique pan colonne atonique ↳ ↓E W=F·b 𝒇≪𝑭 W=f·L Analogie entre le déplacement d’une dislocation-coin et celui d’un tapis.  38 Polycristaux o + augmente à cause de FS - -1 ductilité capacité à déformer plastiquement : se glissement commence #sans rupture o Re O ↳ début plasticité * Dislocations expliquent la placticité - explique limite d'élasticité. Les premiers glissements cristallographiques se produisent dans les grains les plus favorablement orientés pour lesquels le facteur de Schmid atteint 0.5. af Par la suite, le glissement cristallographique L > X s’effectue progressivement dans les autres 24 grains et sur plusieurs systèmes de glissement. sors en ↳ plan z La limite d’élasticité (Re) correspond donc à 2 τ*, où τ* correspond à la cission critique pour initier le glissement. En introduisant dans notre modèle la notion de dislocations se traduisant par un glissement facilité, on parvient à mieux expliquer le comportement réel.  39 ductivité - Ductilité ① Quiz L - Transformer un matériau pour obtenir une piece finie ↑ Essentiel pour permettre la mise en œuvre - Il y a quatre conditions pour qu’un matériau cristallin soit ductile : ② - Présence de dislocations - vrai pour tous les cristaux ② - Dislocations mobiles ( mobiles dans rupture) verre = ③ - Multiplication des dislocations ④ - Au moins cinq systèmes de glissement indépendants Ductilité des métaux : CFC > CC > HC  40 Matériaux ductiles Si σ ≥ Re, déformation irréversible (plastique) s’ajoute à la déformation σ élastique. Domaine de la déformation plastique Mesure de la ductilité →Allongement à la rupture A Rm mise en œuvre Résulte du glissement des plans atomiques. des dislocations r Glissements cristallographiques se produisent dans les grains les plus Re Wp d favorablement orientés pour lesquels le facteur de Schmid atteint 0.5. * 24 Il y toujours des grains favorablement orientés dans les polycristaux. ε A La limite d’élasticité (Re) correspond donc à 2 τ*, où τ* correspond à la cission critique pour initier le glissement. Domaine de la Pour augmenter Re, il faut augmenter la force requise pour mettre les déformation élastique dislocations en mouvement (τ*) ce qui s’accomplit en réduisant la mobilité des dislocations.  41 Déformation plastique  - contrainte fonction de augmente la diformation en Rm Entraîne une augmentation de la densité de dislocations ① Quiz Re Réduit la mobilité des dislocations en raison de leur enchevêtrement. déformation plastique Il a = > Augmente la limite d’élasticité (Re) - écrouissage↑ 2% 10% 20%  = dislocations > noire - ↳ até augmente arec. diformation - S Tocations s'encheretrent Dis ↳ comme traffic de a cause des champs contrainte ↳ augmenter contraintes = 2% de déformation 10% de déformation 20% de déformation force dislocations à bouger = pas de blocage.... and on on  42 Écrouissage  Rm Re ↳ début dislocations   43 Écrouissage  Rm σA Applique une contrainte σA> Re Re   44 Écrouissage  Rm σA Applique une contrainte nouvelle limite d'élasticité = Re ↳ matériau σA> Re Re devient + résistant. Retire la contrainte ↳ décharge //au domaine élastique La  déformation plastique permanente  45 Écrouissage – Augmentation de Re  Rm σB ReA Reprend l’essai ReA = σA > Re σB > ReA   46 Écrouissage – Augmentation de Re  Rm Re σB ReA -nouvelle ~ après limite d'élasticité diformation cette Reprend l’essai ReA = σA > Re σB > ReA Retire la contrainte   47 Écrouissage – Augmentation de Re  ductivité réduite -1 Rm Re" ReB O Reprend l’essai ReB = σB > ReA > Re ~ modele d'Young change x Écrouissage =: 3 Re RER 50 ↳ consolidation ↳ doit prendre matériau avec suffisament de ductivité   48 A retenir La ductilité dans les matériaux cristallins résulte du glissement des plans atomiques dans les systèmes de glissement les plus favorables (facteur de Schmid). Le fait que les dislocations facilitent grandement le glissement, réduit d’autant la cission critique (τ*) nécessaire et la limite d’élasticité (Re). Le déplacement des dislocations lorsque la contrainte est supérieure à Re, entraîne une déformation permanente, la déformation plastique. La déformation plastique entraîne une augmentation de la densité de dislocations et une réduction de leur mobilité, augmentant d’autant la limite d’élasticité Re. Il s’agit du phénomène d’écrouissage. ↳ écrouissage = consolidation ·  49 Mais peut-on transformer un matériau ductile en matériau fragile ? Qu Par exemple en réduisant trop la mobilité des dislocations afin d’ augmenter la limite d’élasticité.  50 Des questions demeurent cependant …  = n'exprime plus de ductilité : ductilité épuisée ↳ causant la rupture Re =Rm Si on déforme suffisamment un matériau ductile, on peut obtenir un comportement quasi fragile avec une valeur Re ~ Rm. La valeur de résistance à la traction Rm du matériau cependant ne change pas. Dans tous les cas elle demeure bien inférieure à Rth, tout comme pour les matériaux fragiles.  Pourquoi ?  51 Matériaux fragiles  Rth  E/10 Rm  ~ Re = Rm Les matériaux fragiles (aucune déformation plastique avant rupture) ont une résistance à la traction Rm bien inférieure à Rth. Pourquoi ? ↳ À cause des défauts.  52 Exemple du Verre ↳ très ductile à haute to  53 Expérience de Griffith - 1921 Griffith a fabriqué des fibres individuelles 4136 Valeur de 11 GPa lorsqu’on extrapole à un diamètre de fibre nul, soit près de verre de différents diamètres. de Rth (~14 GPa) ↳ puis essais de traction> mesure Rm - 3447 Il a mesurée la charge entraînant la rupture Résistance à la traction Rm (Mpa) des fibres en traction. 2758 Plus le diamètre des fibres diminuait plus la 2068 résistance à la traction augmentait. Valeur de 170 Mpa lorsqu’on extrapole à un diamètre infini de Effet plus prononcé lorsque le diamètre 1379 fibre, soit Rm du verre standard baisse sous 50 um. 689 25 50 75 100 Diamètre des fibres (um) En extrapolant les valeurs obtenues à des diamètres de fibre nulles, Griffith obtient que la résistance à la traction mesuré (Rm) ~ résistance à la traction théorique (Rth).  54 Expérience de Griffith - Conclusions Résistance théorique peut être atteinte dans des matériaux bien réels. Griffith constate cependant un affaiblissement des propriétés mécaniques des fibres, en particulier les plus fines, avec le temps. Il en déduit que le mécanisme d’affaiblissement est le facteur o au ditant déterminant pour expliquer la résistance mécanique. en fond de fissure + grand que o moyen Introduit la notion de concentration de contrainte à l’échelle microscopique. 40 localement: de concentration o local > Omoyenne zone de concentration de contrainte  55 Concentration de contrainte en tête de fissure F 3F 5F 5F B Fissure A B F 3F 5F 5F Chaîne 3 chaînes 5 chaînes atomiques. atomique atomiques. Chacune résiste à une unique. Chacune force F. Résiste à résiste à une force F. une force F.  56 Concentration de contrainte en tête de fissure F 3F 5F 5F C C C B B C Fissure A Fissure A C B B C C C F 3F 5F 5F Chaîne 3 chaînes 5 chaînes atomiques. atomique atomiques. Chacune résiste à une unique. Chacune force F. Introduit une Résiste à résiste à fissure. Impact sur les une force F. une force F. liaisons A, B et C.  57 Concentration de contrainte en tête de fissure Liaisons ne supportant plus de force F 3F 5F 5F C C C B C B Fissure A Fissure A C B B C C C F 3F 5F 5F Chaîne 3 chaînes Fissure augmente la charge sur les liaisons A atomique atomiques. et B en fond de fissure. Liaisons C ne unique. Chacune supportent plus de charge. Résiste à résiste à une force F. une force F.  58 Concentration de contrainte en tête de fissure Liaisons ne supportant plus de force F 3F 5F 5F C C C C B B zone de Fissure A Fissure A concentration de contrainte C B B C C C F 3F 5F 5F Chaîne 3 chaînes Fissure augmente la charge sur les liaisons A atomique atomiques. et B en fond de fissure. Liaisons C ne unique. Chacune supportent plus de charge. Résiste à résiste à En fond de fissure liaison A doit résister à 4F une force F. une force F. et les 2 liaisons B à 2F.  59 Concentration de contrainte 𝐹 y 𝜎𝑛𝑜𝑚 = 𝑆0 fond de fissure X géo du défaut détermine la valus de x la concentricité de contrainte > K - + z σnom zone de concentration σnom σy de contrainte σmax σy 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡 𝜎𝑛𝑜𝑚 σnom σnom x x σnom Kt = facteur de concentration de contrainte  60 Défaut semi-elliptique microscopique de la fissure plus on sletoigne Q plus Oy se rapproche de From dat être Omax Ro - 𝑎 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡 𝜎𝑛𝑜𝑚 = 1+2 𝜎𝑛𝑜𝑚 𝑟 Le facteur Kt est d’autant plus grand que le défaut est profond et aigu.  61 Résistance théorique et résistance réelle -micron p : Soit un défaut de surface microscopique : ▫ a = 2 μm ▫ r = 0,2 nm 𝑎 2 × 10−6 𝑚 𝐾𝑡 = 1 + 2 =1+2 −9 𝑚 = 201 ≅ 200 𝑟 0,2 × 10 La résistance théorique Rth est atteinte localement pour une contrainte nominale 200 fois plus faible, c.-à-d. dans cet exemple : rupture produit quand se : Rth Kt Rm. Rm = Rth /200 = (I a) = Rm · +  62 Verre Les matériaux réels contiennent toujours des défauts … ou presque. Exemple, le verre E = 75 GPa = 75 000 MPa Rth ≈ E/10 ≈ 7500 MPa 20 um Facteur de Longueur calculée (a) concentration des défauts de contrainte microscopiques (si Pourtant, (Kt) r=0.2 nm) Rayures sur du Pyrex® ▫ Verre ordinaire Rm = 15 MPa ≈ E/5000 500 12.5 um ▫ Fibres vierges (brutes d’étirage) Rm = 3400 MPa ≈ E/20 2.2 résistance catastrophiques aussi fréquentes des bateaux micanque du matériau (26 encore entre 1950 et 1966)??? autrement ductile ***  65 Calculs de Inglis (1913) Introduit la notion de facteur de concentration de contrainte à la pointe de la fissure (Kt). W = width t = thickness Kt = 1+2 𝑎/𝑟 3 donnent formule de Kue ↳ formule pour défaut elliptique Frupture-O w > Donc - - 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡 𝜎𝑛𝑜𝑚 Ovocale = O · kt fissure appliquée r - Rtn = Oforcala Kt ditant Ainsi pour calculer la contrainte on doit non rupture elliptique incu dans matériau seulement tenir de la dimension de l’ouverture ↓ qui détermine 𝜎𝑛𝑜𝑚 (ce qui était l’usage commun à l’époque) … So = So-difant. … mais également de ses caractéristiques géométriques (a et r) qui détermine Kt. Par exemple si 2a = ½ w et a/r = 16, nous avons: 𝝈𝒏𝒐𝒎 = 2 σ et 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 9 𝝈𝒏𝒐𝒎 On pourrait donc ainsi expliquer l’écart entre les valeurs de contrainte mesurées sur le HMS Wolf (𝜎𝑛𝑜𝑚 ) de 80 MPa et les véritables contraintes maximales auxquels le bateau pourraient avoir été soumis … soit 720 MPa dans l’exemple illustré ce qui serait alors supérieur à Rm des aciers de l’époque. ***  66 Géométrie du défaut La notion de concentration de contrainte s’applique pour d’autres types de défauts géométriques, comme des défauts internes ou des marches en surface. Le facteur de concentration de contrainte : dipend de la 𝜎𝑚𝑎𝑥 gio du difaut 𝐾𝑡 = & 𝜎𝑛𝑜𝑚 est fonction de la géométrie du défaut. La résistance à la traction des matériaux fragiles dépend grandement de la nature et de la géométrie des défauts qu’ils renferment (dispersion expérimentale).  67 ↑ Trou circulaire dans une plaque Pour trouver Ke d'un trou utiliser exgraphique à pour ce type de ditant 2 32. · ↳ width ↳ épaisseur 𝐹 = 72 𝑘𝑁 zone de le kz 𝑤 = 250 𝑚𝑚 concentration de en dépend 2𝑟 = 50 𝑚𝑚 ↓ épaisseur-thickness (t) contrainte 𝑒 = 5 𝑚𝑚 = 2𝑟 = 0,2 𝑲𝒕 = 𝟐, 𝟒𝟓 𝑤 𝐹 𝜎𝑛𝑜𝑚 = = 72 𝑀𝑃𝑎 2 3 portante 𝒘 − 𝟐𝒓 𝒆. vrase surface > matérial subit - 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡 𝜎𝑛𝑜𝑚 = 2,45 × 72 𝑀𝑃𝑎 = 176,4 𝑀𝑃𝑎 3x MPa à cause du difaut.  68 Rupture ? Kt > 100 𝑅𝑚 ≪ 𝑅𝑡ℎ 𝐾𝑡, 𝑡𝑟𝑜𝑢 ≈ 2,5 𝜎𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 = 𝐾𝑡 𝜎𝑛𝑜𝑚 Il y a rupture lorsque : > - plus que la moitie O 𝑅𝑚 𝑅𝑚 de Rm 𝜎𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 = 𝑅𝑚 ֜ 𝜎𝑛𝑜𝑚 = ≈ 𝐾𝑡 2,5 ***  69 Facteur de concentration de contrainte (Kt) pour une gorge ***  70 Facteur de concentration de contrainte (Kt) pour un congé ***  71 Exercice 4.5 ***  72 Concentration de contraintes dans les matériaux ductiles Tant que σmax < Re , le matériau a un comportement élastique en tout point et tout se passe comme décrit précédemment. σ max > dislocations a 45 - pour que FS = 0. > plasticité - peq Onom < Re O ↳ fond de fissure Omax < Re = dislocations. σmax = Kt σ nom  73 Concentration de contraintes dans les matériaux ductiles Cependant quand σmax > Re , il apparaît une zone de déformation plastique en fond d’entaille (avec les mécanismes microscopiques correspondants). L’émoussement du fond d’entaille (augmentation du rayon) aura pour effet de diminuer le facteur de concentration de contrainte.  74 Nature et origines des sièges de tout défaut entraine concentration de une contraintes concentration de contraintes. Porosités Rayures Usinage Tracé des pièces ~ profil de surface irrégulier avec défauts de surface Phases de rigidité différentes de ruptine ~ surface de S précipité σnom décohésion de indique la la ruptine raison (inclusion) l’interface = empreinte factographique σ Ep Em σnom matrice σnom εp εm ε ***  75 Exercice 4.7 ***  76 Explications du compo