Chapitre 2 Plasticité des Barres - PDF

Chapitre 2 PLASTICITE DES BARRES 2.1 Essai de traction 2.2 Modélisation du comportement en traction-compression 2.2.1 Modèles parfaits Modèles avec écrouissage 2.2.2 Modèles avec écrouissage 2.2.3 Critère de plasticité 2.2.4 Lois d’écoulement...

Chapitre 2 PLASTICITE DES BARRES 2.1 Essai de traction 2.2 Modélisation du comportement en traction-compression 2.2.1 Modèles parfaits Modèles avec écrouissage 2.2.2 Modèles avec écrouissage 2.2.3 Critère de plasticité 2.2.4 Lois d’écoulement plastique 2.3 Résolution explicite d’un problème d’élasto-plasticité 2.3.1 Solution Analytique 2.3.2 Solution éléments finis 2.4 Résolution numérique d’un problème élasto-plastique 2.4.1 Algorithmes de calcul 2.4.2 Projection sur le critère de plasticité 2.4.3 Application à la structure treillis 2.5 Exercices N. Bourahla (ENP) Introduction Dans ce chapitre nous introduisons les principales notions d’élasto-plasticité à partir de l’analyse de la réponse d’une éprouvette soumise à un essai de traction – compression. La modélisation de cet essai nous permet de présenter différentes schématisations couramment utilisées pour traiter des problèmes d’évolution élasto- plastiques. Nous appliquons ensuite ces modèles au calcul analytique puis numérique des structures treillis composées d’un assemblage de barres. 2.1 Essai de traction Considérons une éprouvette de traction (cylindre homogène droit de section So , de longueur lo ). Cette éprouvette est soumise à un effort de traction F. N. Bourahla (ENP) Pour des petites déformations de l’éprouvette, l’état de contrainte peut être supposé uniforme et uni-axial on obtient alors les contraintes et les déformations nominales: En tenant compte de la variation de la section et la longueur de la barre, on définit les contraintes et les déformations vraies. Un petit changement de la longueur dl résulte et une déformation incrémentale dε= et la déformation totale est la somme de ces déformations incrémentales: 𝑙 𝑑𝑙 𝑙 𝜀 𝑣 =∫ =𝑙𝑛 𝑙0 𝑙 𝑙0 La relation entre la déformation nominale et la déformation vraie est donnée par: 𝜖 𝑣 = ln ⁡( 1+ 𝜀 ) La contrainte vraie est donnée par: 𝐹 𝜎 𝑣= 𝑆 Sous l’hypothèse d’un volume constant, la relation entre la contrainte nominale et la contrainte vraie est donnée par: 𝑙 𝜎 𝑣 =𝜎 N. Bourahla 𝑙0 (ENP) Courbe typique de variation des contraintes nominale et vraie en fonction des déformations nominale et vraie 𝜎 𝜎𝑣 𝜖𝑣 N. Bourahla (ENP) N. Bourahla (ENP) Effectuons maintenant une série de charges–décharges consécutives. L’allure de la courbe de réponse est représentée sur la figure ci-contre. Nous observons une évolution de la limite d’élasticité en traction due à l’écrouissage. N. Bourahla (ENP) En première approximation nous pouvons considérer que : lors des chargements consécutifs la limite d’élasticité suit la courbe du chargement monotone ; l’écoulement plastique ne modifie pas le module d’élasticité. Connaissant la déformation plastique, le seuil de plasticité actuel peut être défini à partir de la courbe d’écrouissage obtenue pour un chargement monotone. En fait le problème de l’évolution du domaine d’élasticité est une des difficultés majeures de la plasticité. Prenons l’exemple d’un chargement cyclique pour montrer que la connaissance de l’état actuel (σ, εp ) ne suffit pas à priori pour définir le domaine d’élasticité actuel. La figure ci-contre représente l’historique d’un cycle de chargement qui suit le trajet : OA-AB-BC. Après décharge nous obtenons le point O’, la déformation plastique est définie par OO’. Or dans cet «état» la limite d’élasticité est différente au premier et au deuxième passage. Cet exemple montre que les lois décrivant l’évolution du domaine d’élasticité ont un caractère N. Bourahla (ENP) essentiellement incrémental. 2.2 Modélisation du comportement en traction – compression modèles multi-linéaire modèles bi-linéaire: ayant la même limite d’élasticité initiale en traction et en compression N. Bourahla (ENP) 2.2.1 Modèles parfaits Pour ces modèles on néglige l’écrouissage du matériau. Le modèle élasto-plastique parfait est utilisé pour simplifier la résolution analytique des problèmes posés. L’interprétation énergétique de la courbe: OABD : énergie totale (travail des efforts intérieurs pour arriver en B) ; OABC : énergie de dissipation plastique ; BCD : énergie de déformation élastique, elle est restituée à la décharge. Le modèle rigide plastique parfait est utilisé pour les problèmes de calcul des charges limites. Pour ces deux modèles, au-delà d’une valeur limite du chargement il y aura écoulement libre du matériau (perte d’équilibre). N. Bourahla (ENP) 2.2.2 Modèles avec écrouissage Lorsqu’il y a écrouissage il faut se donner un modèle pour représenter l’évolution du domaine d’élasticité. Les deux modèles les plus simples sont : L’écrouissage isotrope L’écrouissage cinématique N. Bourahla (ENP) Écrouissage isotrope Ce modèle suppose une dilatation homothétique du domaine d’élasticité par rapport au domaine initial supposé connu. Le coefficient de dilatation dans le cas de l’écrouissage linéaire est défini par le module tangent ET. La limite d’élasticité en compression augmente comme celle de traction. L’énergie de déformation élastique pouvant être absorbée est de plus en plus importante et toujours identique en traction et compression. N. Bourahla (ENP) Écrouissage cinématique Ce modèle suppose une translation sans déformation du domaine d’élasticité initial supposé connu. La translation est définie à partir de la courbe d’écrouissage monotone. Le modèle cinématique respecte l’effet Bauschinger couramment observé pour les matériaux métalliques, à savoir un durcissement dans un sens (sens de l’écoulement plastique) et un adoucissement d’égale amplitude dans le sens contraire (décharge élastique). L’amplitude du domaine d’élasticité reste constante. L’énergie élastique absorbée et pouvant être restituée dans un sens est toujours différente de celle dans l’autre sens. N. Bourahla (ENP) 2.2.3 Critère de plasticité Il s’agit de définir pour l’essai de traction – compression : Les conditions de plastification (seuil de plasticité σs ) ; L’évolution du seuil en fonction des paramètres d’écrouissage σs (h) , h contient l’historique du chargement suivit pour obtenir l’état actuel. N. Bourahla (ENP) Evolution du seuil de plasticité σs (h): Représentons la courbe d’écrouissage monotone en traction par un modèle bi-linéaire. Ce modèle est caractérisé par σ0, la limite d’élasticité initiale, E, le module d’élasticité et ET, le module tangent. Soit un incrément de charge dσ pris à partir d’un état actuel situé sur la frontière du domaine d’élasticité. D’où 1 1 1 ou = + 𝐻 𝐸𝑇 𝐸 N. Bourahla (ENP) N. Bourahla (ENP)  2.2.4 Lois d’écoulement plastique Comment s’effectuent les déformations pour un incrément de charge dσ prit à partir d’un état actuel quelconque (σ , h) Cette condition recouvre les 2 possibilités (en traction): - L’état actuel est à l’intérieur du domaine d’élasticité et la charge ou la décharge est élastique - L’état actuel est sur la frontière du domaine d’élasticité et il y a décharge élastique N. Bourahla (ENP) N. Bourahla (ENP)  2.3 Résolution explicite d’un problème d’élasto-plasticité Appliquons ce qui précède au calcul des structures composées de barres ne travaillant qu’en traction –compression. Pour illustrer les méthodes de résolution explicites, traitons le problème d’évolution élasto-plastique d’une structure treillis simple par les deux méthodes suivantes : - Méthode analytique ; - Méthode des éléments finis. - Barres ont un même matériau, et ont une section S identique - La charge est supposée appliquée infiniment lentement (problème quasi-statique). - Un cycle complet charge –décharge N. Bourahla (ENP) Solution Analytique Matériau est parfaitement plastique : Module d’élasticité: E Limite en traction σ 0 Phase élastique Système hyperstatique: résolution méthode RDM N. Bourahla (ENP) Condition de compatibilité des déformations: == == == = = =F- = == N. Bourahla (ENP) Domaine de validité de la solution: La solution obtenue est valable si les 3 barres restent dans le domaine élastique défini par : En fin de la phase élastique le déplacement vertical v est: 𝑁2h 𝑣= 𝐸𝑆 𝜎 0 𝑆h ¿ 𝐸𝑆 𝜎0 h 𝑣= 𝐸 N. Bourahla (ENP) Phase élasto-plastique Continuons le chargement pour des valeurs de F > F1 Pour un accroissement de charge dF > 0 matériau étant supposé élasto-plastique parfait l’effort dans cette barre reste constant. Validité de la solution : N. Bourahla (ENP) Condition de charge: utilisons la relation de compatibilité des déformations ε2= 2ε1 et la loi de comportement des barres 1 et 3 qui restent élastiques durant cette phase. Pour F = F2 la structure est complètement plastifiée. Le matériau étant supposé élastoplastique parfait, il y a ruine de la structure. Tout accroissement de charge dF > 0 conduit à un écoulement plastique ∞. N. Bourahla (ENP) Diagrammes d’évolution de la flèche en fonction de la charge : 𝜎0 h Pour la phase élastique:𝑣 = 𝐸 Le calcul de la flèche pour F = F2 ne peut se faire qu’à partir de la loi de comportement des barres 1 et 3 qui sont restées élastiques. Ecoulement plastique pour F>F2 N. Bourahla (ENP) Diagramme des efforts en fonction de la charge Efforts dans les barres N1 et N3 Effort dans la barre N2 N. Bourahla (ENP) Décharge élastique Partons de l’état obtenu pour F = F2 (juste avant la ruine) et appliquons un incrément de charge dF < 0 On suppose que : les barres 1 et 3 restent élastiques la barre 2 qui était plastifiée subit une décharge élastique. Le problème est donc régi par les mêmes équations que celles établies en phase élastique. N. Bourahla (ENP) Validité de la solution : Etat de la structure lorsqu’elle est déchargée (F = 0 ) dF = -F2 N. Bourahla (ENP) A l’état déchargé: Le système mécanique satisfait les équations d’équilibre : Les contraintes résiduelles proviennent des déformations plastiques qui ne vérifient pas les conditions de compatibilité en effet : N. Bourahla (ENP) Diagrammes d’évolution de la flèche obtenus après décharge de la structure N. Bourahla (ENP) Diagrammes d’efforts obtenus après décharge de la structure: Pour N1 et N3 Pour N2 N. Bourahla (ENP) Chargement cyclique Le plus simple pour étudier le chargement cyclique est de faire l’étude dans le plan des contraintes (N1 , N2 ). N. Bourahla (ENP) Cas d’un comportement avec écrouissage: On suppose que la loi de comportement est caractérisée par: Phase 1 (élasticité): La solution est identique N. Bourahla (ENP) N. Bourahla (ENP) Phase 3 (plasticité): L’écrouissage permet de poursuivre le chargement pour des valeurs de F > F’2. L’évolution est alors complètement plastique. N. Bourahla (ENP) Phase 4 (décharge élastique): Les équations de décharge élastique ne sont pas modifiées, ce qui change c’est le domaine de validité défini par le domaine d’élasticité. Supposons que la décharge est appliquée en fin de phase 2 Les barres 1 et 3 n’ayant pas plastifiées la limite élastique n’est pas modifiée La barre 2 ayant plastifiée la limite élastique en compression dépend du type d’écrouissage. Pour un écrouissage cinématique N. Bourahla (ENP) Pour un écrouissage isotrope en compression : Le cycle de chargement limite tel que les barres 1 et 3 ne plastifient pas. N. Bourahla (ENP) Diagrammes d’évolution de la flèche 2.9 2.1=(1.1 + ) 1.49=(1+ / 1 √2 2.13 N. Bourahla (ENP) Application: Considérons une section composée de 2 matériaux différents. Le rayon du matériau 2 est deux fois celui du 1. Déterminer l’effort normal élastique, l’effort normal plastique et tracer la courbe contrainte-déformation pour les cas suivant: 1. Les deux matériaux ont des limites élastiques différentes mais un module élastique longitudinal identique: 2. Limites élastiques identiques mais des modules élastiques longitudinaux différents: 3. Limites élastiques différentes et des modules élastiques longitudinaux différents: 2 1 N. Bourahla (ENP) Section composée SOLUTION 1. Les deux matériaux ont des limites élastiques différentes mais un module élastique longitudinal identique: Loi de comportement avec module élastique identique et limite d'élasticité différente des matériaux N. Bourahla (ENP) Effort normal élastique Le matériau 2 plastifie en premier. La contrainte alors dans le matériau 2 sera sa limite élastique d’où: D’après l’hypothèse de la compatibilité géométrique: On a: Ce qui donne : Effort normal plastique Toutes les fibres de la section sont plastifiées, signifie que toutes les fibres ont atteint leur limite élastique, soit : N. Bourahla (ENP) Si l’on fait les calculs en considérant que le rayon du matériau 2 est deux fois celui du 1, que l’on note R ont obtient : Remarque 1: L’effort maximum que l’on peut appliquer en tenant compte du palier plastique est, dans ce cas, deux fois plus important que lors d’un calcul en élasticité. Le calcul plastique permet donc d’utiliser cette réserve de résistance. Courbe Force - déformation: N E Np E =5 Ne N. Bourahla1(ENP) 5 vE/ h 2 Limites élastiques identiques - Modules élastiques identiques Section σ σ e1 = σ e2= σe E1 E2 ε e1 ε e2=10ε e1 ε Loi de comportement avec modules élastiques différents et limites d'élasticité identiques des matériaux N. Bourahla (ENP) Effort normal élastique Equilibre des efforts: N1 + N2 = F Compatibilité des géométrique: Les deux matériaux étant dans le domaine élastique donc: Les deux matériaux ont la même limite élastique donc le matériau 1 qui plastifiera en premier, et donc qui atteindra sa limite élastique en premier: 𝜎𝑒 𝜎 2= 10 Lorsque le matériau 1 rentre en plastification, le matériau 2 est à seulement 10% de sa résistance. N. Bourahla (ENP) L’effort normal élastique est donc : Effort normal plastique L’effort normal plastique est atteint lorsque les matériaux 2 et 1 atteignent leur limite d’élasticité. N Np Ne 1 N. Bourahla (ENP) 10 vE/ h 3 Limites élastiques différentes - Modules élastiques différents σ σ e1 = 5σ e2= 5σe E1=10E2 σ e2 = σe E2 ε e1 ε e2=2ε e1 ε Loi de comportement avec modules élastiques différents et limites d'élasticité identiques différentes des matériaux N. Bourahla (ENP) Effort normal élastique Equilibre des efforts: N1 + N2 = F Compatibilité des géométrique: Les deux matériaux étant dans le domaine élastique donc: On fait une hypothèse sur le matériau plastifiant en premier. Nous considérons directement qu’il s’agit du 1. Sa contrainte sera 5 𝜎 𝑒2 𝜎 𝑒 2 donc 𝜎 2= = < 𝜎𝑒2 10 2 Notre hypothèse sur l’ordre de plastification est exacte. N. Bourahla (ENP) L’effort normal élastique est donc : Effort normal plastique L’effort normal plastique est atteint lorsque les matériaux 2 et 1 atteignent leur limite d’élasticité. N. Bourahla (ENP) N Np Ne 1 vE/ h 2 N. Bourahla (ENP) 2.3.2 Solution éléments finis Modèle éléments finis Le modèle proposé comporte 3 éléments finis (1),(2),(3) pour 4 nœuds soit 8 variables déplacements. Compte tenu des conditions aux limites aux nœuds 2,3,4 nous obtenons un système de 2 équations sur les déplacements inconnus. Phase élastique Matrice raideur : N. Bourahla (ENP) N. Bourahla (ENP) Validité de la solution Calculons les efforts dans les barres en utilisant la loi de comportement Les relations entre N et F étant explicites (résolution analytique), la barre 2 plastifie la première pour le chargement : N. Bourahla (ENP) Phase élasto-plastique Utilisons la loi de comportement dans la barre 2 sous la forme: La raideur de l’élément 2 s’écrit alors k2 = ETS/h et le vecteur force généralisé: Résolution Le problème élasto-plastique s’écrit : d’où la solution : N. Bourahla (ENP) Validité de la solution La solution est valable pour F > F′1 et tant que N1 −σ0S  0. Les efforts dans les barres sont donnés par les lois de comportement : Du fait de la résolution analytique, les relations entre N et F sont explicites et nous déduisons que les barres 1 et 3 plastifient pour : N. Bourahla (ENP) Phase plastique Pour F > F′2 , toutes les barres sont plastifiées. Les équations du problème sont donc de la forme : d’où : N. Bourahla (ENP) Les efforts dans les barres sont donnés par les lois de comportement : Le modèle éléments finis explicite nous permet de résoudre de façon identique les problèmes d’évolution élasto-plastique des structures treillis, car la méthode de résolution est basée sur l’analyse des expressions formelles des efforts. D’un point de vue purement numérique, cette écriture analytique est impossible. Il faut procéder par incrément de charge et tester numériquement que chaque élément de la structure reste dans ou sur la frontière du domaine d’élasticité. N. Bourahla (ENP) 2.4 Résolution numérique d’un problème élasto- plastique Les méthodes de résolution numérique d’un problème élasto-plastique sont des méthodes itératives basées sur la minimisation d’un résidu d’équilibre. On présente dans un premier temps un algorithme utilisant la matrice raideur élastique Algorithmes à chaque itération. de calcul Equation incrémentale: À cette solution correspond pour chaque élément fini un incrément de déformation : avec B, matrice des relations déformations– déplacements de l’élément considéré. C’est l’algorithme de projection sur le critère {σ } de plasticité qui nous permet de déterminer l’état de contrainte correspondant. Ayant calculé {σ } nous calculons pour chaque élément le vecteur des forces nodales élémentaires qui équilibrent cet N. Bourahla (ENP) incrément de contrainte.  L’assemblage des vecteurs élémentaires permet de définir un vecteur force nodale équivalent à l’état de contrainte calculé à partir des lois de comportement. Le résidu est donc défini par : Si le résidu est nul (à la précision près) c’est que la solution obtenue est bonne (cela correspond à un incrément de charge élastique de la structure), si le résidu est non nul (supérieur à la précision voulue) il faut itérer en cherchant la nouvelle solution de En résumé l’algorithme du calcul est de la forme : N. Bourahla (ENP) Une amélioration évidente consiste à utiliser la matrice raideur « tangente » de la structure dans l’état actuel. Cette matrice tient compte des éléments plastifiés. Attention! Le calcul de la matrice tangente et la résolution (calcul de K -1) à chaque itération ont un coût en temps CPU. Dans le cas de la décharge élastique l’utilisation de la matrice raideur initiale donne de meilleurs résultats. En pratique un algorithme de résolution peut utiliser une combinaison des deux processus. N. Bourahla (ENP) L’algorithme qui utilise la matrice tangente c’est la méthode de Newton-Raphson. N. Bourahla (ENP) Remarques : La différence par rapport à un calcul d’élasticité linéaire est: la projection sur le critère de plasticité le calcul de la force nodale équivalente. (détails des calculs dans le paragraphe suivant). Pour le test de convergence sur le résidu, différentes normes peuvent être utilisées, les 2 plus courantes sont : - valeur maximale : - moindre carrés : Pour travailler avec des nombres sans dimension on normalise: N. Bourahla (ENP) Projection sur le critère de plasticité Soit un état actuel (σ , h), le problème posé consiste à calculer pour chaque élément le nouvel état correspondant à un accroissement de déformation {ε}. pour un accroissement de déformation dε donné d’un élément en cours de plastification: L’accroissement de contrainte élastique est défini par: Posons : d’où soit N. Bourahla (ENP) et Le modèle d’écrouissage (cinématique ou isotrope) nous permet de déterminer la valeur de σ. h Dès lors les expressions ci-dessus permettent de déterminer les incréments de contrainte, de déformations plastique et élastique. Il nous reste à ajouter la condition de charge pour obtenir l’algorithme de projection sur le critère de plasticité. N. Bourahla (ENP) Algorithme de projection N. Bourahla (ENP) Application à la structure treillis Appliquons les algorithmes précédents au calcul numérique de la structure treillis. On présente les calculs pour un incrément de charge 1ère itération : N. Bourahla (ENP) On actualise R: calcul du nouveau résidu N. Bourahla (ENP) 2ème itération : N. Bourahla (ENP) 3ème itération : les calculs sont identiques, on trouve : Les résultats des calculs sont représentés sur la figure. Avec Ke, la converge est sûre mais lente. L’utilisation de la matrice tangente nous conduirait directement à la solution cherchée. N. Bourahla (ENP) SERIE D’EXERCICES No2 N. Bourahla (ENP) N. Bourahla (ENP) Exercice 2 N. Bourahla (ENP)  Exercice 3 Soit le système en treillis soumis à une force Q. Les barres verticales ont la même longueur égales l et articulées. La barre horizontale supposée indéformable. La force active verticale d’intensité Q appliquée en D. On désigne par Ni l’effort normal dans la barre i, et par δi son allongement. Le comportement des barres est élastique et parfaitement plastique. Elles ont même section S, même module de Young E (élasticité linéaire). On suppose que chaque barre a, en valeur absolue, la même limite d’élasticité L en traction et en compression. 1. Déterminer la charge de la première plastification 2. Déterminer la charge de ruine 3. Tracer la courbe F- δ2 en chargement et déchargement et déduire le déplacement résiduel. N. Bourahla (ENP)