Analiza Sistemelor de Reglare Automată - Curs 3 PDF

BSA – Curs 3 B.S.A. – 3 1. Analiza sistemelor de reglare automată a) Calculul funcției de transfer b) Calculul performanțelor unui SRA 2. Exemple  A) Analiza sistemelor de reglare automata - Calculul funcției de transfer...

BSA – Curs 3 B.S.A. – 3 1. Analiza sistemelor de reglare automată a) Calculul funcției de transfer b) Calculul performanțelor unui SRA 2. Exemple  A) Analiza sistemelor de reglare automata - Calculul funcției de transfer 𝐻𝑅 (s) 𝑟 𝜀 y Reg a E.E. I.T. T - Fiecare element poate fi descris printr-o funcție de transfer; Obiectul condus poate fi descris prin funcția de transfer 𝐻𝑃 (s) : U(s) M(s) P(s) Y(s) E.E. I.T. T 𝐻1 𝑠 𝐻2 𝑠 𝐻3 𝑠 𝑌 𝑠 = 𝐻1 𝑠 ∙ 𝐻2 𝑠 ∙ 𝐻3 𝑠 ∙ 𝑈 𝑠 BSA – Curs 3  R(s) 𝜀 𝑠 Y 𝑠 𝐻𝑑 𝑠 𝐻𝑝 𝑠 = 𝐻1 𝑠 ∙ 𝐻2 𝑠 ∙ 𝐻3 𝑠 - 𝑌 𝑠 𝐻𝑑 𝑠 : = = 𝐻𝑅 𝑠 ∙ 𝐻𝑃 𝑠 𝜀 𝑠 𝑌 𝑠 = 𝐻𝑑 𝑠 ∙ 𝜀 𝑠 𝜀 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝑌 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐻𝑑 𝑠 ∙ [𝑅 𝑠 − 𝑌 𝑠 ] 1 𝜀 𝑠 = 1+𝐻 𝑠 ∙ 𝑅(𝑠) 𝑑 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝐻0 𝑠 : = 𝑅 = 1+𝐻𝑑 𝑠 𝑑 𝑠 R(s) 𝜀 𝑠 Y 𝑠 𝐻1 𝑠 𝑌 𝑠 = 𝐻1 𝑠 ∙ [𝑅 𝑠 − 𝐻2 𝑠 ∙ 𝑌 𝑠 ] - 1 + 𝐻1 (𝑠) ∙ 𝐻2 (𝑠) ∙ 𝑌 𝑠 = 𝐻1 𝑠 ∙ 𝑅(𝑠) 𝐻2 𝑠 𝐻1 𝑠 𝑌 𝑠 = 1+𝐻 ∙ 𝑅(𝑠) 1 (𝑠)𝐻2 (𝑠) BSA – Curs 3  𝐻1 (𝑠) ∙ 𝐻2 (𝑠) = 𝐻𝑑 𝑠 R(s) 1 𝐻1 𝐻2 Y(s) 𝐻2 1 + 𝐻1 𝐻2 𝐻1 𝑠 𝐻0 𝑠 = 1+𝐻1 (𝑠)𝐻2 (𝑠) Y 𝑠 = 𝐻1 𝑠 + 𝐻2 (𝑠) ∙ 𝑈 𝑠 𝐻1 (𝑠) Y(s) Y(s) H(s) = σ𝑛𝑖=1 𝐻𝑖 (𝑠) -> Conectarea in paralel ; 𝐻2 (𝑠) H(s) = ς𝑛𝑖=1 𝐻𝑖 (𝑠) -> Conectarea in serie ; BSA – Curs 3  Exemple: a) 𝑢 𝑌1 (s) 𝑌1 (𝑠) = H 𝑠 ∙ 𝑈 𝑠 + 𝐻 𝑠 ∙ 𝑌2 𝑠 H(s) H(s) + + 𝑌2 𝑠 H(s) 𝑌2 (𝑠) 𝑌1 𝑠 = H 𝑠 ∙ [𝑈 𝑠 − 𝑌2 (𝑠)] b) U(s) Y(s) H(s) U(s) Y(s) H(s) 𝑌2 (s) H(s) U 𝑠 Y(s) H(s) c) U 𝑠 Y 𝑠 H(s) 𝑌2 𝑠 𝑌2 𝑠 1 𝐻(𝑠) BSA – Curs 3  Exemple: d) U(s) Y(s) Y(s) H(s) H(s) - U(s) 𝑌1 (s) 1 𝑌1 (s) 𝐻(𝑠) e) U(s) Y(s) 𝐻1 (s) U(s) 𝐻1 (s) Y(s) - 1 + 𝐻1 (s)𝐻2 (s) 𝐻2 (s) BSA – Curs 3  I) 𝐺1 + + R(s) 𝐻1 𝐻2 𝐻3 Y(s) - 1 𝐺2 𝐻3 + R(s) Y(s) 𝐻1 𝐻01 - 1 𝐺2 II) 𝐻3 𝐻2 𝑠 ∙ 𝐻3 𝑠 𝐻01 𝑠 = 1 − 𝐻2 𝑠 ∙ 𝐻3 𝑠 ∙ 𝐺1 𝑠 BSA – Curs 3  III) R(s) Y(s) 𝐻1 𝐻01 - 𝐺2 𝐻3 IV) 𝐻1 𝑠 ∙ 𝐻01 𝑠 𝐻0 𝑠 = 𝐺2 𝑠 1 + 𝐻1 𝑠 ∙ 𝐻01 𝑠 ∙ 𝐻3 𝑠 𝐻1 𝑠 ∙ 𝐻3 𝑠 ∙ 𝐻2 𝑠 𝐻0 𝑠 = [1 − 𝐻2 𝑠 ∙ 𝐻3 𝑠 ∙ 𝐺1 𝑠 ] + 𝐻1 (𝑠) ∙ 𝐻2 𝑠 ∙ 𝐻3 𝑠 ∙ 𝐺2 𝑠 BSA – Curs 3  Calculul Performanțelor unui SRA a) R(s) K Y(s) y(t) = 𝑦𝑙 𝑡 + 𝑦𝑓 𝑡 𝐾𝑅 - 𝑇𝑠 + 1 𝑦𝑓 𝑡 = 𝑦𝑡 𝑡 + 𝑦𝑝 𝑡 𝑇0 𝑦ሶ + y t = 𝐾0 ∙ 𝑟(𝑡) 𝑡 y(t) =𝐾0 ∙(1-𝑒 − ൗ𝑇0 ) 𝐾𝑅 ∙ 𝐾 𝐾0 𝐾0 Y(𝑡) 𝐻0 𝑠 = = 𝑇 ∙ 𝑠 + 1 + 𝐾𝑅 ∙ 𝐾 1 + 𝑇0 ∙ 𝑠 1 𝐾𝑅 ∙ 𝐾 𝑇 𝑡 𝐾0 = ;𝑇 = 𝑇0 1 + 𝐾𝑅 ∙ 𝐾 0 1 + 𝐾𝑅 ∙ 𝐾 𝑦𝑝 𝑡 = 𝐾0 𝑡 − 𝑦𝑡 𝑡 = 𝐾0 ∙ 𝑒 𝑇0 𝐾 1 Y(s)=𝐻0 𝑠 ∙ 𝑅 𝑠 = 1+𝑇0 ∙𝑠 ∙ 0 𝑠 1 1 Y(s)=𝐾0 ∙[𝑠 − 1 ] 𝑠+ 𝑇0 BSA – Curs 3  Calculul Performanțelor unui SRA 𝐾0 𝑦ሶ 0 = ; 𝑦𝑡 (𝑡𝑡 ) = 0.05 𝐾0 sau y(𝑡𝑡 ) = 0.95 𝐾0 ; 𝑡𝑡 ≅ 3 𝑇0 𝑇0 b) 𝑦ሷ + 2𝜁 ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑦ሶ + 𝜔𝑛2 ∙ 𝑦 = 𝜔𝑛2 ∙ 𝑟 𝑡 ⋮ y(t)=1+ 𝐶1 ∙ 𝑒 −𝑝1 𝑡 + 𝐶2 ∙ 𝑒 −𝑝2 𝑡 𝜔𝑛2 𝐻0 𝑠 = 2 𝑠 + 2𝜁 ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑠 + 𝜔𝑛2 1 𝜔𝑛2 𝑌 𝑠 = ∙ 2 𝑠 𝑠 + 2𝜁 ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑠 + 𝜔𝑛2 −2∙𝜁∙𝜔𝑛 ∓ 4∙𝜁 2 ∙𝜔𝑛 2 −4∙𝜔2 𝑛 𝑦1,2 = 2 =- 𝜁 ∙ 𝜔𝑛 ∓ 𝜔𝑛 𝜁 2 − 1; sau 𝑝1,2=- 𝜁 ∙ 𝜔𝑛 ∓ j ∙ 𝜔𝑛 1 − 𝜁 2 =-α±𝑗𝜔𝑑 ; 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − 𝜁 2 BSA – Curs 3  𝜔𝑛 𝑝1 𝜔𝑛 1 − 𝜁 2 𝜁 t𝑔 𝜃 = 𝜃 1 − 𝜁2 R −𝜁𝜔𝑛 𝜃= 𝑠𝑖𝑛−1 𝜁 𝜃 – variază de la 0 la 90𝑜 cand 𝜁 variază de la 0 la 1 𝑝2 −𝜔𝑛 1 − 𝜁 2 a) 𝜁 ∈ 0,1 → răspuns oscilant amortizat; 1 𝜔𝑛2 1 𝑠+𝜁∙𝜔𝑛 𝜁∙𝜔𝑛 𝑌 𝑠 = ∙ 2 2 𝑠 𝑠 +2𝜁∙𝜔𝑛 ∙𝑠+𝜔𝑛 = 𝑠 − 2 (𝑠+𝜁∙𝜔𝑛 )2 +𝜔𝑑 − 2 (𝑠+𝜁∙𝜔𝑛 )2 +𝜔𝑑 𝜁 y(t)=𝐿−1 𝑌 𝑠 = 1 − 𝑒 −𝜁∙𝜔𝑛 𝑡 ∙ cos 𝜔𝑑 𝑡 − ∙ 𝑒 −𝜁∙𝜔𝑛𝑡 ∙ s𝑖𝑛 𝜔 𝑑𝑡 1−𝜁 2 componentă tranzitorie componenta stationară a raspunsului BSA – Curs 3  𝜔 𝑠+α L[𝑒 −α𝑡 sin 𝜔𝑡] = (𝑠+α)2+𝜔2 ; L[𝑒 −α𝑡 cos 𝜔𝑡] = (𝑠+α)2+𝜔2 𝑒 −𝜁∙𝜔𝑛 𝑡 y(t)= 1 − ∙ tg(𝜔𝑛 1 − 𝜁 2 + φ); sin φ= 𝜁 ; cos φ= 1 − 𝜁 2 1−𝜁 2 y 𝑦𝑀 𝜁 ∈ (0,1) 𝜁=0 t BSA – Curs 3  𝜔𝑑 − determină frecvența oscilațiilor ; 𝜁 ∙ 𝜔𝑛 − determină viteza de amortizare a oscilatiilor ; Durata regimului tranzitoriu scade când ωn crește pentru un ζ dat 𝜋 −ζ 𝑌𝑀 −1 1−ζ2 σ= 1 %→ σ=𝑒 ln 0.05∙ 1−𝜁 2 σ −σ1 𝑡𝑡 = ; δ = 2σ −𝜁∙𝜔𝑛 1 BSA – Curs 3  b) 𝜁 = 1 → Răspuns amortizat critic 2 𝜔𝑛 𝐻0 𝑠 = ; 𝑦1,2 = −𝜔𝑛 (𝑠+𝜔𝑛 )2 1 2 𝜔𝑛 y(t)= 𝐿−1 𝑠 ∙ (𝑠+𝜔𝑛 )2 = 1 − 𝑒 −𝜁𝜔𝑛𝑡 1 + 𝜔𝑛 𝑡 𝜁 y(t)=1 − 𝑒 −𝜁𝜔𝑛𝑡 cos 𝜔𝑑 𝑡 − ∙ 𝑒 −𝜁∙𝜔𝑛 𝑡 ∙ s𝑖𝑛 𝜔𝑑 𝑡 1−𝜁 2 sin 𝜔𝑛 ∙ 1−𝜁 2 ∙𝑡 sin 𝜔𝑑 𝑡 lim = lim = 𝜔𝑛 𝑡 ζ→1 1−𝜁 2 ζ→1 1−𝜁 2 sin(α∙𝑥) = α când x → 0 𝑥 BSA – Curs 3  c) 𝜁 > 1 →Răspuns supraamortizat 𝑝1,2 = −ζ ∙ 𝜔𝑛 ± 𝜁 2 − 1 ∙ 𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝑒 𝑝1𝑡 𝑒 𝑝2𝑡 𝑦 𝑡 =1− ∙ + 𝑝1 𝑝2 2 ∙ 𝜁2 − 1 1 𝜔𝑛2 1 𝐶1 𝐶2 𝑌 𝑠 = ∙ 2 = + + 𝑠 𝑠 + 2 ∙ ζ ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑠 + 𝜔𝑛2 𝑠 𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 𝜔𝑛 1 𝐶1 = 1 − ∙ 𝑝1 2 ∙ 𝜁2 − 1 𝜔𝑛 1 𝐶2 = 1 − ∙ 𝑝2 2 ∙ 𝜁2 − 1 BSA – Curs 3  Performanțe: 𝑡𝑖 − timpul de întârziere; 𝑡𝑐 − timpul de creștere(y(t) atinge valoarea de regim staționar); 𝑡𝑚 −timpul la care ieșirea atinge valoarea maximă; 𝑦 𝑡𝑚 −𝑦𝑠𝑡 suprareglaj σ = 𝑦𝑠𝑡 % 𝑡𝑡 - timpul tranzitoriu → răspunsul atinge 0.95 sau 0.98 din val, de reg, staționar; ln 0.05∙ 1−𝜁 2 4 3 𝑡𝑡 = → 𝑡𝑡 ≅ 𝜁∙𝜔 (2%) și 𝑡𝑡 ≅ 𝜁∙𝜔 (5%) ; −𝜁∙𝜔𝑛 𝑛 𝑛 −ζ 𝜋 1−𝜁2 1−ζ2 π−φ π−arctan 𝜁 σ=𝑒 ; 𝑡𝑐 = = ; 𝜔𝑑 𝜔𝑛 1−𝜁 2 Cazul general: 𝐵(𝑠) 𝐾∙ ς𝑚 1 (𝑠−𝑧𝑖 ) 𝐻0 𝑠 = = 𝑛 ς1 (𝑠−𝑝𝑗 ) 𝐴(𝑠) BSA – Curs 3  Cerințe: Stabilitate Precizie Performanțe tranzitorii Robustețe Zerouri: → 𝐵 𝑠 = 0 → 𝑧𝑖 Poli: → 𝐴 𝑠 = 0 → 𝑝𝑗 𝑛 𝑛 1 A(s)= ς𝑗=1 2 (𝑠 − 𝑝𝑗 ) ∙ ς𝑘=1(𝑠 + α𝑘 )2 + β2 𝑘 ; (𝑛1 + 𝑛2 = 𝑛) Polii pot fi reali sau complex conjugați. 𝑛1 𝑛2 α𝑘 y(t)=𝐶0 +σ𝑗=1 𝐶𝑗 𝑒 𝑝𝑗 𝑡 + σ𝑘=1 𝑒 −α𝑘 𝑡 cos β𝑘 ∙ 𝑡 − sin(β𝑘 ∙ 𝑡) β𝑘 Astfel, răspunsul sistemului este determinat de poziția polilor și zerourilor sistemului. BSA – Curs 3  Componenta staționară este, în acest caz, dată de valoarea constantei 𝐶0. Stabilitatea unui sistem este definită ca proprietatea de a reveni într-un regim permanent staționar atunci când a fost perturbat din această stare. Dacă 𝑝𝑗 și α𝑘 sunt negative 𝑝𝑗 ∈ ∁−1 , 𝛼𝑘 ∈ ∁−1 componenta tranzitorie tinde la zero când t tinde la infinit. Pentru cazul general, când rădăcinile sunt reale și complexe : 1 𝑛 𝐶𝑖 𝑛2 β𝑘 ∙𝑠+γ𝑘 𝐻0 𝑠 = σ𝑖=1 + σ𝑘=1 𝑠−𝑝𝑖 𝑠 2 +2∙σ𝑘 ∙𝑠+𝜔𝑘 2 BSA – Curs 3  Funcția pondere (răspunsul la intrarea de tip impuls unitar) are forma : 𝑛1 𝑛2 h(t)=𝐿−1 𝐻0 𝑠 = ෍ 𝐶𝑖 ∙ 𝑒 𝑝𝑗 𝑡 + ෍ 𝐶𝑘 ∙ 𝑒 σ𝑘 𝑡 ∙ sin(𝜔𝑘 ∙ 𝑡 + φ𝑘 ) 𝑖=1 𝑘=1 Funcția indicială va fi: 𝑛1 𝑛2 𝑦 𝑡 = ෍ 𝑑𝑖 ∙ 𝑒 𝑝𝑖𝑡 + ෍ 𝑓𝑘 ∙ 𝑒 σ𝑖 𝑡 ∙ sin 𝜔𝑘 ∙ 𝑡 + φ𝑘 + 𝐶0 𝑖=1 𝑘=1 BSA – Curs 3  În ambele cazuri, dacă toți polii funcției de transfer 𝐻0 𝑠 , sunt poziționați în semiplanul stâng în planul complex, componenta tranzitorie tinde la 0 când timpul tinde către infinit. Fiecare pol real contriubuie la răspuns printr-o exponențială; Fiecare pereche de poli complex-conjugați contribuie cu o componentă de tip oscilație. Dacă partea reală este negativă oscilațiile se atenuează când timpul tinde la infinit. Amplitudinea oscilațiilor depinde de reziduri și de zerouri. Polii dominanți determină esențial răspunsul sistemului. Sistemul este stabil dacă pentru intrări limitate, ieșirile converg la o valoare finită, adică răspunsul tranzitoriu tinde la zero când t tinde la infinit lim 𝑦𝑡 𝑡 = 0 ; 𝑡→∞ Sistemul este extern stabil (sau MIMO stabil) dacă toți polii ∈ 𝐶 − Pentru sistemul cu funcția de transfer: 𝑏𝑚 𝑠 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 𝐵 𝑠 𝐻0 𝑠 = = 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 𝐴 𝑠 spunem că este stabil dacă rădăcinile polinomului 𝐴 𝑠 sunt situate în semiplanul stâng al planului complex BSA – Curs 3  Criteriul de stabilitate Routh Coeficienții 𝑎𝑖 ≠ 0 , 𝑎𝑖 > 0 Δ𝐾 > 0 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑛 𝑎𝑛−2 ⋯ 0 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−5 ⋮ ⋯ Δ𝐾 = 0 𝑎𝑛 𝑎𝑛−2 >0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−3 ⋯ BSA – Curs 3