Cours MQ H. Bouchriha PDF

Sommaire Page de titre Sommaire JJ II Avant-propos 10 J I 1Origines de la physique quantique 19...

Sommaire Page de titre Sommaire JJ II Avant-propos 10 J I 1Origines de la physique quantique 19 1 Rayonnement du corps noir Page 4 de 978................... 21 Retour 2 Effet photoe´lectrique....................... Plein e´cran Exercices30 et Proble`mes 3.. Spectres......atomiques....................................... 2Dualite´ onde-corpuscule 77 Fermer 1 Cas de 37 la lumie`re...................... 4 Limite.. 80de validite´ de la physique classique Quitter 2 Cas..de..la. matie`re.............................. 96 50 5 Syste`mes d’unite´s de la physique quantique..........  5 3 Le paquet d’ondes........................ 109 4 Vitesse de phase et vitesse de groupe Exercices.. et.. Proble`mes......... 117 5.. Relations......d’incertitude....... de.. Heisenberg.................... Page de titre 3Particule. 124dans un potentiel stationnaire 151 1 Re´solution de l’e´quation de Schro¨ dinger 13 Sommaire............ 153 1 2 Analogie optique JJ II......................... 160 3 Marche de potentiel J I...et. Proble`mes Exercices................... 162 4.. Barrie`re......de..potentiel.............. 4Bases mathe´matiques.........de. la..me´canique...... quantique..... 169 225 Page 5 de 978 5 1 Puits de potentiel Espace ⇠ des fonctions d’onde d’une particule................... 227............... 179 Retour 2 Notion de repre´sentation - Notations de Dirac 19......... 240 6 Plein e´cran 3 Ope´rateurs line´aires....................... 243 Fermer 4 Ope´rateurs adjoints....................... 254 5 Ope´rateurs hermitiques Quitter..................... 257 6 Vecteurs propres et valeurs propres d’un ope´rateur...... 259 7 Observables  6 Exercices et Proble`mes........................ 287 5Postulats de la me´canique quantique 313 1 E´ nonce´ des postulats Page de titre...................... 316 2 Valeurs moyennes et compatibilite´ des observables...... 330 Sommaire 3 Conservation de la probabilite´ et lien avec la me´canique classique339 JJ II Exercices 4 Syste`meset Proble`mes conservatifs.............................................. 350 J I 6Oscillateur 5 harmonique Ope´rateur d’e´volution 399 1 L’oscillateur harmonique classique...................... 357 6.Application...... des.. postulats......: syste`me 404 a` deux niveaux Page 6 de 978 2 L’oscillateur quantique...... 365...................... 407 374 Retour 3 Valeurs propres de H...................... 410 Plein e´cran 4 Etats propres de H....et. Proble`mes Exercices.................. 422 Fermer 5.. Fonctions.....de. H...... propres.......... 7Moment.cine´tique.................... 428 479 Quitter 6 Valeurs moyennes 1De´finitions et relations des deope´rateurs commutation X et..P.dans....|.ϕn. ⟩.... l’e´tat 482.. 434 7 Oscillateur harmonique isotrope a` trois dimensions....... 441  7 2Valeurs propres et vecteurs propres de →J2 et Jz........ 3 Repre´sentation {|j, m⟩} 486..................... 505 Exercices et Proble`mes 4 Moment cine´tique orbital............................................. 512 Page de titre 8Particule dans un potentiel central. Atome d’hydroge`ne 555 534 1 Etats d’une particule dans un potentiel central Sommaire......... 557 2 Mouvement relatif de deux particules en interaction JJ II....et. Proble`mes Exercices. 565 3.. L’atome d’hydroge`ne...................... J I 9Spin des. particules...................... 574 629 1 Expe´rience de Stern et Gerlach 60................. 632 0 Page 7 de 978 2 Espace des e´tats de spin 1................... 640 2 Retour 3 Syste`me de deux spins 1.................... 657 2 4 Les spineurs Plein e´cran Exercices...et. Proble`mes..........................662..................... Fermer 10 Addition 5 de deux moments Re´sonance cine´............. magne´tique 713 1Addition tiques....de. deux... spins 671 1.................... 718 Quitter 6 Fermions et bosons 2....................... 689 6 9  8 2Addition de deux moments cine´tiques quelconques........................... 3Addition d’un moment cine´tique orbital et d’un spin 2 1... 734... Exercices et proble`mes.................... 758.... 769 Page de titre 11 Perturbations stationnaires et me´thode 793 variationnelle 1 Me´thodes des perturbations stationnaires Sommaire........... 796 2 Me´thode Exercices variationnelle..................... et Proble`mes JJ II......................... 827 12 Perturbation de´pendant du 869 836 J I temps 1 Position du proble`me....................... 871 2 Re´solution approche´e de l’e´quation de Schro¨ dinger Page 8 de 978...... 873 3 Equations de perturbation Retour.................... 877 4 Probabilite´ de transition.................... Plein e´cran. 880 5 Perturbation sinuso¨ıdale Fermer atome......................................... 882.......... 903 6 Perturbation constante Exercices et Proble`mes........................ 910...................... 894 Quitter 7 Re`gle d’or de Fermi....................... 897 8 Perturbation adiabatique..................... 901  9 Liste des exercices et proble` 926 mes Notes biographiques 935 Bibliographie 964 Page de titre Index 971 Sommaire JJ II J I Page 9 de 978 Retour Plein e´cran Fermer Quitter  Page de titre Avant-propos Sommaire Cet ouvrage re´ sulte d’une pratique de l’enseignement de la JJ II me´ canique quantique de vingt-cinq ans effectue´ e dans diverses institutions universitaires et pour divers niveaux a` Paris et surtout a` Tunis. J I Durant cette pe´ riode, j’ai re´ dige´ a` l’intention des e ´ tudiants de multiples cours polycopie´ s mais l’ide´e ne m’e´tait Page 10 de 978 jamais venue d’e´ crire un livre, tellement l’ouvrage de Claude Cohen-Tannoudji (Prix Nobel de Physique), Bernard Diu et Franck Retour Laloe¨ est complet, riche et d’actualite´ malgre´ ses trente ans. C’est en fait sous l’insistance de mes e´ tudiants de the` se que Plein e´cran je me suis laisse´ tenter pour entreprendre cette aventure, dont la seule ambition est de mettre a` la disposition des e´ tudiants un Fermer ouvrage accessible qui les aidera a` se familiariser avec la physique quantique et ses multiples applications dans divers domaines de la connaissance scientifique. Quitter Cette physique qui est ne´ e, il y a un sie` cle pour pallier les insuffisances de la physique classique, a provoque´ un bouleversement intellectuel et phi- losophique e´ tonnant car elle  Avant- 1 propos 1 quable de la continuite´ de l’e´ nergie, et d’autre part, introduit un inde´ terminisme qui choque le sens commun et qui propose une nouvelle fac¸on de penser et d’appre´ hender les lois de la nature. On e´ rigeait, en effet, en principe la discontinuite´ de l’espace sontcar se´les objets pare´ s les uns des autres, tout se termine quelque part, les Page de titre mole´ cules, les atomes, ne s’interpe´ ne` trent pas, il y a des limites bien nettes entre eux, seul est continu le vide dans lequel Sommaire ils flottent. Mais on ne disposait d’aucune notion similaire sur la divisibilite´ de l’e´ nergie : une pierre ne tomberait jamais en un JJ II mouvement saccade´ , le soleil n’e´ clairerait pas par flambe´ es,... Pourtant la hardiesse de Max Planck l’amena, pour expliquer J I les lois du rayonnement, a` s’e´ carter de ce concept de continuite´ et a` discre´ tiser l’e´ nergie en e´ nonc¸ant, le 14 de´ cembre 1900, Page 11 de 978 que les e´ changes d’e´ nergie entre matie` re et rayonnement ne se font pas de fac¸on continue mais par quantite´ s discre` tes et Retour indivisibles appele´ es quanta. Le succe` s fut fulgurant mais le laissa sceptique car sa Plein e´cran formulation refusait de se laisser de´ duire des lois classiques. Il a fallu attendre Albert Einstein qui interpre´ ta en 1904, l’effet photoe ´ lectrique en notant que la loi de Planck pou- vait eˆtre comprise et Fermer pre´cise´e en conside´ rant que le champ e´ lectromagne´ tique consiste en de ve´ ritables corpuscules d’e´ nergie lumineuse : les Quitter quanta de lumie` re ou photons. Compton vint comple´ ter en 1921, cette description en attribuant un caracte` re corpusculaire au photon, qui devient donc dote´ non seulement d’une e´ nergie mais aussi d’une impulsion a` l’image d’une boule de billard en  Avant- 1 propos 2 Cette dualite´ onde-corpuscule de´ couverte pour le photon a e ´ te´ magistrale- ment de´ montre´ e en 1926 par Louis de Broglie pour les particules mate´ rielles et ve´ rifie´ e expe´ rimentalement en 1927 par Davisson et Germer. Elle est a` la base du de Page de titre ´ veloppement sont de une de´ crits par la me´ canique fonction quantique d’onde ou` particules qui contient et toutes les photons informations rela- tives au syste` me qu’ils constituent. Cette fonction est l’essence de la vision probabiliste de la me Sommaire ´ canique quantique, vision qui s’est affirme´ e par la formulation en 1927 du principe d’incertitude de Heisenberg qui stipule qu’il JJ II n’est pas possible de mesurer simultane´ ment la position et l’impulsion d’une particule avec pre´ cision. La notion de J I trajectoire perd ainsi son sens en me´ canique quantique au profit de la notion d’e´ tat quantique, e´ tat qui est perturbe´ par la Page 12 de 978 mesure des grandeurs associe´ es au syste` me et qui est aussi de nature probabiliste. Retour Cet inde´ terminisme propre a` la me´ canique quantique a intrigue´ beaucoup de ses fondateurs, dont Einstein lui-meˆ me Plein e´cran qui, refusant d’admettre, devant l’harmonie de la cre´ ation et la cohe´ rence de l’Univers, que “Dieu joue aux de´ s”, jugeait que les probabilite´ s de la me´ canique quantique devaient pouvoir se de Fermer ´ duire d’une the´ orie plus fondamentale et plus comple` te. Cette nouvelle the´ orie formule´ e entre 1925 et 1927 par les Allemands Quitter Max Bohr, Werner Hei- senberg, Pascual Jordan, les Autrichiens Wolfgang Pauli et Erwin Schro¨ dinger et par le Britannique Paul Dirac, a conduit en 1927 a` l’interpre´ tation connue sous le nom d’interpre´ tation de l’Ecole de Copenhague. Interpre´ tation harmo-  Avant- 1 propos 3 et causale des phe´ nome` nes au profit d’un inde´ terminisme re´ gi par des postu- lats, mais dont les conse´ quences ont acce´ le´ re´ les succe` s dans la queˆ te des lois re´ gissant l’harmonie et l’e ´ quilibre de la nature. Page de titre de´Construite bouche´ sur pour uneexpliquer interpre´les lois comple` tation du rayonnement, la the´ orie te de la structure de quantique la matie` a de l’univers. De l’infiniment petit a` l’infiniment re et grand, elle ne cesse d’e´ tendre son rayon d’action, elle rend Sommaire compte aussi bien des e´ tats ultimes de la matie` re : mole´ cule, atome, noyau, particules e´ le´ mentaires, quark, mais permet aussi JJ II de comprendre certains e´ tats et processus cosmiques telles que la formation et l’e´ volution des e´ toiles. J I Son formalisme relativiste (the´ orie quantique des champs et e´ lectro- dynamique quantique) enregistre de jour en jour des Page 13 de 978 succe` s spectaculaires et l’espoir est permis de de´ boucher sur une the´ orie unifie´ e des interactions fondamentales qui Retour permettent d’avoir une vue de´ taille´ e sur l’origine et la cre ´ ation de l’univers. Plein e´cran Par sa puissance pre´ dictive, la physique quantique ne cesse e ´ galement de permettre la de´ couverte de nouveaux effets qui re ´ volutionnent la techno- logie et qui sont d’un grand impact sur Fermer notre ve´ cu quotidien ; c’est le cas du transistor (1948), du laser (1960) des microprocesseurs (1971), de la micro- scopie a` effet Quitter Tunnel (1981), des nanotechnologies (1990) et dernie` rement des ordinateurs quantiques qui sont en cours de de´ veloppement. Enfin sur le plan e´ piste´ mologique, la physique quantique a provoque´ un ve´ ritable se´ isme intellectuel et continue a` heurter  Avant- 1 propos 4 le nouveau mode de raisonnement qu’elle impose et la nouvelle intuition qu’elle fac¸ onne, raisonnement qui tranche avec la de ´ duction et l’induction habituelles des sciences et qui insuffle une certaine liberte´ de la pense´ e et de l’appre´ hension et un Page de titre apprentissage de indispensables l’humilite´ a` ceux , valeurs tant qui s’adonnent utiles etde la a` l’exercice science. ************** Sommaire **** Le pre´ sent ouvrage s’adresse essentiellement aux e´ tudiants JJ II des maˆıtrises de physique, de sciences physiques, de chimie ainsi qu’aux e´le`ves des e´ coles d’inge´ nieurs qui veulent se J I familiariser avec ce domaine. Il est e´ galement utile aux e´ tudiants de troisie` me cycle et aux chercheurs. Page 14 de 978 Il est structure´ en 12 chapitres e´ quilibre´ s traitant chacun un cours substan- tiel comple´ te´ par de nombreux e´ nonce´ s d’exercices et de proble` mes d’appli- cations dont le corrige´ fera Retour l’objet d’un prochain ouvrage. Des notes bibliographiques place´ es a` la fin de l’ouvrage Plein e´cran permettent de suivre l’itine´ raire de grands noms de la physique quantique et d’en connaˆıtre les principales contributions. Fermer Un CD-Rom interactif accompagnant l’ouvrage permet d’en faciliter l’acce` s et l’exploitation. Quitter Les trois premiers chapitres s’adressent aux e´ tudiants des deuxie` mes anne´ es de premier cycle et du cycle pre´ paratoire aux e´ tudes d’inge´ nieurs. Ils pre´ sentent l’historique de l’ave` nement de la physique quantique et traitent  Avant- 1 propos 5 de la dualite´ onde-corpuscule en introduisant l’e´ quation de Schro¨ dinger a` une dimension et son application a` l’e´ tude des e´ tats d’une particule plonge´ e dans un potentiel stationnaire. Les chapitres suivants s’adressent aux e´ tudiants de deuxie` me cycle sont d’une et utilite´ aux e´ tudiants des maste` res et aux grande Page de titre jeunes chercheurs. Le chapitre 4 pre´ sente le formalisme mathe´ matique sur lequel est construite la me´ canique Sommaire quantique. Bien que simplifie´ , il aborde de manie` re claire, l’essentiel de ce que requiert la compre´ hension et l’utilisation JJ II des concepts quantiques. J I Le chapitre 5 est consacre´ a` l’e´ nonce´ et a` l’interpre´ tation des postulats qui jettent les bases the´ oriques de la me´ canique Page 15 de 978 quantique. Il pre´ sente aussi l’application de ces postulats a` l’e ´ tude des syste` mes a` deux niveaux, qui sont des syste` mes Retour mode` les pour la compre´ hension de nombreux effets physiques. Le chapitre 6 de´ crit l’oscillateur harmonique quantique et son Plein e´cran grand potentiel de ge´ ne´ ralisation a` l’e´ tude de nombreuses situations physiques. Il permet e´ galement une familiarisation efficace au maniement des ope´ rateurs. Le chapitre 7 est Fermer consacre´ a` l’e´ tude du moment cine´ tique qui est une observable d’une grande importance en physique quantique. Le Quitter de´ but du chapitre est assez calculatoire et tre` s technique mais ne pre´ sente pas de difficulte´ majeure. Le chapitre 8 est relatif a` l’e´ tude d’une particule dans un  Avant- 1 propos 6 les e´ nergies propres de l’atome d’hydroge` ne et des atomes hydroge´ no¨ıdes. Le chapitre 9 introduit le spin qui est un moment cine´ tique intrinse` que n’ayant pas d’e´ quivalent en me´ canique classique. Page de titre Il pre´ telle sente que e´ galement les e´ tats spineurs et de´ crit le principe la RMN. desLeme´ thodes 10 chapitre de e´ re´tudie sonance magne´ tique la composition des moments cine ´ tiques qui est essentielle dans de nombreux domaines de la Sommaire physique. Il aborde l’addition de d’abord deux spins2 1 et ge´ ne´ ralise ensuite le formalisme au moments cas de deux cine´ tiques quelconques en introduisant le couplage spin- JJ II orbite. Les chapitres 11 et 12 introduisent les me´ thodes J I d’approximation qui jouent un roˆ le important dans la physique quantique, puisque dans les cas re´ els, l’e´ quation de Schro¨ Page 16 de 978 dinger ne peut eˆ tre re´ solue exactement. On y pre´ sente les me´ thodes d’approximation les plus utilise´ es a` savoir : la the Retour ´ orie des perturbations stationnaires, la me´ thode variationnelle et la the´ orie des perturbations de´ pendant du temps. Des applications issues de proble` mes re´ els illustrent ces me´ thodes Plein e´cran et familiarisent l’e´ tudiant a` leur utilisation. Habib Bouchriha Octobre 2002 Fermer Quitter  Remerciemen 1 ts 7 Remerciements Page de titre Je suis reconnaissant a` mes e´ tudiants de the` se qui m’ont encourage´ a` re´ diger cet ouvrage. Sans leur concours, ce projet Sommaire n’aurait pu voir le jour. Pendant toute une anne´e, ils se sont charge´ s de la frappe et de la composition avec une patience infinie JJ II et un soin exemplaire. La palme d’or revient sans conteste a` Dhouha Gamra et a` Afef Ben Othman qui ont supervise´ le projet, assemble´ les diffe J I ´ rentes parties, dessine´ les figures, effectue´ la mise en page et veille´ a` la cohe´ rence de la pre´ sentation. Leur affection filiale et Page 17 de 978 leur encouragement de tous les jours ont eu raison de mon inertie et de mon de´ faitisme. Je ne saurai trouver les termes expressifs Retour pour les remercier pour tout ce qu’elles ont donne´. Nadia Boutabba, Noura Loussa¨ıef, Sa¨ıd Ride` ne, Tarek Plein e´cran Barhoumi, Olfa Boukari et Ferid Mera¨ı ont e´ te´ pour beaucoup dans la re´ alisation de ce projet. Ils ont excelle´ dans le Fermer traitement de texte avec une gentillesse et une disponibilite´ qui m’ontLotficonfondu. Hassine Ma a trace´ dette nume´ enversriquement certains tout eux reste entie`re graphes commedu le texte, sont mon je le remercie estime et mapour son aide conside´ et pour son amitie´ de tous les ration. Quitter jours.  Remerciemen 1 ts 8 Graˆ ce a` sa profonde culture en physique the´ orique et sa grande maˆıtrise des techniques multime´ dia, Adel Trabelsi a confectionne´ avec brio le CD-Rom accompagnant l’ouvrage. Je le Page de titre remercie pour sa pre´ cieuse collaboration et sa disponibilite´. Je tiens a` exprimer ma reconnaissance aux nombreux Sommaire colle` gues du de´ partement de physique de la Faculte´ des Sciences de Tunis qui ont partage´ avec moi et pendant plusieurs JJ II anne´ es le plaisir d’enseigner la me´ canique quantique. J I Cet ouvrage doit beaucoup aux e´ tudiants des vingt-cinq promotions que j’ai vues passer a` la Faculte´ des Sciences de Page 18 de 978 Tunis. J’en garde un souvenir e´ mu. L’inte´ reˆ t qu’ils ont toujours manifeste´ a` la me´ canique quantique a ren- force´ davantage mes convictions dans le bien-fonde´ de cette partie se´ duisante de la Retour physique. Beaucoup de ces e´ tudiants, qui se reconnaˆıtront, sont aujour- d’hui de brillants colle` gues a` l’universite´ tunisienne. Plein e´cran Je remercie enfin, tout le personnel du Centre de Publication Universitaire pour leur amitie´ de tous les jours ainsi que ma Fermer femme et mon fils pour leur patience et leur soutien. Quitter  Page de titre Chapitre 1 Sommaire JJ II Origines de la physique quantique J I Page 19 de 978 Retour Plein e´cran Fermer Quitter  Rayonnement du corps 2 noir 0 A la fin du dix-neuvie` me sie` cle, les diverses branches de la physique s’inte´ graient dans un e´ difice cohe´ rent base´ sur l’e ´ tude de deux types d’objets distincts, la matie` re et le rayonnement : Page de titre - La matie` mouvement peut re eˆ treestde´faite dela me´ crit par corpuscules parfaitement canique rationnelle de localisables Newton. dont le physiques associe´ es a` ces corpuscules Les grandeurs s’expriment en fonction des composantes de la position et de Sommaire l’impulsion qui sont les variables dynamiques fondamentales. - Le rayonnement est gouverne´ par les lois de l’e JJ II ´ lectromagne´ tisme de Maxwell. Ses variables dynamiques sont les composantes en chaque point de l’espace des champs e J I ´ lectrique et magne´ tique. Le succe` s de la physique e´ tait a` cette e´ poque Page 20 de 978 impressionnant et tous les phe´ nome` nes connus trouvaient leur explication dans le cadre de ce programme classique. Retour A l’aube du vingtie` me sie` cle et avec l’essor des progre` s technologiques, les physiciens se trouve` rent tout a` coup Plein e´cran confronte´ s a` des phe´ nome` nes nou- veaux pour lesquels les pre ´ visions de la the´ orie classique sont en de´ saccord flagrant avec l’expe´ rience. Il fallait donc jeter les bases d’une nouvelle the´ orie Fermer susceptible de pallier les insuffisances de la conception classique. Les phe´ nome` nes qui furent sans doute historiquement a` Quitter l’origine de la naissance de la nouvelle the´ orie sont le rayonnement du corps noir, l’effet photoe´ lectrique et les spectres atomiques.  1. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR 2 1 1. Rayonnement du corps noir 1. De´ finition Un corps noir est un corps qui absorbe inte´ gralement tout Page de titre rayonnement frappant sa surface. Une re´ alisation satisfaisante consiste a` ame´ nager un trou dans une enceinte ferme´ e dont le Sommaire reveˆ tement inte´ rieur absorbe et diffuse la lumie` re qu’il rec¸ oit : un rayon lumineux atteignant la surface, pe´ ne` tre dans JJ II l’enceinte et y subit une suite de re´ flexions plus ou moins diffusantes telles qu’une tre` s faible fraction de l’e´ nergie J I lumineuse incidente puisse ressortir vers l’exte´ rieur, le corps noir se comporte donc comme un absorbant parfait (fig. 1.1). Page 21 de 978 Retour Plein e´cran Fermer Figure1.1 : Re´ alisation pratique d’un Quitter corps noir  Rayonnement du corps noir 2 2 1.2. Faits expe´ rimentaux et interpre´ tation classique Chauffe´ a` haute tempe´ rature, le corps noir e´ met de la lumie` re a` toutes les longueurs d’onde. Si l’on porte en fonction de la longueur d’onde, la densite´ d’e´ nergie radiative (fig. 1.2), Page de titre on obtient une courbe re´ gulie` re tendant vers ze´ ro pour les grandes et pour les faibles longueurs d’onde et pre´ sentant un Sommaire maximum pour une longueur d’onde λ M de´ pendant simplement de la tempe´ rature suivant la loi dite de “de JJ II ´ placement de Wien” (1896). λ M T = C 0 = 0.2898 (1.1 cm.K ) J I Page 22 de 978 Retour Plein e´cran Fermer Figure 1.2 : Densite´ d’e´ nergie rayonne´ e par le corps noir pour diffe´ rentes tempe´ ratures Quitter (a) en fonction de la fre´ quence, (b) en fonction de la longueur d’onde  Rayonnement du corps 2 noir 3 Pour expliquer ces re´ sultats, Rayleigh et Jeans, utilisant la the´ orie e´ lectromagne´ tique et la me´ canique statistique, propose` rent que “le champ e´ lectromagne´ tique rayonne´ est duˆ a` un ensemble de´ nombrable d’oscillateurs harmoniques line Page de titre ´ aires qui vibrent”. La densite´ d’e´ nergie rayonne´ e est alors donne´ e par : I ν (ν, T ) = ρ(ν) (1.2 Sommaire ⟨E(ν, T )⟩ ) ou` ρ(ν) repre´ sente le nombre d’oscillateurs par unite´ de volume et ⟨E(ν, l’e´ nergieTmoyenne )⟩ de chaque oscillateur. Ces deux grandeurs sont JJ II calculables par la me´ canique statistique et valent respectivement : J I 8πν ρ(ν) 2 (1.3 = c3 R0 ) Page 23 de 978 ∞ Ee—E/kT 0 dE = (1.4 ⟨E (ν, T )⟩ = ∞ e—E/kT kT ) Retour R On aboutit ainsi a` la loi de Rayleigh- dE Jeans : 8 Plein e´cran I ν (⌫, T ) = 2 (1.5 π ) kTν Fermer c 3 loi est quadratique en ν et n’est en accord avec l’expe Cette ´ rience que pour les faibles fre´ quences (fig. 1.3). En outre elle est inacceptable physiquement car l’inte´ grale de I ν (ν, T ) par Quitter rapport a` ν diverge, ce qui conduirait a` une e´ nergie rayonne´ e infinie, c’est “la catastrophe de l’ultraviolet”.  Rayonnement du corps 2 noir 4 Page de titre Sommaire JJ II J I Page 24 de 978 Figure 1.3 Catastrophe de : l’ultraviolet Retour 1.3. Loi de Planck Plein e´cran Pour obtenir un accord avec les observations expe´ rimentales, Planck a e´ te´ amene´ a` s’e´ carter de la me´ canique statistique Fermer et a` e´ valuer de fac¸on diffe´ rente l’e´ nergie moyenne de chaque oscillateur. Le 14 De´ cembre 1900, il e´ mit l’ide´ e que : Quitter  Rayonnement du corps 2 noir 5 “Les e´ changes d’e´ nergie entre la matie` re et le rayonnement ne se font pas de fac¸on continue mais par quantite´ s discre` tes et indivisibles.” Plus pre´ cise´ ment, l’e´ nergie de chaque oscillateur est un Page de titre multiple d’une donne´ e ε soit : E n = nε. valeurentier Dans ce cas, ⟨E(ν, T )⟩ se calculera simplement par P∞ : P∞ Sommaire —En/ En kT ε n e—nε/kT n= n= ⟨E(ν, T )⟩ 0 P ∞ e = 0P ∞ (1.6 JJ II = ) e—En —nε/kT /kT n=0 n=0 e J I ε en posant = x, cette expression devient : k Page 25 de 978 T P∞ ε n e—nx n= ⟨E(ν, T )⟩ 0P ∞ (1.7 Retour = e—nx ) n= 0 Plein e´cran Le de´ nominateur n’est autre que la limite d’une progression ge ´ ome´ trique de raison e—x : Fermer P∞ 1 — —nx e e—n x = 1 + e—x + e—2 x + · · ·n → ∞ n= 1 — e—x 11 — e 0 = lim ( Quitter —x ) = (1.8 )  Rayonnement du corps 2 noir 6 quant au nume´ rateur, pour le calculer il suffit de remarquer que : d ne—nx = — (e— (1.9 nx d ) ) x Page de titre La se´ rie e´ tant convergente, on a : ∞ 1 e—x Sommaire P n e—nx (1.10 nd= = — ( ) = dx 1 — e —x (1 — ) 0 JJ II de sorte e ) —x 2 que —x ε J I ⟨E(ν, T )⟩ ε e —x = x = (1.11 1— e ε— 1 e(kT ε )— ) = e 1 Page 26 de 978 e t 8πν ε Retour I ν (ν, T ) 2 ε (1.12 c3 e( )— ) = kT Plein e´cran 1 Pour que cette relation soit en accord avec l’expe´ rience c’est quea`l’on dire aitpour lim ν → ∞ I ν (ν, T ) = 0, il faut que ε soit une fonction Fermer ν croissante. Planck adepose´ ε = hν ou` h est une nouvelle constante universelle appele´ e “constante de Planck”. Il s’ensuit alors que : Quitter  Rayonnement du corps 2 noir 7 “Les e´ changes d’e´ nergie entre la matie` re et le rayonnement se font par quantite´ s discre` tes et indivisibles d’e´ nergie hν appele´ es quanta.” Quanta e´ tant le pluriel latin de quantum, qui signifie “quantite ´.” Page de titre La loi de Planck s’e´ crit alors dans toute sa gloire sous la forme : 8πν 2 I⌫ (⌫, T (1.13 Sommaire hν3 )= c e( h⌫ — ) kT 1 JJ II La recherche du maximum ) de I ν (ν, T ), en fonction de ν permet, en utilisant la loi empirique de Wien (1), de de´ terminer la J I valeur de la constante de Planck qu’on trouve e´ gale a` : h = 6, 64.10—3 4 J.s. Page 27 de 978 On remarque qu’aux basses fre´ quences la loi de Planck redonne bien la loi de Rayleigh-Jeans et qu’aux hautes fre´ quences, on retrouve la de´ croissance exponentielle observe´ e expe Retour * Si hν ⌧ enalor ´ rimentalement, effet :e( khTv ≈ 1 +hν soit kT s ) kT : Plein e´cran 8πν ⟨E(ν, T )⟩ ≈ kT et I ν (ν, 2 k (1.14 T) = c 3 T ) Fermer A la tempe´ rature ambiante (kT = 0.025 eV) ceci n’est valable que 13 si : — 1 Quitter ν ⌧ 10 s (1.15 )  Rayonnement du corps 2 noir 8 * Si hν alor ( hv e kT soit kT s ) 1 : (— kh Tv ) 8π 2 ⟨E(ν, T )⟩ ≈ hνe et I ν (ν, T ) hν (— kh Tv ) ν 3 Page de titre = c e La loi de Planck peut s’exprimer e´ galement en fonction de la longueur d’onde. Elle s’e´ crit alors : Sommaire 2πc2h( I λ (λ, T ) hc ) (1.16 JJ II 1 5 e = λ ZkT — ) Cette expression est repre´ sente´ e par la courbe en traits J I 1 pleins de la figure 1.4 et elle est en accord parfait avec l’expe ´ rience. Page 28 de 978 Retour Plein e´cran Fermer Quitter  Rayonnement du corps 2 noir 9 Figure 1.4 : Confrontation des the´ ories classique et quantique du rayonnement du corps noir avec l’expe´ rience L’inte´ gration de I λ (λ, T ) par rapport a` λ permet d’atteindre Page de titre la puissanceZtotale ∞ e´ mise par le corps noir. Cette puissance est donne´ c P e par : I λ (λ, T ) dλ 4 (1.17 Sommaire 4 0 ) = = σT JJ II 2π5k ou` σ 4 = 5.67 × 10—8 15c 2h = 3 S.I J I Cette loi est connue sous le nom de “loi de Stefan” et σ est la constante de Stefan. Page 29 de 978 Retour Plein e´cran Fermer Quitter  3 2. EFFET PHOTOE´ 0 LECTRIQUE 2. Effet photoe´ lectrique 1. Faits expe´ rimentaux Au de´ but du sie` cle, il e´ tait expe´ rimentalement connu Page de titre que lorsque de la lumie` re (visible ou ultraviolette) tombe sur une surface me´ tallique, des e´ lectrons sont e´ jecte´ s par cette Sommaire surface. Ce phe´ nome` ne peut eˆ tre pre´ visible par la the´ orie classique : la lumie` re e´ tant une onde e´ lectromagne´ tique, le JJ II champ e´ lectrique qui lui est associe´ peut induire une force qui s’exerce sur les e´ lectrons de la surface me´ tallique et e´ jecter J I certains d’entre eux. Une expe´ rience typique fut celle de Millikan (1916) : on Page 30 de 978 dispose dans une cellule transparente a` la lumie` re ultraviolette et ou` re` gne un vide pousse´ , deux plaques. L’une est appele´ e cathode (C), et est constitue´ e, en ge´ ne´ ral, par un me´ tal Retour alcalin, l’autre est me´ tallique, et est appele´ e anode (A). Ces deux plaques sont relie´es aux bornes d’un ge´ ne´ rateur, de sorte Plein e´cran a` e´tablir une tension U A C entre elles. Fermer Quitter  Effet photoe 3 ´ lectrique 1 Page de titre Sommaire Figure 1.5 : Cellule photoe ´ lectrique JJ II Lorsqu’on e´ claire la cathode par une radiation monochromatique, un courant d’intensite´ I peut traverser le circuit (fig. 1.5). J I On constate que : * Ce courant ne s’observe que si les radiations ont une Page 31 de 978 fre´ quence supe´ rieure a` une certaine valeur ν0 appele´e “seuil de fre´ quence de la cathode” (tableau I-1). Retour Me´ tal Pt Ag Cu Zn Ba Na K Cs 14 Plein e´cran ν0 × 10 15, 8 11, 1 10, 3 8, 1 6, 0 5, 8 5, 6 4, 6 Hz λ0(µm) 0, 19 0, 27 0, 29 0, 37 0, 50 0, 52 0, 54 0, 65 Fermer Tableau I-1 : Seuil photoe´ lectrique pour diffe ´ rents me´ taux Quitter  Effet photoe´ lectrique 32 *Lorsque la tension U A C augmente, l’intensite´ I du courant augmente et tend vers une limite appele´ e “intensite´ de saturation”. Cette limite augmente avec la puissance du faisceau lumineux incident (fig. 1.6). Page de titre ** Lorsque Le courant s’annule Upour la tension AC tensionunU Acourant une nulle, est C = —U , Ua I 0 atraverse est appele´ encore “potentiel e t” le circuit. d’arreˆ (fig.Le1.6). potentiel d’arreˆ t Ua de´ pend de la fre´ quence : il est nul Sommaire pour ν < ν0 et croˆıt line´ airement avec ν pour ν > ν0 (fig. 1.7). JJ II J I Page 32 de 978 Retour Plein e´cran Figure 1.6 : Caracte´ ristique d’une Figure 1.7 : Variation cellule photoe pour une du po- ´ lectrique fre tentiel d’arreˆ t en fonction Fermer ´ quence donne´ e et de la pour deux fre´ quence. Quitter puissances diffe du faisceau ´ rentes incident (P2 > P1)  Effet photoe´ lectrique 33 L’intensite´ de saturation et le potentiel d’arreˆ t peuvent s’interpre´ ter aise´ ment. En effet, lorsque U A C est positive, les e ´ lectrons e´ mis par la cathode sont acce´ le´ re´ s par le champ e ´ lectrique existant entre A et C et se dirigent vers l’anode, Page de titre Lorsque U A C naissance donnant ainsi a` un courant est ne´ gative, dans le sont les e´ lectrons circuit exte´ rieur. freine´s par le champ e´ lectrique et selon leur vitesse d’e´ mission, certains d’entre eux peuvent atteindre l’anode, alors que d’autres Sommaire retournent vers la cathode. On peut calculer la valeur du potentiel d’arreˆ t en appliquant JJ II le the´ ore` me de l’e´ nergie cine´ tique a` un e´ lectron de masse m se de´ plac¸ant de C vers A avec la vitesse V : 1 J I mV2 — mV = eUC A = (1.18 1 A2 — eUA C ) 2 Page 33 de 978 Si le courant I est nul, aucun e´ lectron n’atteint l’anode et VA 2 = 0, soit : 1mV2 = —eU Retour AC (1.19 = eUa ) 2 Plein e´cran L’e´ nergie cine´ tique des e´ lectrons est donc comme Ua. Elle est nulle pour Fermer ν < ν0 et croˆıt line´ airement lorsque ν > ν0. 1 V Ua (1.20 m 2 = ) Quitter 2 e  Effet photoe´ lectrique 3 4 2.2. Interpre´ tation quantique La de´ pendance simple de l’e´ nergie cine´ tique des e´ lectrons en fonction de la fre´ quence et son inde´ pendance de la puissance du faisceau incident ne trouvent pas d’explication dans Page de titre le cadre de la the´ orie classique. L’explication de ces phe´ nome` nes fut donne´ e par Einstein en Sommaire 1905. Il nota que la loi de Planck pouvait eˆ tre comprise et pre ´ cise´ e en conside´ rant que le champ e´ lectromagne´ tique JJ II consiste en de ve´ ritables corpuscules d’e´ nergie lumineuse hν (les quanta de lumie` re ou photons) : dans ce cas, le quantum d’e J I ´ nergie peut eˆ tre transmis en totalite´ a` un e´ lectron. Cet e ´ lectron acquiert l’e´ nergie E = hν au moment ou` il est encore dans le me´ tal : si on suppose qu’il est ne´ cessaire d’effectuer un Page 34 de 978 E C = Etravail certain —WW , pour l’extraire du me´ tal, cet e´ lectron sera soit : e´ mis avec l’e´ nergie cine´ tique : donc Retour (1.21 E C = hν — ) W estWune constante caracte´ ristique du me´ tal, inde´ pendante Plein e´cran de ν et appele´ e “travail d’extraction”. Comme l’e´ nergie cine´ tique E C est positive ou nulle, on a ne Fermer ´ cessairement : hν — W (1.22 Quitter ≥ 0 )  Effet photoe 3 ´ lectrique 5 soi t W ν ≥ = (1.23 h ) νs Page de titre Le courant ne s’observe donc que pour des fre´ quences supe ´ rieures a` la fre´ quence seuil νs. Sommaire On remarque aussi que l’e´ nergie cine´ tique des e´ lectrons varie line´ airement avec la fre´ quence et est inde´ pendante de l’intensite´ de la lumie` re, ce qui est conforme a` l’expe´ rience. JJ II Cette loi rend donc directement compte des aspects “non classiques” de l’effet photoe´ lectrique. Elle fournit de plus, une J I valeur expe´ rimentale de h a` partir de la variation du potentiel d’arreˆ t avec la fre´ quence (fig. 1.8). On a en effet : Page 35 de 978 1 h W mV 2 = eU a = hν — W =⇒ Ua = (1.24 2 ( )ν — e ) Retour e On obtient une valeur de h qui co¨ıncide exactement avec la Plein e´cran constante de Planck. Fermer Quitter  Effet photoe 3 ´ lectrique 6 Page de titre Sommaire Figure 1.8 : Variation du potentiel JJ II d’arreˆ t Ua en fonction de la fre´ quence ν J I Bien que cet effet soit phe´ nome´ nologiquement distinct du rayonnement du corps noir, il s’interpre` te avec les meˆ mes Page 36 de 978 concepts, ce qui montre qu’il s’agit bien de la naissance d’une the ´ orie d’un grand potentiel de ge´ ne´ ralisation. Retour Plein e´cran Fermer Quitter  3. SPECTRES ATOMIQUES 3 7 3. Spectres atomiques 1. Proble` me de la stabilite´ de l’atome Le fait que la matie` re est forme´ e d’atomes et que les atomes Page de titre contiennent des grains d’e´ lectricite´ de charges ne´ gatives appele´ es e´ lectrons e´ tait une re´ alite´ admise a` la fin du 19e Sommaire ´me sie` cle : le proble` me e´ tait alors de concevoir un “mode` le” pour la structure de l’atome. JJ II Un des premiers mode` les propose´ s est celui de J.J Thomson ou` il conside´ rait, que l’atome est constitue´ d’une J I sphe` re pleine de rayon R de l’ordre de 10—8cm, uniforme´ ment charge´ e positivement et contenant des e´ lectrons qui vibrent Page 37 de 978 librement, le nombre de ces e´ lectrons devant satisfaire la neutralite ´ e´ lectrique de l’atome. Ce mode` le, tre` s simple, a permis de rendre compte des phe Retour ´ nome` nes de dispersion et de diffusion de la lumie` re mais fut en violent de´ saccord avec les expe´ riences de diffusion du Plein e´cran rayonnement α (ions H e + + ) effectue´ es par Rutherford (1911) qui montre` rent que l’atome est presque vide, et se limite Fermer pratiquement a` un noyau compact de faibles dimensions (10—15 a` 10—14 charge —m). La quasi-totalite´ de la masse de l’atome est concentre Quitter ´e q dans. Un ce noyau mode` qui a, de le statique plus, et (noyau la e´ charge +Zq lectrons avec Z est , ou`des le rang positions de respectives l’e´ le´ ment correspondant dans le tableau de Mendele¨ıev. L’atome e´ tant neutre, il comporte donc Z e´ lectrons de  Spectres atomiques 38 fixes) e´ tant e´ limine´ imme´ diatement par la loi de Coulomb, Rutherford ima- gina un mode` le dynamique plane´ taire ou` les e ´ lectrons gravitent autour du noyau comme les plane` tes autour dulectroniques e´ Soleil. L’identite´ formelle elliptiques, de´de l’interac- crites tion suivant la gravitationnelle loi des aires, en et de Page de titre l’interaction comple` coulombienne te analo- gie avec conduit a` des trajectoires les trajectoires des plane` tes autour du Soleil. Sommaire JJ II J I Page 38 de 978 Retour Plein e´cran Figure 1.9 : Chute de l’e´ lectron sur le noyau Fermer Ne´ anmoins, un tel mode` le est en de´ saccord avec les lois de l’e ´ lectromagne´ tisme car, a` l’inverse des plane` tes, les e´ lectrons sont Quitter des particules charge´ es et au cours de leur rotation autour du noyau, ces charges acce´ le´ re´ es, rayonnent un  Spectres atomiques 39 champ e´ lectromagne´ tique auquel elles ce` dent une partie de leur e´ nergie. Il en re´ sulte alors un freinage des e´ lectrons qui finiront par tomber sur le noyau : l’atome ne serait donc pas stable ! ! ! (fig. la exhiber 1.9). raison supple´ mentaire suivante : la fre´ quence du Page de titre Cela est e´ mis rayonnement videmment suffisant est e´ gale pour en the´ orie rejeter ce mode` e´ lectromagne´ le tique mais ona`peut classique, la fre´ quence du mouvement uniforme de rotation de Sommaire l’e´ lectron. Cette fre´ quence doit donc varier continuˆ ment avec le rayon de l’orbite lors de la chute de l’e´ lectron. Il en re´ sulte que le JJ II spectre d’e´ mission des atomes doit eˆ tre continu entre deux fre ´ quences limites, et ceci est de nouveau contraire a` l’expe J I ´ rience ou` on observe un spectre discontinu (fig. 1.10). Page 39 de 978 Retour Plein e´cran Fermer Figure 1.10 : Spectre de raies de l’atome Quitter d’hydroge` ne  Spectres atomiques 40 En effet, de` s 1885 Balmer constata que le spectre de l’atome d’hydroge` ne est un spectre de raies, c’est a` dire que les fre ´ quences e´ mises forment une suite discre` te. Il montra en plus, que l’ensemble✓ des raies ◆ connues satisfont la relation empirique : Page de titre 1= 1 avec m < (1.25 1R H — m2 n ) Sommaire λ ou` R H = 1,n 2 repre´ sente la constante de Rydberg JJ II 097.107m—1 pour l’hy- droge` ne. J I 3.2. Mode` le de Bohr (1913) Page 40 de 978 Pour expliquer ces observations expe´ rimentales et ces formulations empi- riques, Bohr a e´ te´ amene´ a` admettre deux postulats nouveaux : Retour 1- Les e´ lectrons ne s’observent que dans des orbites “permises” dans lesquelles ils ont des e´nergies bien de´ termine´ es : ces orbites sont de Plein e´cran ´ finies par la condition de quantification : Fermer Z (1.26 —→p. d—→l= nh ) Quitter ou` n est un nombre entier positif appele´ nombre quantique.  Spectres atomiques 41 Cette condition se simplifie lorsqu’on admet un mouvement circulaire des e´ lectrons autour du noyau suppose´ immobile, et donnem: V r = h n (1.27 n n Page de titre ) 2π 2- Quand l’e´ lectron de´ crit une orbite stationnaire, l’atome n’e´ met Sommaire (ni n’absorbe) aucun rayonnement. L’e´ mission (ou l’absorption) est de ´ termine´ e uniquement par le passage de l’e´ lectron d’une orbite d’e´ nergie JJ II E n à une orbite d’e´ nergie plus petite (ou plus grande) E m (fig. 1.11). La fre´ quence νnm du rayonnement e´ mis (ou absorbe´ ) est donne´ e par : J I 1 (1.28 νn m = (En— Page 41 de 978 h ) Em ) Retour Plein e´cran Fermer Quitter Figure 1.11 : Emission et absorption d’un photon par un atome  Spectres atomiques 42 Les conse´ quences de ces postulats vont nous permettre, en principe, de rendre compte des faits expe´ rimentaux observe´ s dans l’hydroge` ne : Page de titre * L’e´ quilibre entre la force centrifuge et l’attraction V coulombienne 2 n exerce´ q2 —q e par le noyau sur l’e´ lectron de charge(1.29 Sommaire m donne : rn 4πε0n ) r2 JJ II = En combinant les relations (1.27) et (1.29) on obtient : o0 h J I rn 2 2 n2 = 0a 2 (1.30 πm ) = n q Page 42 de 978 e t 1 q2 1 Vn = (1.31 Retour V 2 0o0 h n = ) n Plein e´cran rn est le rayon de l’orbite d’ordre n et Vn la vitesse de l’e´ lectron dans cette orbite. Fermer a0 est le rayon de Bohr qui correspond a` n = 1, a0 = 0, 529A˚. * En admettant que le proton est au repos dans le re´ fe Quitter l’e´´nergie rentielde atomique, l’atome d’hydroge` ne est e´ gale a` l’e´ nergie totale de l’e´ lectron, qui  Spectres 4 atomiques 3 est la somme de son e´ nergie potentielle et de son e´ nergie cine´ tique, soit : 1 q2 1 2 En = E pot + E cin = + n (1.32 4πε0 2 ) — mV d’apre` s (1.29) r n Page de titre on a : 1 1 q2 mV2n (1.33 Sommaire 2 2 ) = 4πε r ce qui donne 0 n pour JJ II En : 1 q2 En = (1.34 2 4πε0 ) J I — r et en remplac¸ant n rn par sa valeur on Page 43 de 978 obtient : 1 mq4 R∞ mq En = = avec R∞ (1.35 1 4πε 2 2 2n n2 4 8ε2 Retour — 0 — = ) h 2 0 h 2 La fre´ quence du rayonnement e´ mis est d’apre` s (1.28) : Plein e´cran 1 ∞ R∞ R∞ 1 1 νnm = — + ) = ( — avec m < (1.36 R h ( ) n2 m2 n ) Fermer h et sa longueur d’onde λ est telle m 2 n2 que : 1 = R H (1 2 — 1 Quitter λ ) m (1.37 n2 )  Spectres 4 atomiques 4 ou ` R1 RH = 4 2 3 (1.38 mq = hc 8o0 ) Page de titre chainsi la formule empirique de Balmer et on atteint On retrouve une valeur de R H identique a` la valeur de la constante de Sommaire Rydberg pour l’hydroge` ne mesure´ e par Balmer ( R H = 109677 cm—1). JJ II Avec ce re´ sultat, les diffe´ rentes raies de l’hydroge` ne peuvent s’ordonner et sont en bonne conformite´ avec le spectre J I expe´ rimental (fig. 1.12) : Page 44 de 978 Retour Plein e´cran Fermer Quitter  Spectres 4 atomiques 5 Page de titre Sommaire JJ II J I Page 45 de 978 Retour Figure 1.12 : Spectre de l’atome Plein e´cran d’hydroge` ne 3.3. Constante de structure fine Fermer D’apre` s (1.35), R ∞ peut s’interpre´ ter comme le potentiel d’ionisation relativiste non de l’hydroge` ne lorsque la masse du proton est conside Quitter ´ re´ e infinie,  Spectres 4 atomiques 6 elle a pour valeur : R ∞ ' 13.6 eV R ∞ peut aussi s’e ´ crire : mq mq 1 1 q2 2 1 R∞ q2 )2 = 2 4 2 2= = ( ) m Page de titre 8ε20h 32π2ε0}2 m 4 2 }2 2 } c c = ( 2 2 Sommaire 4πε0 4πε0 (1.39 ) On notera pour toute la q2 = e2 ce qui permet d’e JJ II suite 4πε ´ crire : 1 e2 2 0 2 (1.40 J I R∞ = ( ) 2 }c ) mc e2 est appele´ e constante de structure fine, et est de La quantite´ Page 46 de 978 }c ´Elle signe´ jouee un α.le fondamental en physique parroˆ quantique. Retour e2 — 1 (1.41 α = = 1, 3 ' }1c 13 ) Plein e´cran 297 R ∞ =10 α 2 7 (1.42 mc22 ) Fermer α peut eˆ tre conside´ re´ e comme une constante de couplage, elle nous ren- seigne sur la force d’interaction entre les e´ lectrons et le champ e´ lectromagne´ tique. Sa faible valeur nume´ rique traduit la Quitter faiblesse de l’interaction e´ lectromagne´ tique par rapport aux interactions fortes et faibles.  Spectres atomiques 4 7 3.4. Atome hydroge ´ no¨ıde Un atome hydroge´ no¨ıde est un atome ou un ion forme´ , comme l’atome d’hydroge` ne, d’un noyau et d’un seul e´ lectron ( He + , L i + + , B e + + + ,...). Page de titre Des re´ sultats analogues a` ceux de´ crits pour l’hydroge` ne ont e´ te´ observe´ s avec ces atomes. Ainsi pour un atome hydroge Sommaire ´ no¨ıde de nume´ ✓ ro atomique◆ Z , dont le noyau a Z protons la 1 (1.37) s’e´ relation 1 crit 1: = R — (1.43 λ ) JJ II Z2 n2 2 J I 3.5. Mode` le m de Sommerfeld et Wilson Des e´ tudes spectroscopiques plus fines ont montre´ que les Page 47 de 978 raies de la se´ rie de Balmer sont en fait e´ clate´ es en plusieurs composantes tre` s voisines appele´ es multiplets. Retour Pour interpre´ ter ces observations expe´ rimentales, Sommerfeld et Wilson ont comple´ te´ le mode` le de Bohr par Plein e´cran l’introduction d’orbites elliptiques qui sont plus conformes a` un mouvement plan a` force centrale. En repe´ rant la position de l’e ´ lectron sur son orbite par les coordonne´ es polaires r et θ, Fermer Sommerfeld et Wilson ont e´ te´ amene´ s a` introduire deux postulats de quantification : l’un dans la direction radiale auquel Quitter est associe´ le nombre quantique nr, l’autre dans la direction azimutale avec le nombre quantique nϴ. On montre que les deux conditions de quantification et le principe fondamental de la dynamique  Spectres atomiques 48 permettent d’e´ tablir que l’e´ lectron peut de´ crire des orbites elliptiques (fig. 1.13) si et seulement si nr et nϴ sont des entiers positifs tels que n r + nϴ ≥ 1. Les niveaux d’e´ nergie de l’atome sont alors donne´ s par E1 E1 Page de titre En r ,n ✓ = = l’expression : (1.44 (nr + ) — — n2 n ϴ)2 Sommaire ou` E 1 est l’e´ nergie de Bohr e´ tablie pre´ ce´ demment pour la premie` re orbite circulaire et n le nombre quantique principal n = JJ II nr + nϴ. J I Page 48 de 978 Retour Figure 1.13 : Mode` le atomique de Bohr- Plein e´cran Sommerfeld Ainsi formule´ , ce mode` le a` orbites elliptiques permet de Fermer retrouver les meˆ mes se´ ries de raies spectrales que celui de Bohr, mais celles-ci peuvent eˆ tre e´ mises de diffe´ rentes fac¸ ons. De plus a` la place d’une raie unique, apparaˆıt un Quitter ensemble de raies tre`s fines et tre`s proches appele´ multiplet. C’est ce qu’on appelle la structure fine de l’hydroge` ne.  Spectres atomiques 49 En physique quantique et on le verra en de´ tail plus loin, lorsque plusieurs e´ tats correspondent a` une meˆ me e´ nergie on dit qu’il y a de´ ge´ ne´ rescence. Le fait d’observer un multiplet indique une leve´ e de cette de´ ge´ ne´ rescence ; leve´ e qui peut Page de titre eˆ tre provoque´ e par divers me´ canismes. Sommaire JJ II J I Page 49 de 978 Retour Plein e´cran Fermer Quitter  5 4. LIMITE DE VALIDITE´ DE LA PHYSIQUE CLASSIQUE 0 4. Limite de validite´ de la physique classique Il apparaˆıt que de nombreux faits expe´ rimentaux, tels que ceux de´ crits dans les paragraphes pre´ ce´ dents ne peuvent eˆ tre de´ crits dans le cadre de la physique classique et ne Page de titre ´ cessitent pour leur interpre´ tation un nouveau formalisme introduisant des concepts de discontinuite´. Sommaire La physique quantique s’est de´ veloppe´ e a` partir de ces bases historiques et un nouveau formalisme intitule´ “me´ canique JJ II quantique” a e´ te´ de´ veloppe´. Son armature the´ orique repose sur une formulation mathe´ matique e´ labore´ e mais les ide´ es de J I base sont relativement simples et pertinentes. Il faut cependant signaler que la physique classique n’est pas Page 50 de 978 remise en question dans tous les domaines d’investigation. Elle continue a` expliquer un grand nombre de phe´ nome` nes dans Retour le monde macroscopique, mais sa validite´ s’ave` re limite´ e en ce qui concerne une description de´ taille´ e du mouvement des objets microscopiques et de l’interaction entre la matie` re et le Plein e´cran rayonnement. Il est donc ne´ cessaire de connaˆıtre la limite de validite´ de la physique quantique en cherchant un crite` re pour son Fermer application. Quitter 4.1. Crite` re d’application de la me´ canique quantique En me´ canique la vitesse de la lumie` re c est la constante universelle qui permet de de´ limiter le domaine “non relativiste”  Limite de validite´ 51 a` c, un traitement “non relativiste” est suffisamment pre´ cis, par contre, dans le cas ou` ces vitesses se rapprochent de c, un traitement “relativiste” est alors ne´ cessaire. On peut se demander alors s’il existe une constante universelle jouerait quianalogue pour fixer un crite` re d’applicabilite´ de un roˆ le Page de titre la me´ canique quantique. Cette constante est incontestablement la constante de Planck h. La dimension de h peut eˆ tre de Sommaire ´ termine´ e a` partir de la relation E = hν ou de la condition de quantification de Bohr : Cette constante a donc les dimensions d’un JJ II moment cine´ tique ou “action”, on l’appelle “quantum d’action” et on la note A. J I [h] = [temps][e´nergie] = [longueur][quantite´de mouvement] = M L 2 T —1 Page 51 de 978 Il est e´ galement utile de remarquer que : [h2] = [e´nergie][masse] Retour [longueur]2 h En pratique, on utilise le plus souvent la constante : } = qui Plein e´cran 2π se h barre” lit “a, et qui les meˆ mes dimensions que h et l’avantage d’eˆ tre voisine de l’unite´ : Fermer } = (1, 054592 ± 0, 000006)10—3 4 M K S Quitter On conside´ rera de´ sormais } comme la “vraie” constante de la physique quantique et le crite` re d’utilisation du formalisme quantique est le suivant :  Limite de 5 validite´ 2 “Si dans un syste` me physique une quelconque variable dynamique natu- relle ayant les dimensions d’une action prend une valeur nume´ rique de l’ordre de la constante de Planck }, le comportement du syste` me doit eˆ tre Page de titre de´cadre le crit dans de la me´ canique quantique. Si, au contraire toutes les variables ayant les dimensions d’une action sont tre` s grandes par rapport a` }, les lois de la physique classique sont valides”. Sommaire soit JJ II :A } =⇒ me´ canique ≈ } =⇒ me´ canique classique A J I quantique 4.2. Exemples Page 52 de 978 4.2.1. Montre Retour Une montre ordinaire a des parties mobiles de taille et masse unetypiques longueur: L ≈ 10—3 me` tre, une masse M ≈ 10—4 kg, et un temps T typique qui est la Plein e´cran ≈ La 10 } }. seconde. L’action caracte´ ristique est donc 2 24 M L T Fermer me´ Acanique = classique est donc suffisante —1 ! ! Et les horlogers n’ont pas besoin de connaˆıtre la me´ canique quantique pour fabriquer et Quitter re´ parer les montres.  Limite de 5 validite´ 3 4.2.2. Atome d’hydroge` ne L’atome d’hydroge` ne a une e´ nergie d’ionisation E = 13, 6 eV et un spectre caracte´ rise´ par une longueur d’onde minimale pulsation maximale ω ≈ 2.10 s de l’ordre.L’action de 103ristique caracte´ une: A = A˚ , soitest Page de titre ≈ }. 16 —1 ω E On en conclut que l’atome d’hydroge` ne, et donc tous les atomes, Sommaire ne peuvent eˆ tre appre´ hende´ s sans recours a` la me´ canique quantique. JJ II 4.2.3. Noyau atomique L’e´ nergie de liaison par nucle´ on dans un noyau ordinaire est J I de l’ordre de 8 MeV le nombre, pardeailleurs, masse et le rrayon 0 ≈ 1,du3.10 —15 est donne´ par r = A1/3r noyau m). En prenant la masse 0 (A e´ du tant nucle´ neutron) M = 1,276.10— kg, on forme une action Page 53 de 978 (proton √ ouon valant M E r0 ≈ 0, 5 } ; la physique nucle´ aire est donc ne caracte´ ristique Retour ´ cessairement quantiqu e. Plein e´cran Fermer Quitter  5 5. SYSTE` MES D’UNITE´ S DE LA PHYSIQUE QUANTIQUE 4