Ondes et Vibrations - Licence 2 de Physique, 2023-2024 - PDF

Ondes et Vibrations Licence 2 de Physique Tome II Adrien Borne Arnaud Derode 2023-2024 Ce document de cours est très largement inspiré de celui créé par mon prédécesseur, Arnaud Derode. Je le remercie ici chaleureusement pour son importante contribution. Des coquilles, qui sait des fautes peut-être même, pouvant encore s’y glisser, un espace dédié à leur signalement est ouvert sur notre espace Moodle. Les nombreux livres qu’il lisait ne faisaient qu’exacerber son impatience. Chaque page tournée ouvrait un volet de la forteresse du savoir. Sa faim se nourrissait de ses lectures sans jamais se rassasier. Jack London, Martin Eden Table des matières 1 Rappels des dérouillages mathématiques......................... 1 2 Rappels des bricoles utiles................................. 3 III Origines physiques de l’équation des ondes 4 1 Ondes acoustiques dans les fluides............................. 7 1.1 Etablissement de l’équation des ondes - Vitesse du son............. 7 1.2 Impédance acoustique d’un milieu matériel.................... 10 1.3 OPPH acoustique.................................. 11 1.4 Retour sur les hypothèses de validité....................... 12 1.5 Aspects énergétiques................................ 13 2 Ondes électriques le long d’un câble............................ 17 2.1 Etablissement de l’équation des ondes - Vitesse de propagation......... 17 2.2 Impédance électrique du câble coaxial....................... 20 2.3 OPPH électrique.................................. 21 2.4 Aspects énergétiques................................ 21 2.5 Analogie....................................... 23 3 Ondes mécaniques longitudinales dans les solides..................... 24 TD 3 27 IV Réflexion et transmission à une interface 31 1 Ondes acoustiques planes sous incidence normale à l’interface entre deux milieux... 33 1.1 Position du problème................................ 33 1.2 Relations entre les diverses amplitudes, onde par onde.............. 34 1.3 Définition des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude..... 34 1.4 Relations de conservation et de continuité à l’interface............. 35 1.5 Expression des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude.... 37 1.6 Puissance moyenne réfléchie ou transmise..................... 38 1.7 Quelques cas limite................................. 39 2 Ondes électriques sur un câble coaxial : réflexion et transmission............ 40 2.1 Relations de conservation et de continuité.................... 41 2.2 Expression des coefficients de réflexion et transmission............. 42 2.3 Quelques cas limite................................. 43 3 Trois milieux, deux interfaces : systèmes de type Fabry-Perot.............. 44 4 Section hors programme, à l’attention des étudiants épris de connaissance....... 47 4.1 Systèmes physiques linéaires et invariants en temps............... 47 4.2 Pourquoi les sinusoïdes ?.............................. 48 TD 4 49 V Dissipation et dispersion 51 1 Ondes électriques sur un câble coaxial avec pertes.................... 53 1.1 Etablissement de l’équation de propagation.................... 53 1.2 Solutions en régime sinusoïdal........................... 55 1.3 Deux cas limite................................... 57 1.4 Cas général..................................... 58 1.5 Un autre modèle pour le câble coaxial résistif.................. 59 2 Dissipation et dispersion : un court bilan......................... 60 3 Vitesse de phase et vitesse de groupe........................... 61 3.1 Somme de deux sinusoïdes de fréquences proches................. 61 3.2 Paquet d’ondes quasi monochromatique...................... 63 TD 5 65 Ondes et Vibrations 1 1 Rappels des dérouillages mathématiques Trigonométrie Relations trigonométriques de base exp(jx) = ejx = cos(x) + j sin(x) cos2 (a) + sin2 (a) = 1 ejx + e−jx cos(x) = cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) 2 ejx − e−jx sin(x) = sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) 2j avec j l’unité imaginaire (j 2 = −1). Ces relations permettent de retrouver toutes les autres 1 , en particulier : x+y x−y cos(x) + cos(y) = 2 cos cos , etc. 2 2 Parité et symétrie des fonctions trigonométriques cos(−x) = cos(x) cos(π/2 − x) = sin(x) sin(−x) = − sin(x) sin(π/2 − x) = cos(x) Valeurs courantes des fonctions trigonométriques cos(0) = sin(π/2) = 1 √ cos(π/6) = sin(π/3) = 3/2 ≈ 0, 866 √ cos(π/4) = sin(π/4) = 2/2 ≈ 0, 707 cos(π/3) = sin(π/6) = 1/2 cos(π/2) = sin(0) = 0 Valeurs moyennes hcosi = 0 hsini = 0 D E D E cos2 = 1/2 sin2 = 1/2 en notant h.i la valeur moyenne 2. Dérivées f 0 désignant la fonction dérivée de f ,. la multiplication et ◦ la composition 3 , on a (f.g)0 = f 0.g + f.g 0 (g ◦ f )0 = f 0.(g 0 ◦ f ) 1. En posant par exemple x = a + b et y = a − b, ce qui revient à a = (x + y)/2 et b = (x − y)/2. 2. Voir définition ci-après. 3. https://lexique.netmath.ca/composition-de-fonctions/. 2 Ondes et Vibrations Développements limités Si la fonction f admet un développement limité au voisinage de x0 , on peut écrire : f (x) = 1 f (x0 ) + (x − x0 ) f 0 (x0 ) + (x − x0 )2 f 00 (x0 ) +.... Au voisinage de 0, quelques développements 2 limités à l’ordre 1 sont à connaître absolument : cos(x) ≈ 1 sin(x) ≈ x tan(x) ≈ x exp(x) ≈ 1 + x ln (1 + x) ≈ x √ (1 + x)α ≈ 1 + αx (donc 1 + x ≈ 1 + x/2) Valeur moyenne et valeur efficace 4 d’une fonction Soit f une fonction du temps t à valeurs réelles, étudiée sur un intervalle [t1 , t2 ]. Sur cet intervalle, la valeur moyenne au cours du temps de f (valeur aussi appelée « DC » en électrocinétique, ou « composante continue » ) est : ˆt2 1 hf i = f (t)dt (II.1) t2 − t1 t1 On appelle valeur efficace (« AC+DC », en terminologie électrocinétique) la quantité feff calculée sur le même intervalle : v u ˆt2 1 q u f 2 (t)dt u feff = hf 2 i = u (II.2) t t2 − t1 t1 En d’autres termes, la valeur efficace d’une fonction réelle est la racine carrée de la moyenne temporelle du carré de cette fonction. Dans le cas général, la valeur moyenne hf i et la valeur efficace feff dépendent de l’intervalle [t1 , t2 ] considéré. En revanche, dans le cas (assez fréquent) où la fonction f est périodique de période T et où l’intervalle choisi correspond à un nombre entier de périodes (donc, si t2 − t1 = nT avec n un nombre entier) alors hf i et feff sont constantes au cours du temps. Deux cas particulièrement simples sont à connaître ou à savoir retrouver très vite : - si ∀t ∈ [t1 , t2 ], f (t) = A (constante) alors hf i = A et feff = |A| ; |A| - si ∀t ∈ [t1 , t1 + n 2π ω ], f (t) = A cos(ωt + ϕ) alors hf i = 0 et f eff = √. 2 4. Si vous êtes à l’aise avec les notions statistiques, cela vous aidera peut-être de remarquer que la variance 2 (au cours du temps) d’un signal f est égale à la différence feff 2 − hf i , ce qui revient à écrire feff 2 = variance + carré de la moyenne. Mais si les statistiques vous effraient, vous pouvez oublier cette analogie. Ondes et Vibrations 3 2 Rappels des bricoles utiles Quelques approximations utiles à connaître pour les applications numé- riques sans calculette √ 2 ≈ 1, 4 √ √ 2/2 = 1/ 2 ≈ 0, 7 √ 3 ≈ 1, 7 √ 5 ≈ 2, 2 √ 10 ≈ π et π 2 ≈ 10 exp(3) ≈ 20, et exp(−3) ≈ 0, 05 ! 1 20 log10 √ ≈ −3 2 Alphabet grec α alpha ν nu β bêta ξ, Ξ ksi γ, Γ gamma o omicron δ, ∆ delta π, Π pi epsilon ρ rhô ζ zêta σ, Σ sigma η êta τ tau θ thêta υ, Υ upsilon ι iota ϕ/φ, Φ phi κ kappa χ khi λ, Λ lambda ψ, Ψ psi µ mu ω, Ω oméga Chapitre III Origines physiques de l’équation des ondes Synthèse des connaissances relatives au chapitre III Soyez toujours en mesure de vous auto-évaluer. À l’issue de ce troisième chapitre, des séances de cours et TD correspondantes, voici les cinq points que vous devez maîtriser, et sur lesquels vous serez interrogés lors des évaluations. Chapitre III : les 5 savoirs fondamentaux 1. Savoir établir l’équation des ondes pour tous les types d’ondes présentés ici. 2. Savoir relier entre elles les différentes grandeurs associées à l’onde. Dans le cas des ondes acoustiques : déplacement, vitesse, accélération, dilatation et surpression (par exemple, vous devez être en mesure d’exprimer la surpression en fonction du déplacement, l’accé- lération en fonction de la dilatation, etc.) ; dans le cas des ondes électriques : tension et courant. 3. Maîtriser la notion d’impédance caractéristique d’un milieu, dans les cas acoustique et électrique. 4. Savoir calculer la puissance et l’énergie (ou la densité d’énergie) pour les ondes acoustiques et électriques ; savoir utiliser les décibels, les valeurs efficaces, le vecteur de Poynting. 5. Savoir faire des applications numériques, des calculs d’ordre de grandeur et savoir tracer des graphes concernant les grandeurs physiques attachées à une onde ; inversement, savoir interpréter des graphes ou des données numériques pour en déduire des informations sur l’onde ou le milieu dans lequel elle se propage. Ondes et Vibrations — Chapitre III 5 Chapitre III : fiche de synthèse On établit l’équation des ondes en raisonnant sur un morceau de taille δx du milieu considéré (quelle que soit la nature de ce milieu) et en lui appliquant les lois fonda- mentales pertinentes (lois de Newton en mécanique, lois de Kirchhoff en électricité). Ce raisonnement n’est valable qu’à condition que δx soit bien supérieure aux distances in- teratomiques (de telle sorte que le milieu puisse être considéré comme un continuum) et bien inférieure à la longueur d’onde (afin que le DL de fonctions f (x + δx, t) soit envisageable). Ondes acoustiques q La célérité des ondes acoustiques est 1/(masse volumique × compressibilité). Impédance acoustique d’un matériau : Z = masse volumique × célérité du son. Pour une onde acoustique se propageant vers les x croissants selon le vecteur unitaire ~ex on a : surpression = Z × composante x de la vitesse particulaire, en tout point et en tout temps ; pour une onde acoustique se propageant vers les x décroissants on a : surpression = −Z × composante x de la vitesse particulaire, en tout point et en tout temps. Sachant que ~v = v~ex , alors en notant ~n la direction de propagation on peut réunir ces deux cas en un seul en écrivant ψ(x, t) = Z~v (x, t) · ~n, où ψ est la surpression. Attention : ces relations sont valables pour une onde se propageant dans une direction, pas pour une superposition d’ondes se propageant dans deux directions différentes. La « formule » ψ = ±Zv, comme toute « formule », ne doit JAMAIS être sortie de son contexte. Vecteur de Poynting acoustique = surpression×vecteur vitesse particulaire. La puissance instantanée traversant une surface est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface. Intensité acoustique = valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting. Ondes électriques q La célérité des ondes électriques 1/(inductance linéique × capacité linéique). Impédance caractéristique d’un câble : Z = inductance linéique × célérité du signal. Pour une onde électrique se propageant vers les x croissants le long d’un câble coaxial, on a : tension entre les deux conducteurs = Z × courant, en tout point du câble et en tout temps ; pour une onde électrique se propageant vers les x décroissants le long d’un câble coaxial, on a : tension entre les deux conducteurs = −Z × courant, en tout point du câble et en tout temps. Même remarque que précédemment, à propos des « formules » et de leur contexte. Puissance électrique instantanée en tout point d’un câble coaxial = tension entre les deux conducteurs × courant. Faut-il l’écrire à nouveau ? Allez, une dernière fois : tout comme aux chapitre précédents, la présence de cette fiche de synthèse ne saurait évidemment vous soustraire au devoir de lire et d’étudier ce chapitre dans son intégralité. Cela vaut aussi, bien sûr, pour les chapitres futurs. Bonne lecture ! 6 Ondes et Vibrations — Chapitre III Où va-t-on ? Au chapitre précédent, nous avons introduit l’équation des ondes à une dimension d’espace (x), appelée aussi équation de d’Alembert ; nous avons exprimé ses solutions et les avons interprétées physiquement comme des signaux se propageant sans déformation ni atténuation dans l’un ou l’autre des deux sens possibles (vers les x croissants ou décroissants). Nous avons présupposé ex nihilo l’existence et la forme de l’équation des ondes, mais nous n’avons en rien justifié son origine physique. D’où vient l’équation des ondes ? Comment montrer qu’une grandeur physique obéit à une telle équation ? Qu’est-ce qui détermine la valeur de la célérité c d’une onde ? C’est l’objet du présent chapitre, au cours duquel nous étudierons trois phénomènes physiques différents mettant tous en jeu l’équation de d’Alembert : - les ondes acoustiques dans les fluides ; - les signaux électriques dans les câbles coaxiaux ; - les vibrations longitudinales d’une chaîne de masses et ressorts. Ondes et Vibrations — Chapitre III 7 1 Ondes acoustiques dans les fluides 1.1 Etablissement de l’équation des ondes - Vitesse du son On considère un fluide homogène (par exemple de l’air), initialement au repos, de masse volumique ρ0 , de compressibilité χ0 1 , à une pression ambiante P0 uniforme. On crée un son à l’aide d’un haut-parleur. Par souci de simplicité, nous supposerons que tous les points du haut-parleur vibrent identiquement et que ses dimensions latérales sont infinies, engendrant ainsi une onde plane 2. Ainsi, une seule coordonnée d’espace (notée x) suffit à décrire cette onde, en plus de la variable temporelle t. On veut alors étudier comment les vibrations se propagent dans l’air, et pour ce faire établir une équation décrivant le phénomène, sur la base d’hypothèses raisonnables. Modélisons ce qui se passe lorsqu’on fait vibrer une petite tranche de fluide (figure III.1), d’épais- seur AB = δx au repos. Précisons les choses : δx est suffisamment grande pour qu’on puisse considérer le fluide comme un milieu continu, mais suffisamment petite 3 pour que la différence de toute quan- tité (pression, vitesse, déplacement, densité, etc) entre les deux côtés de la tranche puisse être traitée comme une quantité infinitésimale 4. Figure III.1 – Deux photographies instantanées de l’état d’une tranche de fluide. À gauche, au repos. À droite, à un instant t ultérieur. Sous l’effet de l’onde, la tranche d’air initialement en AB se trouve déplacée en A’B’. Au repos, donc en l’absence d’onde, l’épaisseur de la tranche est AB = δx. On allume alors le haut-parleur ; sa surface se met à vibrer autour de sa position de repos et transmet par contact ces vibrations à l’air environnant, qui se comprime ou se détend au cours du temps. De proche en proche ces compressions et détentes se propagent à l’ensemble de la pièce. À un instant t quelconque, la tranche d’air qui initialement était en AB est déplacée en A0 B 0 : elle peut donc à cet instant être rétrécie (si A0 B 0 < AB) ou dilatée (si A0 B 0 > AB). Nous noterons (x, t) le déplacement à l’instant t de la face de la tranche de fluide dont la position au repos était x. Egalement, nous noterons ψ(x, t) la surpression (= différence entre la pression à l’instant t et la pression initiale P0 ) engendrée par l’onde. (x, t) et ψ(x, t) sont des quantités algébriques. L’élongation de la tranche de fluide est donc A0 B 0 − AB = (x + δx, t) − (x, t). 1. Voir la partie 3.3.1 du chapitre I pour la définition de la compressibilité d’un fluide. 2. Voir la partie 2 du chapitre II pour la définition d’une onde plane. 3. Grande ou petite par rapport à quoi ? Patience, nous y reviendrons (paragraphe 1.4). 4. Plutôt que « tranche », on peut aussi employer le terme de « particule de fluide », mais en veillant à ne pas le confondre avec une molécule de fluide : en effet une « particule de fluide » est une petite quantité de fluide, considérée comme infinitésimale à l’échelle de la longueur d’onde et immobile au repos ; la particule de fluide contient un très grand nombre de molécules de fluide, chacune sans arrêt en mouvement à cause de l’agitation thermique, mais dont la vitesse moyenne, en l’absence d’onde, est nulle en tout temps. 8 Ondes et Vibrations — Chapitre III Dilatation d’une particule de fluide Exprimons le coefficient de dilatation d, c’est-à-dire le rapport entre l’élongation et la lon- gueur initiale δx de la tranche, en considérant cette longueur comme infinitésimale : élongation A0 B 0 − AB (x + δx, t) − (x, t) d(x, t) = lim = lim = lim (III.1) δx→0 longueur au repos δx→0 AB δx→0 δx On a donc tout simplement ∂ d(x, t) = (x, t) (III.2) ∂x Le coefficient de dilatation est donc égal à la dérivée spatiale du déplacement. d est donc un nombre sans dimension (on peut l’exprimer sous la forme d’un pourcentage), positif si, à l’instant t considéré, la tranche s’est allongée par rapport à sa situation au repos, et négatif si elle s’est contractée. d n’est rien d’autre que la variation de volume de la tranche considérée, à l’instant considéré, rapportée à son volume au repos. Relation entre dilatation et surpression : loi de Hooke Dans le premier chapitre nous avions introduit la notion de compressibilité d’un milieu matériel. Nous la retrouvons ici, et faisons la même hypothèse qu’alors : on suppose que le coefficient de dilatation d est proportionnel et opposé à la surpression ψ, soit : 1 d(x, t) = −χ0 ψ(x, t), ou encore : ψ(x, t) = − d(x, t), (III.3) χ0 avec 1/χ0 l’incompressibilité (inverse de la compressibilité χ0 , cf. chap. I) du milieu considéré. Vitesse particulaire Rappelons que x désigne la position au repos du bord gauche de la tranche (= le point A sur la figure). À un instant t quelconque, il se trouve déplacé en un point A0 dont l’abscisse est ∂ 5 xA0 (t) = x + (x, t). Son vecteur vitesse est donc ~v (x, t) = v~ex = (x, t)~ex. ∂t v, dérivée temporelle du déplacement , est appelée vitesse particulaire. Principe fondamental de la dynamique La différence de pression entre les deux faces de la tranche est P (A0 ) − P (B 0 ) = [P0 + ψ(x, t)] − [P0 + ψ(x + δx, t)] = −ψ(x + δx, t) + ψ(x, t) On peut donc écrire : P (A0 ) − P (B 0 ) ∂ψ lim =−. (III.4) δx→0 δx ∂x Effectuons à présent un bilan des forces s’exerçant sur les deux faces de la tranche A0 B 0. En notant A la surface (perpendiculaire au plan de la feuille) de la tranche, l’axe x porté par le 5. Notez que x est la position au repos du bord gauche de la tranche, donc une constante du temps. Ondes et Vibrations — Chapitre III 9 vecteur unitaire ~ex étant ici orienté vers la droite, la somme des forces exercées sur la tranche à l’instant t est F~ = A [P (A0 ) − P (B 0 )] ~ex (III.5) La masse de la tranche est inchangée au cours du mouvement : elle est égale à sa valeur initiale, ρ0 Aδx. Appliquons alors à la tranche de fluide le principe fondamental de la dynamique (masse multipliée par accélération = somme des forces), dans le référentiel du laboratoire. On a donc : ∂v ρ0 Aδx × ~ex = A [P (A0 ) − P (B 0 )] ~ex |∂t{z } | {z } | {z } masse ~ , cf. éq. III.5 accélération F En divisant par δx et en prenant la limite δx → 0, grâce à l’éq. III.4 on obtient donc ∂v ∂ψ ρ0 =− (III.6) ∂t ∂x Equation des ondes et vitesse du son Nous disposons donc de quatre équations portant sur quatre variables liées à l’onde : le dépla- cement (x, t), la vitesse particulaire v(x, t), la dilatation d(x, t) et la surpression ψ(x, t) : ∂v ∂ψ d [PFD] ρ0 =− [Hooke] ψ = − ∂t ∂x χ0 ∂ ∂ [dilatation] d = [vitesse particulaire] v = (III.7) ∂x ∂t Combinons-les intelligemment, afin d’isoler chacune des quatre variables. 1 ∂ - Dans le membre droit du PFD, en remplaçant ψ par − (loi de Hooke + expression χ0 ∂x de la dilatation), on obtient ∂v 1 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ρ0 = ⇒ ρ0 χ0 = (III.8) ∂t χ0 ∂x2 ∂t2 ∂x2 - En dérivant une fois l’équation III.8 par rapport à x et en utilisant l’expression de la dilatation, on obtient ∂ 3 ∂ 3 ∂ 2d ∂ 2d ρ0 χ0 = ⇒ ρ0 χ0 = (III.9) ∂x∂t2 ∂x3 ∂t2 ∂x2 - En utilisant la loi de Hooke, on peut remplaçer d par −χ0 ψ dans l’équation III.9, ce qui donne ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ − ρ0 χ20 = −χ 0 ⇒ ρ0 χ0 = (III.10) ∂t2 ∂x2 ∂t2 ∂x2 - En dérivant une fois par rapport à t l’équation III.8, on obtient ∂ 3 ∂ 3 ∂ 2v ∂ 2v ρ0 χ0 = ⇒ ρ0 χ0 = (III.11) ∂t3 ∂t∂x2 ∂t2 ∂x2 - Enfin en dérivant une fois par rapport au temps l’équation III.11 et en notant a = ∂v/∂t l’accélération particulaire, on obtient ∂ 3v ∂ 3v ∂ 2a ∂ 2a ρ0 χ0 = ⇒ ρ0 χ0 = (III.12) ∂t3 ∂t∂x2 ∂t2 ∂x2 10 Ondes et Vibrations — Chapitre III Il apparaît donc clairement que toutes les grandeurs liées à l’onde (déplacement , vitesse particulaire v, accélération a, dilatation d, surpression ψ) dépendent de x et de t en obéissant à une seule et même équation : ∂ 2f ∂ 2f − ρ 0 χ 0 = 0, ∂x2 ∂t2 qui n’est autre que l’équation des ondes, avec pour vitesse de propagation 6 (ou célérité) : s s 1 1 incompressibilité cson =√ = = (III.13) ρ0 χ0 masse volumique × compressibilité masse volumique Application : vitesse du son dans l’air et dans l’eau — La masse volumique de l’air à température ambiante est de l’ordre de 1.2 kg · m−3 , son incompressibilité adiabatique 1/χ0 = 140 kPa (cf. chapitre I, Table I.1). On en déduit la valeur théorique de la vitesse du son dans l’air selon ce modèle : cson = 340 m · s−1 , en très bon accord avec les mesures expérimentales 7. Si on considère le cas de l’eau, sa masse volumique est 103 kg/m3 , et son incompressibilité (cf. chapitre I, Table I.1) 2,2 GPa. La vitesse du son qui en résulte, d’après l’équation III.13 est donc cson = 1480 m/s, en très bon accord avec les mesures expérimentales. Les organes mous du corps humain étant essentiellement constitués d’eau, toutes les applications de l’acoustique à l’imagerie médicale et la thérapie, notamment l’échographie par ultrasons, utilisent des valeurs de vitesse de propagation de l’ordre de cson = 1500 m · s−1. Dans la suite, la vitesse du son sera simplement notée c. 1.2 Impédance acoustique d’un milieu matériel Intéressons-nous en particulier à la vitesse particulaire ~v = v(x, t)~ex et à la surpression ψ(x, t). v et ψ étant toutes les deux solutions de l’équation des ondes, elles prendront la forme de fonctions de x ± ct ou, si l’on préfère, de t ± x/c. Ainsi, dans le cas où l’onde se propage dans la direction des x croissants on aura : v(x, t) = f1 (x − ct) et ψ(x, t) = f2 (x − ct), (III.14) où f1 et f2 sont des fonctions a priori inconnues, déterminées par la source qui a créé l’onde 8. Toutefois, les fonctions f1 et f2 ne peuvent pas être indépendantes l’une de l’autre : en effet, le principe fondamental de la dynamique (éq. III.6) implique −ρ0 cf10 (x − ct) = −f20 (x − ct), et ce quels que soient x et t, donc pour toute valeur de x−ct. On a donc nécessairement ρ0 cf1 = f2 9 , ce qui nous donne la propriété suivante : ψ(x, t) = ρ0 cv(x, t) dans le cas d’une onde acoustique se propageant dans le sens des x croissants. De même, si l’onde se propage dans le sens des x décroissants, on aura : v(x, t) = g1 (x + ct) et ψ(x, t) = g2 (x + ct) (III.15) 6. Rappel (cf. chapitre II) : ne surtout pas confondre la vitesse particulaire (ici notée v) et la vitesse de l’onde, ici notée cson ou plus simplement c de façon générale. 7. Voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_du_son 8. Quel signal le haut-parleur émet-il ? Une symphonie classique, du rap, de la K-pop ou des ultrasons ? C’est cela qui détermine les fonctions dont on discute ici. 9. Hmm... Pourquoi l’égalité des dérivées implique-t-elle l’égalité des fonctions en présence ? Y aurait-il une entourloupe professorale ? Je vous laisse y réfléchir. Ondes et Vibrations — Chapitre III 11 où g1 et g2 sont des fonctions inconnues, déterminées par la source qui a créé l’onde. En suivant le même raisonnement que précédemment, l’éq. III.6 nous donne ρ0 cg10 (x + ct) = −g20 (x + ct), d’où ρ0 cg1 = −g2 donc ψ(x, t) = −ρ0 cv(x, t). La grandeur Z = ρ0 c est appelée impédance acoustique du milieu de propagation ; compte tenu de l’expression de c (III.13), on peut aussi l’écrire Z = 1/(χ0 c). Les di- mensions de l’impédance acoustique sont ML−2 T−1 ; son unité est Pa · s · m−1 également appelé Rayleigh 10. Pour une onde acoustique plane se propageant dans le sens des x croissants, surpres- sion et vitesse sont proportionnelles : ψ(x, t) = Zv(x, t) ; alors que ψ(x, t) = −Zv(x, t) si l’onde se propage dans le sens des x décroissants. Si vous préférez, vous pouvez retenir la relation vectorielle suivante, strictement équivalente aux deux précédentes, et valable quelle que soit la direction de propagation de l’onde : ψ(x, t) ~v (x, t) = ~n, Z avec ~n le vecteur unitaire dirigé dans le sens de la propagation (~n = ~ex si l’onde se propage vers les x croissants, ~n = −~ex si l’onde se propage vers les x décroissants). Ordres de grandeur à connaître : à température ambiante, l’impédance acous- tique de l’air est d’environ 400 Rayl, celle de l’eau 1,5.106 Rayl. 1.3 OPPH acoustique En représentation complexe, le déplacement engendré par une OPPH acoustique de pulsation ω se propageant dans le sens des x croissants s’écrit (x, t) = max exp(jω(t − x/c)) = max exp(j(ωt − kx)), où l’on a posé k = ω/c. On en déduit immédiatement les expressions de toutes les autres grandeurs physiques relatives à l’onde acoustique (vitesse, accélération, coefficient de dilatation, surpression) en fonction du dépla- cement 11 : ∂ v(x, t) = = jω(x, t) = jωmax exp(j(ωt − kx)) ∂t ∂v a(x, t) = = −ω 2 (x, t) = −ω 2 max exp(j(ωt − kx)) ∂t ∂ d(x, t) = = −jk(x, t) = −jkmax exp(j(ωt − kx)) ∂x ψ(x, t) = Zv(x, t) = jωZ(x, t) = jZωmax exp(j(ωt − kx)) Elles sont toutes de la forme Cste× exp(j(ωt − kx)), et leurs amplitudes se déduisent facilement les unes des autres. Par exemple, E = |max | étant l’amplitude du déplacement engendré par l’onde et ω sa pulsation, on en déduit immédiatement l’amplitude de la vitesse particulaire (ωE), de l’ac- célération (ω 2 E), de la surpression (ZωE) et de la dilatation (kE). Ce qui vous permettra de faire très rapidement des calculs d’ordre de grandeur. 10. En l’honneur de John Strutt, plus connu sous le nom de Lord Rayleigh. 11. Ces cinq grandeurs physiques s’expriment toutes les unes en fonction des autres ; nous aurions aussi pu choisir de les exprimer en fonction de n’importe laquelle d’entre elles. 12 Ondes et Vibrations — Chapitre III Exemple : quelle est l’amplitude de la vitesse particulaire dans le cas d’un son sinusoïdal d’am- plitude 20 Pa 12 se propageant dans l’air ? Quid de l’amplitude de la dilatation ? Quel est l’ordre de grandeur du déplacement ? 13 1.4 Retour sur les hypothèses de validité Pour établir que les grandeurs associées à une onde acoustique sont toutes décrites par l’équation des ondes, nous avons fait essentiellement deux hypothèses simplificatrices : Milieu continu et DL — D’une part on a traité le fluide comme un milieu continu, qu’on peut couper (par la pensée) en petites « tranches de fluides », chacune étant elle-même un milieu continu contenant un très grand nombre de molécules ; il faut donc que la taille δx de ces tranches élémentaires de fluide soit suffisamment grande devant les distances intermoléculaires rmoléc. Mais il faut aussi que δx soit petite devant la longueur d’onde pour assurer la validité des DL auxquels nous avons procédé (cf. Eq. III.1 et III.4). Il faut donc que la longueur d’onde soit beaucoup plus grande que les distances intermoléculaires. La condition λ rmoléc permet de calculer la fréquence au-delà de laquelle notre modèle ne serait plus valable. Il se trouve que, même aux fréquences les plus élevées, que ce soit en acoustique infrasonore, audible ou ultrasonore, que ce soit dans l’air, les liquides ou les solides, on est très, très, très largement en dessous de cette limite. Vérifiez-le vous-mêmes, en calculant l’ordre de grandeur de la longueur d’onde pour un son dans l’air à la plus haute fréquence audible (environ 20 kHz), ou celle d’une onde ultrasonore de fréquence 1 MHz qui se meut dans l’eau, et comparez les résultats aux distances intermoléculaires (ou interatomiques) typiques. Limitation en amplitude — D’autre part nous avons supposé que la relation entre surpres- sion et dilatation est linéaire (= loi de Hooke), de la forme d = −χ0 ψ. Il est vraisemblable que si on applique des surpressions trop élevées, cela ne sera plus vrai (de même que si on tire trop fort sur un ressort, on n’a plus force = raideur × allongement : le ressort se déforme irréversiblement et finit par casser). On admettra que le domaine de validité de cette deuxième approximation, dit domaine de l’acoustique linéaire, est déterminé par la condition dmax 1. D’après le paragraphe précédent, dans le cas d’une onde OPPH de pulsation ω, la condition |dmax | 1 est équivalente à |max | λ, ou encore à |ψ max | 1/χ0 , ou encore à |v max | c 14. Dans le cadre de cet enseignement, on supposera toujours : 1) que les longueurs d’onde sont beaucoup plus grandes que les distances inter-atomiques de telle sorte que les milieux matériels puissent être considérés comme continus ; 2) que le coefficient de dilatation est beaucoup plus petit que 1. 12. Une surpression acoustique de 20 Pa correspond au seuil de douleur : il s’agit du niveau sonore au-delà duquel l’oreille risque des dégâts irréversibles. 13. Réponses : l’amplitude de la vitesse particulaire est de l’ordre de 5 cm/s, et celle de la dilatation est d’environ 0,015%. Pour une fréquence comprise entre 20 et 20000 Hz (intervalle censé représenter le domaine des fréquences audibles par nous, pauvres humanoïdes) l’amplitude du déplacement est donc comprise entre 0, 4 µm et 400 µm, selon la fréquence considérée. Entraînez-vous en vérifiant tout cela ! 14. Vérifiez vous-mêmes toutes ces équivalences. Ondes et Vibrations — Chapitre III 13 1.5 Aspects énergétiques 1.5.1 Densité volumique d’énergie L’énergie véhiculée par une onde acoustique plane (donc d’extension spatiale infinie) est elle-même infinie. Il sera plus pertinent, d’un point de vue physique, de raisonner sur l’énergie par unité de volume, ou densité volumique d’énergie (en J · m−3 ). Energie cinétique par unité de volume L’onde met en mouvement la « tranche de fluide » de masse volumique ρ0 , initialement au repos en x, en lui communiquant une vitesse v(x, t). La densité volumique d’énergie cinétique eC (x, t) est donc : 1 eC (x, t) = ρ0 v 2 (x, t) (III.16) 2 Energie potentielle par unité de volume Les compressions et détentes successives du fluide sont également accompagnées d’un apport d’énergie potentielle. Considérons une petite tranche de fluide initialement de volume V0 ; sous l’action de la surpression ψ, elle se dilate ou se rétracte. L’énergie potentielle emmagasinée par´ la tranche est égale au travail W fourni pour faire varier son volume de la tranche, W = V − V0 ψdV. Or la variation relative de volume est (V − V0 )/V0 = d = −χ0 ψ (loi de Hooke), ´ψ d’où dV = −χ0 V0 dψ et W = V0 χ0 0 ψdψ = V0 χ0 ψ 2 /2, expression dont la densité volumique est donnée par : W 1 eP (x, t) = = χ0 ψ 2 (x, t) (III.17) V0 2 1 1 2 Remarquons que puisque d = −χ0 ψ, on peut aussi écrire eP (x, t) = d (x, t), expression qui 2 χ0 rappelle furieusement le « 21 raideur × (élongation)2 » valable dans le cas d’un ressort. eP (x, t) exprime l’accroissement d’énergie potentielle qui accompagne la contraction ou dilata- tion d’une tranche de fluide : ceci est tout à fait analogue à l’énergie potentielle communiquée à un ressort lorsqu’on l’étire ou qu’on le comprime. Valeurs moyennes dans le temps Les valeurs moyennes dans le temps des énergies cinétique et potentielle font naturellement apparaître les valeurs efficaces 15 de la pression et de la vitesse particulaire : 1 D E 1 1 D E 1 heC i = ρ0 v 2 = ρ0 veff 2 et heP i = χ0 ψ 2 = χ0 ψeff 2 (III.18) 2 2 2 2 Dans le cas d’une onde plane se propageant dans une direction donnée, on a ψ = ±Zv, donc 2 ψeff = Z 2 veff 2 quel que soit le sens de propagation. En n’oubliant pas que Z = ρ0 c et 1/c2 = ρ0 χ0 , on en déduit que heP i = heC i : pour une onde plane, l’énergie mécanique moyenne est donc autant cinétique que potentielle 16. 15. Voir page 2 pour la définition de la valeur efficace d’une fonction. 16. Les lecteurs attentifs n’en seront pas étonnés, puisque nous avons déjà rencontré cette propriété lors de l’étude (cf. amphi notamment) de l’oscillateur mécanique non amorti : son déplacement est en A cos(ω0 t+ϕ) avec ω02 = K/M , on en déduit facilement que la valeur moyenne de l’énergie potentielle ( 12 KA2 ) égale la valeur moyenne de l’énergie cinétique ( 21 M (Aω0 )2 ). Or la tranche de fluide n’est autre qu’un oscillateur entouré d’autres oscillateurs dont aucun n’est amorti puisqu’aucun frottement n’est pris en compte dans notre modèle. 14 Ondes et Vibrations — Chapitre III 1.5.2 Vecteur de Poynting acoustique Ceci établi, nous pouvons étudier le transport de l’énergie véhiculée par une onde acoustique. Pour cela, considérons le pavé de volume V , non nécessairement petit, délimité par les deux plans d’abscisses x1 et x2 , de section Σ, orthogonaux à l’axe Ox (figure III.2). Une ou plusieurs ondes peuvent se propager le long de l’axe, les directions de propagation peuvent être aussi bien ~ex que −~ex. Figure III.2 – On s’intéresse ici à l’énergie acoustique E(t) présente à l’instant t dans un parallélépipède de volume V = Σ × (x2 − x1 ). Les deux plans d’abscisses x1 et x2 sont orthogonaux à l’axe Ox. On cherche à exprimer la variation d’énergie dE pendant un intervalle de temps infinitésimal dt. En vertu de ce qui précède, à tout instant t, l’énergie E contenue dans le volume V est ˆ ˆ x2 E(t) = e(x, t)dV = Σ (eC (x, t) + eP (x, t)) dx (III.19) V ˆ x2 x1 1 1 =Σ ρ0 v 2 (x, t) + χ0 ψ 2 (x, t) dx x1 2 2 Entre deux instants t et t + dt, l’énergie contenue dans le volume V varie de dE, et la puissance reçue par ce volume est Prec = dE/dt ; on peut aussi écrire que la puissance émise par ce volume vers l’extérieur est Pém = −dE/dt. On en obtient l’expression en dérivant III.19 : ˆ x2 " # dE ∂v ∂ψ Pém = − = −Σ ρ0 v + χ0 ψ dx (III.20) dt x1 ∂t ∂t ∂ ∂ψ ∂v Or d’après la loi de Hooke (équations III.7), on a d = = −χ0 ψ, donc χ0 = −. De plus, ∂x ∂t ∂x ∂v ∂ψ d’après le PFD (équations III.7) ρ0 = −. La puissance devient donc : ∂t ∂x ˆ x2 " # ∂ψ ∂v Pém = Σ v +ψ dx x1 ∂x ∂x ˆ x2 ∂ [vψ] =Σ dx x1 ∂x = Σv(x2 , t)ψ(x2 , t) − Σv(x1 , t)ψ(x1 , t) (III.21) Or le vecteur vitesse particulaire s’écrit ~v (x, t) = v(x, t)~ex , soit encore v(x, t) = ~v (x, t) · ~ex. Ondes et Vibrations — Chapitre III 15 ~ tel que : Définissons alors un vecteur, dit vecteur de Poynting acoustique 17 , Π ~ Π(x, t) = surpression × vecteur vitesse particulaire = ψ(x, t)~v (x, t) (III.22) Notons les vecteurs surface Σ~ 1 = −Σ~ex et Σ ~ 2 = +Σ~ex , perpendiculaires aux deux faces et orientés vers l’extérieur du pavé considéré. On peut donc réécrire ainsi la puissance transmise du pavé vers l’extérieur : ~ 1 · Π(x Pém = Σ ~ 1 , t) + Σ ~ 2 · Π(x ~ 2 , t). (III.23) | {z } | {z } ~ flux de Π ~ flux de Π à travers la face 1 à travers la face 2 Cette relation peut s’interpréter ainsi 18 : A tout instant la puissance transmise par un volume fermé est égale au flux du vecteur de Poynting à travers la surface délimitant ce volume. Σ ~ 1 · Π(x ~ 1 , t) est ainsi la ~ 2 · Π(x puissance transmise vers l’extérieur à travers la face 1, Σ ~ 2 , t) la puissance transmise vers l’extérieur à travers la face 2, etc. Indépendamment de la convention d’orientation et de la direction de propagation des ondes en présence, donc du sens dans lequel se font les échanges de puissance à travers une surface, la norme du vecteur de Poynting kΠ(x, ~ t)k nous donne la puissance instantanée par unité de surface traversant le plan d’abscisse x, et s’ex- prime donc en W · m−2 dans le système international. 1.5.3 Intensité acoustique et niveau sonore D E La norme du vecteur de Poynting moyennée au cours du temps Π ~ est appelée intensité acoustique. Nous la noterons Iac , pour ne pas la confondre avec l’intensité électrique. Elle s’exprime également en W · m−2. Dans le cas d’une seule onde plane se propageant dans un milieu d’impédance acoustique Z, on a ψ = ±Zv donc l’expression du vecteur de Poynting instantané est : ~ Π(x, t) = ψ(x, t)~v (x, t) = ±Zv 2 (x, t)~ex = ±ψ 2 (x, t)/Z~ex. Prendre la valeur moyenne de sa norme au cours du temps fait donc apparaître naturellement les valeurs efficaces de la vitesse ou de la surpression : D ~ E 2 1 2 Iac = Π = Zveff = ψ , pour une onde plane 19 , quel que soit le sens de propagation. Z eff (III.24) 17. Note à l’attention des curieux : par analogie, en électromagnétisme, le vecteur de Poynting est proportionnel au produit vectoriel des champs E ~ et B ~ et permet d’exprimer la puissance rayonnée par une onde électromagnétique à travers une surface. Nous aurons l’occasion d’en reparler avec les étudiants suivant la totalité du module, ondes électromagnétiques comprises. 18. Et nous verrons au chapitre VI qu’elle se généralise à trois dimensions. 19. Et si de plus cette onde plane est sinusoïdale et que la moyenne est considérée sur un nombre entier de 1 1 2 périodes, on peut écrire Iac = Zv02 = ψ avec v0 et ψ0 les amplitudes de la vitesse et de la surpression, 2 2Z 0 respectivement (cf. formulaire de début de poly). 16 Ondes et Vibrations — Chapitre III En acoustique audible, on appelle seuil d’audibilité l’intensité acoustique Iac ref = 10−12 W/m2. Cette valeur sert de référence pour exprimer le niveau sonore d’un phénomène acoustique sur une échelle logarithmique. Le niveau sonore correspondant, exprimé en bels 20 , est donné par log10 (Iac /Iac ref ). Or un décibel vaut un dixième de bel, en d’autres termes il y a 10 décibels dans 1 bel. Le niveau sonore en décibels (abréviation dB) correspondant à une onde acoustique d’intensité Iac est donc : ! Iac Niveau sonore en dB = 10 log10 ref (III.25) Iac Comme vous le savez déjà, les décibels sont également employés dans d’autres domaines que l’acoustique (par exemple en électrocinétique). Pour exprimer une grandeur en décibels, quelle qu’elle soit, il importe de : - bien définir au préalable le niveau de référence choisi, qui a priori est arbitraire ; - ne pas oublier que le bel est défini comme un rapport de puissances et que la puissance est proportionnelle au carré de l’amplitude d’une onde, par conséquent le facteur multiplicatif devant le logarithme vaut 10 ou 20 selon que la quantité dont on prend le log est un rapport de puissances ou d’amplitudes 21 ; - ne pas confondre logarithme décimal et logarithme néperien 22. 20. Unité ainsi nommée en l’honneur d’Alexander Graham Bell, qu’on ditêtre l’inventeur du téléphone. ψeff veff 21. En effet, le niveau sonore en dB s’exprime aussi comme 20 log10 ref = 20 log10 ref avec ψeff ref et veff ref les ψeff veff niveaux de référence pour la surpression et la vitesse particulaire : combinez les équations III.24 et III.25. 22. On rappelle que ∀x ∈ R+∗ , log10 (x) = ln(x)/ ln(10). Ondes et Vibrations — Chapitre III 17 2 Ondes électriques le long d’un câble 2.1 Etablissement de l’équation des ondes - Vitesse de propagation Les câbles co-axiaux servent à transmettre des signaux électriques en assurant une connexion aller et retour entre deux appareils (antenne et télévision, générateur basses fréquences et oscilloscope, terminaux informatiques, etc) : il faut pour cela deux fils conducteurs. Dans un câble co-axial, les deux conducteurs sont disposés l’un autour de l’autre, comme deux cylindres de même axe (d’où l’adjectif co-axial 23 ). Un câble co-axial est constitué d’un fil de cuivre central appelé âme (le cylindre plein de rayon a sur la figure III.3b) ; l’âme est entourée d’un matériau isolant, qui est recouvert d’une couche de cuivre appelée blindage (le cylindre creux de rayon b sur la figure III.3b). L’ensemble est enrobé de matière plastique (cf. photo Fig. III.3a). L’âme et le blindage sont représentés par les deux fils qui bouclent le circuit entre l’émetteur (bornes MN) et le récepteur (bornes PQ), Fig. III.3c. gaine plastique isolant blindage âme Figure III.3 – (a) Photographie et (b) représentation schématique d’un câble co-axial (figures extraites de l’ouvrage Ondes 2è année, J-M Brébec et al., Hachette supérieur). La figure (c) représente le circuit modélisant un câble coaxial comme deux fils conducteurs parfaits (au sens des lois de Kirchhoff) reliant un émetteur (par exemple, un générateur de tension) à un récepteur (par exemple une ampoule). Si le modèle (c) était valable, alors les signaux électriques voyageraient à une vitesse infinie entre l’émetteur et le récepteur. En électrocinétique, vous avez fait l’approximation dite ARQS (Approximation de Régime Qua- siStationnaire) qui conduit aux lois de Kirchhoff. Ces lois stipulent, entre autres, qu’à tout instant le courant électrique a la même valeur en tout point d’une branche, et que deux points d’un même fil conducteur sont, à tout instant, au même potentiel électrique. Si l’ARQS était valable, alors par exemple la moindre variation de courant en un point du fil 1 de la figure III.3c se répercuterait immédiatement en tout point de ce fil ; et la moindre variation de tension aux bornes MN de l’émetteur se répercuterait immédiatement aux bornes PQ du récepteur, et ce que les fils fassent 1 cm, 1 km ou 1 année-lumière de long. Or en physique il n’y a pas d’action instantanée : les signaux électriques (ou acoustiques, d’ailleurs) ne peuvent pas voyager plus vite que la lumière 24. Les lois de Kirchhoff, qui découlent de l’ARQS, sont des approximations, valables tant que le circuit n’est « pas trop long » (devant quoi ? Nous le préciserons ultérieurement). Or nous cherchons ici à décrire la propagation de signaux électriques sur de grandes distances ; pour cela il nous faut donc renoncer au modèle de la figure III.3c et en concevoir un autre. Le signal électrique voyageant sur un câble possède nécessairement une vitesse de propagation finie, qui devrait dépendre des caractéristiques du câble 25. En réalité un câble de longueur L n’est pas un conducteur parfait au sens des lois de Kirchhoff : 23. L’avantage de cette disposition, par rapport à deux fils simples, est que le blindage joue le rôle de cage de Faraday, qui protège ainsi l’âme des parasites électromagnétiques. 24. Dans l’état actuel de nos connaissances ! Peut-être démontrerez-vous un jour le contraire ? 25. De même, en acoustique, un matériau transmet les vibrations avec une vitesse finie, la vitesse du son, qui dépend de la masse volumique et de la compressibilité du matériau. 18 Ondes et Vibrations — Chapitre III il possède les trois caractéristiques essentielles de tout composant linéaire, c.-à-d. une résistance, une inductance et une capacité. Ces trois paramètres sont proportionnels à la longueur du câble, aussi nous raisonnerons sur ces grandeurs par unité de longueur. Pour simplifier encore les choses, nous supposerons dans un premier temps que le câble est non résistif, c’est-à-dire que sa résistance est supposée nulle. Les seules caractéristiques avec lesquelles nous le décrirons sont donc son inductance par unité de longueur Λ (en H/m) et sa capacité par unité de longueur Γ (en F/m). Un câble de longueur L présente donc une inductance ΛL et une capacité ΓL. Exactement comme nous l’avons fait pour étudier le son dans un fluide, découpons notre câble (par la pensée... ) en une succession de petits tronçons de longueur infinitésimale δx. Le schéma électrique équivalent pour un de ces tronçons est représenté sur la figure III.4, en haut à droite. Figure III.4 – En haut à droite, le circuit modélisant un tronçon de câble coaxial de longueur infinitésimale δx (figure adaptée de l’ouvrage Ondes 2è année, J-M Brébec et al., Hachette supérieur), suffisamment petite pour pouvoir y appliquer les lois de Kirchhoff. En bas, le circuit modélisant un câble de longueur L quelconque comme une succession de tronçons élémentaires. Contrairement au modèle rudimentaire de la figure III.3c, le modèle proposé ici prend en compte deux paramètres physiques du câble coaxial : sa capacité linéique et son inductance linéique. Un tronçon du câble coaxial est modélisé par un quadripôle constituté d’un condensateur de capacité Γδx et une bobine d’inductance Λδx. Pourquoi ? On peut comprendre physiquement que le fait d’avoir deux parties conductrices séparées par un isolant (nécessairement imparfait, car l’isolant est en fait un diélectrique de permittivité non infinie) fait ressembler le câble coaxial à une espèce de condensateur cylindrique ; de même le blindage encercle l’âme comme le ferait le fil enroulé d’une bobine, d’où une certaine inductance. Le condensateur et la bobine de la figure III.4 sont donc les éléments d’une représentation fictive, un modèle construit pour rendre compte plus réalistement que l’ARQS de la propagation sur un câble long. On modélise donc notre câble de longueur L comme une succession de n quadripôles comme celui de la figure III.4 en haut à droite, avec n = L/δx (voir figure III.4 du bas). Et la longueur δx d’un tronçon élémentaire peut être rendue arbitrairement petite, donc suffisamment petite pour que localement, à l’échelle d’un tronçon élémentaire, on puisse appliquer les lois de Kirchhoff. Allons-y ! Ondes et Vibrations — Chapitre III 19 Relation courant-tension aux bornes de la bobine Le courant traversant la bobine d’inductance Λδx est i(x, t). La différence de potentiel à ses bornes est uL = u(x, t) − u(x + δx, t). On a donc ∂i u(x, t) − u(x + δx, t) = Λδx (x, t) (III.26) ∂t Relation courant-tension aux bornes du condensateur En appliquant la loi des nœuds au carrefour de sortie de la bobine, on obtient le courant traversant le condensateur : iC = i(x, t) − i(x + δx, t). La tension régnant à ses bornes étant u(x + δx, t), on en déduit : ∂ i(x, t) − i(x + δx, t) = Γδx u(x + δx, t) (III.27) | {z } ∂t iC Limite δx → 0 Dans la mesure où la longueur δx du tronçon est infinitésimale, on a, à l’ordre 1 en δx :  ∂u u(x, t) − u(x + δx, t) = −δx (x, t)   ∂u  ∂x DL1 de u : u(x + δx, t) = u(x, t) + δx (x, t) ⇒  ∂x ∂u ∂u ∂ 2u (x + δx, t) = (x, t) + δx (x, t)    ∂t ∂t ∂t∂x ∂i ∂i DL1 de i : i(x + δx, t) = i(x, t) + δx (x, t) ⇒ i(x, t) − i(x + δx, t) = −δx (x, t) ∂x ∂x Les équations III.26 et III.27 deviennent donc : ∂u ∂i − δx (x, t) = δxΛ (x, t) (III.28) ∂x ∂t ∂i ∂u ∂ 2u − δx (x, t) = δxΓ (x, t) + δx2 Γ (x, t) (III.29) ∂x ∂t | ∂t∂x {z } terme du second ordre en δx En divisant par δx puis en faisant tendre δx vers 0, on aboutit à un système d’équations couplées 26 :  ∂u ∂i +Λ =0    ∂x ∂t  (III.30)  ∂i ∂u +Γ =0    ∂x ∂t Equation de propagation des signaux électriques En dérivant l’une des deux équations du système (III.30) par rapport à t et l’autre par rapport à x, puis en éliminant soit u, soit i en combinant ces équations, on obtient : ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2i ∂ 2i − ΛΓ =0 et − ΛΓ =0 (III.31) ∂x2 |{z}2 ∂t2 ∂x2 |{z}2 ∂t2 1/c 1/c Revoilà donc l’équation des ondes, cette fois-ci en électricité. Physiquement, les équa- tions III.31 signifient que le long d’un câble coaxial imparfait (mais sans perte, c’est-à-dire sans 26. Pour alléger les notations, nous pouvons désormais omettre les dépendances (x, t) puisqu’il n’y a plus d’am- biguïté. 20 Ondes et Vibrations — Chapitre III résistance) la tension u(x, t) et l’intensité i(x, t) se propagent sans déformation ni atténuation sur le câble, dans un sens ou dans l’autre, avec une vitesse de propagation c déterminée par les caractéristiques du câble : 1 c= √ (III.32) ΛΓ Cette vitesse n’est donc pas infinie, contrairement à ce que pouvaient laisser croire les lois de Kirchhoff, si on oublie qu’elles reposent sur une approximation, l’ARQS. Pour les câbles que vous utilisez couramment en TP, les ordres de grandeurs sont Λ ∼ 250 nH/m, Γ ∼ 100 pF/m, d’où l’on tire c ∼ 2 · 108 m/s 27. 2.2 Impédance électrique du câble coaxial Étant toutes les deux solutions de l’équation des ondes, la tension et l’intensité prendront la forme de fonctions de x ± ct, ou si l’on préfère de t ± x/c. Ainsi, dans le cas où l’onde se propage dans la direction des x croissants, on aura : u(x, t) = f1 (x − ct) et i(x, t) = f2 (x − ct), où les fonctions f1 et f2 sont inconnues, déterminées par la source du signal qui voyage sur le câble. Exactement comme en acoustique (pour le couple surpression ψ et vitesse particulaire v), les relations III.30 imposent alors que f1 et f2 , donc i et u, soient proportionnelles l’une à l’autre (À vous de le démontrer ! Inspirez vous de la façon dont nous avons procédé pour introduire l’impédance acoustique). On note Z et on appelle impédance électrique du câble la constante de proportionnalité. Vous devriez obtenir : s Λ 1 Z= = Λc = (III.33) Γ Γc Donc, pour un signal électrique se propageant dans le sens des x croissants, tension et intensité sont liées par u(x, t) = Zi(x, t). Je vous laisse vérifier que u(x, t) = −Zi(x, t) si l’onde se propage dans le sens des x décroissants. La notion d’impédance, qui apparaît comme le rapport des deux quantités qui se propagent de fa- çon couplée dans une onde progressive, se retrouve dans tous les domaines de la physique ondulatoire. Nous l’avons déjà rencontrée en acoustique avec le couple (surpression, vitesse particulaire) nous la retrouvons ici en électricité pour le couple (tension, intensité). Ordre de grandeur à connaître : les câbles coaxiaux usuels ont des impédances de l’ordre de 50 Ω. Soyez particulièrement attentifs à trois risques de confusion : - Le terme impédance est le même en acoustique et en électricité, mais l’impédance acoustique n’a pas les mêmes dimensions, et subséquemment pas les mêmes unités, que sa sœur élec- trique : Ohms pour un câble électrique, Rayleighs (ou Pa · s/m) pour un milieu matériel siège d’une onde acoustique. 27. Attention, ça n’est qu’un ordre de grandeur, en aucun cas une constante universelle comme la vitesse de la lumière ! Ondes et Vibrations — Chapitre III 21 - En électricité, tout résistor a une impédance, mais toute impédance n’est pas une résis- tance. Dans le cas du câble étudié ici, la résistance est nulle, l’impédance ne l’est pas. - Enfin n’oubliez pas que u(x, t) n’est pas la tension entre les deux extrémités du câble, mais à un temps t donné, la tension entre un point de l’âme et un point du blindage situés à la même abscisse x (cf. figure III.4). 2.3 OPPH électrique Dans le cas où le signal électrique est sinusoïdal de pulsation ω, et se propage le long du câble dans le sens des x croissants, les représentations complexes de l’intensité et de la tension sont de la forme u(x, t) = u0 exp(jω(t − x/c)) = u0 exp(j(ωt − kx)), i(x, t) = i0 exp(jω(t − x/c)) = i0 exp(j(ωt − kx)), en posant k = ω/c. Les amplitudes complexes u0 et i0 sont alors liées par u0 = Zi0 28. Nous avons ouvert cette partie en indiquant que l’ARQS, et par voie de conséquence les lois de Kirchhoff, n’étaient pas physiquement valables pour décrire la propagation d’un signal électrique sur de grandes distances, sans préciser davantage le domaine de validité de l’ARQS. L’étude de l’OPPH électrique nous permet de donner une réponse plus précise. En effet, la période spatiale (longueur d’onde) d’une OPPH est λ = 2π/k ; le déphasage entre i(0, t) et i(x, t) (de même que le déphasage entre u(0, t) et u(x, t)) est donc 2πx/λ. Donc si la longueur L du câble est très petite devant la longueur d’onde λ, on pourra considérer que ce déphasage est quasiment nul pour tout x compris entre 0 et L. Dans ce cas le courant i(x, t) (comme la tension u(x, t)) prennent quasiment la même valeur en tout point d’un même fil. Ce rasionnement permet de préciser la condition de validité de l’ARQS et des lois de Kirchhoff : dans le cas d’un signal sinusoïdal, elles ne s’appliquent valablement que si la longueur du circuit considéré est très petite devant la longueur d’onde. 2.4 Aspects énergétiques On considère des signaux électriques quelconques se propageant (selon les x croissants, ou dé- croissants, ou selon les deux à la fois) le long d’un câble non résistif d’impédance caractéristique Z. À un instant t quelconque, l’énergie δE stockée dans un petit tronçon (fig. III.4, haut à droite) de longueur infinitésimale δx est la somme des énergies accumulées dans la bobine et le condensateur correspondant, soit 1 1 δE = Γδxu2 (x + δx, t) + Λδxi2 (x, t) (III.34) 2 2 !2 1 ∂u 1 = Γδx u(x, t) + δx (x, t) + Λδxi2 (x, t). 2 ∂x 2 En divisant cette expression par δx puis en faisant tendre δx vers 0, on obtient la densité d’énergie par unité de longueur (ou densité linéique d’énergie) : δE 1 2 1 2 e(x, t) = = Γu (x, t) + Λi (x, t). (III.35) δx |2 {z } |2 {z } terme électrostatique terme magnétique 28. Si l’onde voyageait dans le sens des x décroissants, on aurait u(x, t) = u0 exp(j(ωt+kx)), i(x, t) = i0 exp(j(ωt+kx)), et of course u0 = −Zi0. 22 Ondes et Vibrations — Chapitre III Figure III.5 – Des signaux électriques de formes absolument quelconques voyagent le long d’un câble. On s’intéresse à l’énergie présente, à un instant donné, dans le tronçon compris entre les abscisses x1 et x2. L’énergie totale présente à l’instant t dans un segment de câble [x1 , x2 ] (non nécessairement petit, Fig. III.5) est donc donnée par la somme suivante : ˆ x2 ˆ x2 ˆ x2 1 2 1 E(t) = e(x, t)dx = Γ u (x, t)dx + Λ i2 (x, t)dx. (III.36) x1 2 x1 2 x1 Entre deux instants t et dt, l’énergie E présente dans cette portion du câble varie d’une quantité dE ; la puissance reçue par le segment [x1 , x2 ] est dE/dt (on peut aussi dire que la puissance émise par ce même segment est −dE/dt). On en obtient l’expression en dérivant III.36 par rapport au temps : ˆ x2 ˆ x2 dE 1 ∂u 1 ∂i = Γ 2u dx + Λ 2i dx. (III.37) dt 2 x1 ∂t 2 x1 ∂t En utilisant les équations couplées obtenues précédemment (III.30), on peut remplacer Γ∂u/∂t par −∂i/∂x, et Λ∂i/∂t par −∂u/∂x, ce qui donne : ˆ x2 ˆ x2 dE ∂i ∂u =− u dx − i dx dt x ∂x x1 ∂x ˆ 1x2 " # ∂i ∂u =− u +i dx x1 ∂x ∂x ˆ x2 ∂[ui] x=x2 =− dx = − [ui]x=x x1 ∂x 1 =u(x1 , t)i(x1 , t) − u(x2 , t)i(x2 , t). Résultat mathématique qui s’interprète physiquement ainsi : le segment [x1 , x2 ] reçoit par le côté 1 la puissance u(x1 , t)i(x1 , t), et reçoit par le côté 2 la puissance −u(x2 , t)i(x2 , t) (ou si l’on préfère, il transmet par le côté 2 la puissance +u(x2 , t)i(x2 , t)). À tout instant, et à toute abscisse x le long du câble, la puissance instantanée véhicu- lée par l’onde est donc : P (x, t) = u(x, t)i(x, t) et la puissance moyenne hP i véhiculée par l’onde est hP i = hu(x, t)i(x, t)i. Dans le cas d’une onde se propageant dans le sens des x croissants, u(x, t) = Zi(x, t) donc hP i = Z hi2 i = Zi2eff = u2eff /Z : une portion de câble reçoit alors une puissance (positive) par le côté 1 et transmet une puissance positive (donc reçoit une puissance négative) par le côté 2. Les signes sont bien sûr inversés dans le cas d’une onde se propageant dans le sens des x décroissants, puisqu’alors u(x, t) = −Zi(x, t). Notez toutefois que le calcul d’énergie ci-dessus et l’expression P (x, t) = u(x, t)i(x, t) de la puissance instantanée sont valables quel que soit le sens de propagation. Ondes et Vibrations — Chapitre III 23 2.5 Analogie Notons enfin que l’on constate une forte ressemblance, au moins formelle, entre la propagation des ondes acoustiques et celle des signaux électriques. Sans lui accorder trop d’importance, osons donc une analogie : surpression ⇔ tension électrique ; vitesse particulaire ⇔ courant ; énergie cinétique ⇔ énergie de la bobine ; énergie potentielle ⇔ énergie du condensateur ; impédance acoustique Z = ρ0 c ⇔ impédance électrique Z = Λc 29. L’équation de d’Alembert est une équation aux dérivées partielles (EDP) d’ordre 2, mettant en jeu une grandeur physique. On peut aussi choisir de l’écrire comme un système de deux EDP d’ordre 1, couplées, faisant intervenir deux quantités physiques différentes. Dans le cas du câble coaxial, nous l’avons déjà vu (éq. III.30), pour le couple intensité–tension :  ∂u ∂i +Λ =0    ∂x ∂t   ∂i ∂u +Γ =0    ∂x ∂t Idem dans le cas de l’onde acoustique, en raisonnant sur le couple surpression–vitesse particu- laire :  ∂ψ ∂v + ρ0 =0    ∂x ∂t   ∂v ∂ψ + χ0 =0    ∂x ∂t Quelle que soit la nature physique de l’onde mise en jeu, dans le cas d’une onde se propageant dans le sens des x croissants, la solution sera de la forme f (x − ct) pour les deux variables considérées. Le système d’équations couplées impose alors que les deux variables retenues soient proportionnelles l’une à l’autre, le coefficient de proportionnalité Z étant appelé impédance caractéristique du milieu de propagation. C’est ainsi que nous avons été amenés à introduire : q - l’impédance acoustique d’un matériau Zac = ρ0 cson = ρ0 /χ0 , q - l’impédance d’un câble électrique Zcâble = Λcélec = Λ/Γ. 29. Et si le câble était résistif, comme nous le verrons au chapitre V, nous pourrions ajouter : énergie perdue par frottement ⇔ énergie dissipée par effet Joule dans la résistance. 24 Ondes et Vibrations — Chapitre III 3 Ondes mécaniques longitudinales dans les solides À la fin du chapitre I (paragraphe 5, 2ème point, La matière à l’échelle microscopique), nous avons expliqué que le modèle masse+ressort, tout rudimentaire qu’il soit, pouvait rendre compte de l’interaction entre composants élémentaires de la matière. Nous modélisons donc ici un matériau solide quelconque comme une succession infinie de masses et de ressorts identiques, les masses représentant les atomes et les ressorts les interactions entre atomes voisins. Par simplicité, nous ne considérerons que les mouvements longitudinaux. Il y aura donc une seule coordonnée spatiale, x. M désigne la masse individuelle d’un atome, r0 la distance entre deux atomes au repos ; K est la raideur de chaque ressort et `0 sa longueur à vide. Considérons le nème atome de la chaîne (figure III.6) ; on note xn sa position d’équilibre, quel que soit le nombre entier n. En considérant que le premier atome de la chaîne est positionné au repos à l’origine (x0 = 0) et r0 étant la distance interatomique au repos, on a donc xn = nr0. Lorsque la chaîne est soumise à des vibrations longitudinales, à un instant t donné l’atome no n se trouve écarté de sa position d’équilibre d’une quantité n (t) = (xn , t). On cherche à établir une loi d’évolution (= une équation) pour . Comme toujours, on procède avec logique et rigueur, en plusieurs étapes. Figure III.6 – Tous les atomes ont même masse M, tous les ressorts même raideur K. xn désigne la position au repos de l’atome numéro n, et n = (xn , t) est le déplacement de cet atome à l’instant t par rapport à sa position de repos. Bilan des forces exercées sur l’atome n L’atome no n est attaché à deux ressorts, il subit donc deux forces (F~G exercée par le ressort de gauche et F~D exercée par le ressort de droite), proportionnelles aux élongations respectives des deux ressorts. À tout instant, on peut écrire : élongation du ressort de gauche = longueur du ressort de gauche - longueur à vide | {z } = distance entre atomes n et n − 1 élongation du ressort de droite = longueur du ressort de droite - longueur à vide | {z } = distance entre atomes n + 1 et n Au repos, la distance entre deux atomes voisins est r0 ; les élongations des deux ressorts sont donc égales et valent r0 − `0. Si l’élongation est positive (ce qui signifie qu’on a construit la chaîne en choisissant r0 > `0 ) : le ressort de droite tire dans la direction +~ex et le ressort de gauche tire dans la direction −~ex. Si l’élongation est négative (ce qui signifie qu’on a choisi r0 < `0 ) : le ressort de droite pousse dans la direction −~ex et le ressort de gauche pousse dans la direction +~ex. Ainsi, Ondes et Vibrations — Chapitre III 25 quel que soit le signe de l’élongation 30 , compte tenu du choix d’orientation pour le vecteur ~ex , on peut écrire F~D = K × (élongation du ressort de droite) ~ex = K × (r0 − `0 ) ~ex et F~G = −K × (élongation du ressort de gauche) ~ex = −K × (r0 − `0 ) ~ex A présent, quittons la situation de repos : donnons un coup de pied dans la chaîne d’atomes. Tout ce petit monde se met à vibrer, comme un amas d’étudiants à qui on vient d’annoncer une interro surprise. Les deux élongations n’ont alors plus de raison d’être égales, donc les deux forces ne vont plus nécessairement se compenser ; il faut les exprimer correctement. Pour cela, notons `G (t) la longueur du ressort situé à gauche de l’atome n, et `D (t) celle du ressort situé à sa droite. Forts de nos connaissances sur les ressorts idéaux, on peut écrire qu’à tout instant : F~D = K × (élongation du ressort de droite) × ~ex = K × (`D (t) − `0 ) × ~ex F~G = −K × (élongation du ressort de gauche) × ~ex = −K × (`G (t) − `0 ) × ~ex Au total, la somme des forces appliquées à la masse no n devient donc F~ = F~D + F~G = K × (`D (t) − `G (t)) × ~ex (III.38) Et les longueurs des deux ressorts s’expriment ainsi en fonction des déplacements des atomes : `D (t) = [xn+1 + (xn+1 , t)] − [xn + (xn , t)] = [xn+1 − xn ] + [(xn+1 , t) − (xn , t)] | {z } | {z } | {z } | {z } abscisse de l’atome n+1 abscisse de l’atome n r0 différence de déplacement entre atomes voisins `G (t) = [xn + (xn , t)] − [xn−1 + (xn−1 , t)] = [xn − xn−1 ] + [(xn , t) − (xn−1 , t)] | {z } | {z } | {z } | {z } abscisse de l’atome n abscisse de l’atome n-1 r0 différence de déplacement entre atomes voisins Hypothèse λ r0 Faisons alors la même hypothèse que pour les ondes acoustiques dans les fluides : la longueur d’onde est supposée beaucoup plus grande que la distance entre atomes voisins. De ce fait, à l’échelle de la longueur d’onde, la différence entre les déplacements de deux atomes voisins est très petite et peut donc être traitée comme une quantité infinitésimale, ce qui permet d’écrire les DL2 suivants : ∂ 1 2 ∂ 2 (xn+1 , t) = (xn + r0 , t) = (xn , t) + r0 (xn , t) + r (xn , t) ∂x 2 0 ∂x2 ∂ 1 2 ∂ 2 (xn−1 , t) = (xn − r0 , t) = (xn , t) − r0 (xn , t) + r (xn , t) ∂x 2 0 ∂x2 On a donc : `D (t) − `G (t) =[(xn+1 , t) − (xn , t)] − [(xn , t) − (xn−1 , t)] " # " # ∂ 1 2 ∂ 2 ∂ 1 ∂ 2 = r0 + r0 2 − r0 − r02 2 ∂x 2 ∂x ∂x 2 ∂x ∂ 2 =r02 2 (xn , t) (III.39) ∂x 30. Remarquons à nouveau tout l’intérêt des grandeurs algébriques ! 26 Ondes et Vibrations — Chapitre III En injectant III.39 dans III.38, le bilan des forces appliquées à la masse n s’exprime alors ainsi : 2 ∂ F~ = Kr02 2 (xn , t)~ex (III.40) ∂x Équation des ondes mécaniques longitudinales ∂ 2 Le vecteur position de l’atome n au temps t est (xn + (xn , t))~ex , son accélération est donc 2 ~ex. ∂t Compte tenu de III.40, le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’atome n conduit donc à: ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 M ∂ 2 Kr02 2 ~ex = M 2 ~ex donc − = 0. (III.41) | ∂x } {z | ∂t{z } ∂x2 Kr02 ∂t2 | {z } Somme des forces Masse×accélération 1/c2 Une nouvelle fois, dans une situation physique complètement différente des deux précédentes, on reconnaît dans cette expression l’équation des ondes, avec cette fois-ci pour vitesse de propagation : s Kr02 c= (III.42) M Propagation longitudinale du son dans les solides Nous modélisons un solide comme un ensemble de chaînes parallèles de masses et de ressorts, comme celle que nous venons d’étudier. En supposant pour simplifier que les atomes sont arrangés de façon cubique, la masse volumique du solide est ρ0 = M/r03. On peut donc reformuler III.42 pour exprimer la vitesse de propagation des ondes mécaniques longitudinales dans un solide : s K/r0 c= (III.43) ρ0 Par comparaison avec le résultat obtenu pour la vitesse des ondes acoustiques dans les fluides (éq. III.13), on remarque que la masse volumique se retrouve de nouveau au dénominateur, et que le terme K/r0 (coefficient homogène à une pression, qu’on appelle module d’élasticité longitudinale dans le cas d’un solide) y joue le même rôle que 1/χ0 (= incompressibilité, voir paragraphe 3.3.1 du chapitre I) dans un fluide. Compte tenu de l’ordre de grandeur de 1/χ0 (10 à 100 GPa, voir Table I.1, chap. I) et de la masse volumique des solides courants (103 à 104 kg.m−3 ) la vitesse des ondes acoustiques longitudinales dans les solides est de l’ordre de quelques kilomètres par seconde. L’expression de l’énergie potentielle d’interaction (voir paragraphe 5 du chapitre I) entre atomes voisins – interaction ici modélisée par les ressorts fictifs – ainsi que la distance interatomique r0 et la masse individuelle M des atomes déterminent donc la vitesse de propagation des ondes mécaniques longitudinales susceptibles de se propager dans un solide : c’est un exemple très simple de lien entre les propriétés microscopiques et macroscopiques de la matière. Notez toutefois que ce modèle élémentaire de la propagation du son dans les solides ne concerne que les ondes mécaniques longitudinales ; or un solide (cf. chapitre II) peut également héberger des ondes transversales. Sans en dire plus à notre niveau (attendons L3 ou M1), sachez que leur célérité est inférieure à celle des ondes longitudinales, et qu’elle fait intervenir un autre coefficient d’élasticité (le module d’élasticité de cisaillement), différent du module d’élasticité longitudinale. Ondes et vibrations Travaux dirigés no 3 2023-2024 Ex. 1. Ondes transversales sur une corde vibrante — Influence des conditions aux limites. On considère une corde horizontale tendue ; on néglige l’influence du poids de la corde, ce qui nous permettra de considérer qu’au repos la corde est en tout point parfaitement horizontale, quelle que soit la tension 31. Il est facile de créer des ondes transversales se propageant le long d’une corde tendue (corde de guitare, de piano, de violon, corde à sauter etc...). On note c la célérité de ces ondes, et on admet que le déplacement u(x, t) associé à toute onde transversale se propageant le long d’une corde tendue obéit à l’équation de d’Alembert. Les questions a à f sont à traiter dans l’ordre ; elles aboutissent à un modèle théorique simple de l’expérience dite de la corde de Melde que vous réaliserez en physique expérimentale. a) Solution générale. Rappelez l’expression de la solution générale de l’équation de d’Alembert ; interprétez chacun des termes de la solution. b) Corde de longueur infinie, sans conditions aux limites. On considère le cas (irréaliste, évidemment) d’une corde de longueur « infinie », c.-à-d. en l’occurrence dont les extrémités sont tellement loin de nous qu’on peut complètement ignorer les conditions s’appli- quant aux extrémités de la corde. Y a-t-il des contraintes particulières en ce qui concerne le sens de propagation ou la forme des ondes ? Par exemple, doivent-elles être sinusoïdales ? c) Corde de longueur infinie, attachée à une extrémité. On considère à présent le cas (toujours aussi irréaliste) d’une corde de longueur infinie, dont l’une des extrémités (appelons-la O) est attachée fixement à un mur inamovible. Traduisez cette condition physique en langage mathématique, en veillant à y faire figurer une mention particulièrement importante. En déduire alors que l’existence d’une onde incidente (ici, on appellera incidente l’onde se propageant vers le point O) conduit à l’existence d’une onde réfléchie (ici, s’éloignant du point O). Les formes des deux ondes sont-elles complètement indépendantes ? Par exemple, l’une peut-elle être sinusoïdale et l’autre gaussienne ? Le schéma ci-contre représente un exemple d’onde incidente, photographiée à l’instant pris pour origine des temps (t = 0) ; elle se propage vers le point d’at- tache O, à la célérité c = 60 m/s. Représentez la corde aux instants t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s et t = 4 s. Que vaut le déplacement en x = 30 m, à t = 2 s ? d) Ondes sinusoïdales sur une corde infinie attachée à une extrémité. On s’inté- resse au cas où l’une des deux ondes est une fonction sinusoïdale du temps (pour tout instant t) de fréquence f = ω/2π quelconque et d’amplitude complexe A. Déduire de tout ce qui précède l’expression de la représentation complexe du déplacement u(x, t) en tout point de la corde, à tout instant t ; donnez également sa représentation réelle u(x, t). Montrer qu’il existe des points de la corde (autres que le point d’attache) dont le déplacement est nul en tout temps t ; on appelle des nœuds, ou points nodaux. Quelle est la distance entre deux nœuds voisins ? 31. Dans ce contexte, le mot tension fait bien sûr référence à une force, et non à une différence de potentiel électrique. TD no 3 On suppose que la célérité est c = 60 m/s , l’onde incidente a pour amplitude 2 mm et pour fréquence 240 Hz. Quelle est la valeur maximale de l’amplitude du déplacement ? Et celle de la vitesse particulaire ? En quels points (on les appelle des ventres) cette valeur maximale est-elle atteinte ? Sur une même figure, représentez u(x, t) en fonction de x pour plusieurs instants t ; indiquez sur votre graphe les valeurs essentielles. Justifiez l’appellation d’onde stationnaire pour u(x, t). e) Modes propres d’une corde attachée aux deux extrémités. On se rapproche un peu plus d’une situation réaliste, en considérant à présent une corde de longueur L finie, attachée à ses deux extrémités, O et P ; on note L la distance OP. On cherche à savoir s’il est possible que les ondes se propageant le long de cette corde doublement attachée soient des fonctions sinusoïdales du temps, pour tout instant t ∈ [−∞; +∞], de fréquence f = ω/2π quelconque. Sous cette hypothèse donnez l’expression du déplacement u(x, t) en représentation complexe sous la forme d’une somme de deux termes, tout d’abord sans prendre en compte les deux conditions aux limites. Ensuite, prenez en compte les conditions aux extrémités O et P : montrez alors que seules certaines valeurs bien précises de la fréquence f sont compatibles avec ces conditions ; on notera ces fréquences particulières fn , où n est un entier positif. Chaque valeur de n correspond à un mode propre de la corde. n peut-il être nul ? La longueur de la corde est L = OP = 40 cm, et on donne c= 60 m/s. Est-il possible d’établir une onde sinusoïdale de fréquence 240 Hz sur cette corde ? Pour le mode d’indice n quelconque, donnez l’expression de la représentation complexe du déplacement u(x, t) ; quel est son module ? Dans le cas où la fréquence est égale à f1 (= fréquence du mode d’indice 1), représentez le déplacement u(x, t) en fonction de x, à un instant t que vous choisir

Ondes et Vibrations - Licence 2 de Physique, 2023-2024 - PDF

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