TEMA 1. La enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en Educación Primaria PDF

TEMA 1. La enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en Educación Primaria  TEMA 1. La enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en Educación Primaria 1.1 Aprender a enseñar matemáticas en la Educación Primaria 1.2. Modelos de intervención didáctica Seminario: El currículo en primaria ¿Qu...

TEMA 1. La enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en Educación Primaria  TEMA 1. La enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en Educación Primaria 1.1 Aprender a enseñar matemáticas en la Educación Primaria 1.2. Modelos de intervención didáctica Seminario: El currículo en primaria ¿Qué conocimientos consideras que debe tener un futuro maestro para dar clases de matemáticas en primaria?  “Conocimientos básicos sobre las matemáticas (cálculo, aritmética, razonamiento…); Conocimientos sobre la didáctica (qué y cómo enseñar); conocimiento de la atención psicoeducativa a la diversidad”  “Mayores de los que establece el currículo”+ “habilidades para impartirlos”  “Debe tener conocimientos básicos que tienen sus alumnos y algo más, que le permita responder a las preguntas que le hagan”  ¿Estas características cómo permiten entender el conocimiento? Epistemología, Metadisciplinas historia, sociología, Matemáticas Diseña Ingenieril estrategias DIDÁCTICA y currículos Saber Conocimiento común tradicional Todo esto aislado no lo explica la matemática, por ello la didáctica es una disciplina compleja pero desborda lo interdisciplinar. Friedrichsen et al. (2009): El Desarrollo del CDC desde tres Grandes Esferas Experiencias Formación de Aprendizaje Docente Conocimiento sobre la enseñanza de las Ciencias Conocimiento Específico de la Disciplina Conocimiento Pedagógico influye influye Orientaciones sobre la enseñanza de las Ciencias Conocimiento Conocimiento de del Currículo y las Estrategias de su materia Enseñanza CDC Conocimiento de (conocimiento la Evaluación didáctico del Conocimiento de contenido) los Estudiantes influye Conocimiento del Contexto Experiencia Docente  El espacio conforma Contar, localizar, tres elementos: medir y explicar. - La posición - Las formas - Los cambios El conocimiento geométrico y de medida El espacio y el tiempo son -Orientación los dos parámetros que Espacial enmarcan y organizan -Geometría Plana nuestra vida espacial. -Regularidades y Simetría Énfasis en la comprensión Resolución de de la Geometría (Van Hiele, 1957; Jaime y Gutiérrez, Problemas 1990; Jaime, 1993) Los procesos cognitivos Teorías (Duval, 1998; complementarias que Jones, 1998; analizan el aprendizaje Torregosa y de la Geometría Quesada, 2007). Se centran en la formación Piaget: Conservación de del concepto geométrico magnitudes/ Asimilación (Vinner, 1975; Fischbein, y acomodación 1993) Constructivismos  ¿Qué opinas de la enseñanza de la geometría en Primaria? Los futuros profesores tienen lagunas de Se enseña a los alumnos a conceptos de geometría escolar; algunos hacer, no a no conocen ni el contenido básico pensar Recuerdan que los materiales que utilizaban en El recuerdo Geometría eran figurasdedela dificultad madera de la y los instrumentos geometría para escolar y de dibujar. La utilización sulos falta de dominio materiales se hacía de unadeforma esporádica; contenido su escasez repercute enhacía sus que apenas los vieran ode expectativas losenseñanza-aprendizaje. tocasen pues “el maestro los enseñaba desde su mesa” Recuerdan que dedicaban más tiempo a los temas numéricos y conciben que éstos son más fáciles que los temas geométricos debido a que estaban más acostumbrados a trabajar con ellos.  La E/A de la Geometría en las últimas décadas se caracterizaba: - Por una fuerte tendencia a la memorización de conceptos y propiedades que muchas veces se basaban en otros conceptos anteriores. - La resolución automática de ejercicios en la que se trataban aspectos métricos (aritmetización). - Una exclusión de la intuición, demasiado pronto, como acceso al conocimiento geométrico. - Grandes dificultades de comprensión de algunos conceptos por parte de los https://www.youtube.com alumnos y desánimo en el profesor. /watch?v=S11up9Tz89I  7 MINUTOS Los enunciados que se incluyen a continuación han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos: a) Resuelve los problemas propuestos. b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la solución. c) Clasifica los enunciados según el grado de dificultad que les atribuyes: fácil, intermedio o difícil. d) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos.  Actividad 1. Repite esta plantilla seis veces y colorea en cada caso a) Un triángulo equilátero b) Un triángulo isósceles c) Un triángulo escaleno d) Un rectángulo e) Un trapecio f) Un rombo  Actividad 2  Escribe en qué se parecen y en qué se diferencia estos dos polígonos: El cuadrado es un caso particular de rectángulo, ya que cumple con la definición de rectángulo de ser un cuadrilátero (polígono de cuatro lados) cuyos ángulos son rectos (de 90°). El hecho de que sus lados sean paralelos dos a dos (es un paralelogramo) es una consecuencia. De hecho, el cuadrado es un rectángulo con lados contiguos congruentes.  La E/A de la Geometría en las últimas décadas se caracterizaba: Pirámide vs. Prisma https://www.youtube.com/watch?v =S11up9Tz89I Cono vs. Esfera vs. Cilindro https://www.disfrutalasmatematicas.com/ge ometria/cono-esfera-cilindro.html Los alumnos deben ser capaces de: - aprender a valorar las Matemáticas, sentirse seguros de su capacidad de hacer Matemáticas, -llegar a resolver problemas matemáticos, -aprender a comunicarse mediante las Matemáticas, -aprender a razonar matemáticamente La enseñanza y aprendizaje de la Geometría debe:  Conectar a los alumnos con el mundo en el que se mueven.  Preparar al alumnado para el aprendizaje de niveles más avanzados.  Adquirir una cultura geométrica con visión histórica.  Procurar conocimientos para aplicar las Matemáticas a otras áreas curriculares y en la vida cotidiana. 1.2.1 Resolución de problemas  TIPOS DE TAREAS EJERCICIO PROBLEMA INVESTIGACIÓN  Problema frente a Ejercicio Características de los Ejercicios Características de los Problemas Se ve claramente qué hay que hacer. Supone un reto. La finalidad es la aplicación La finalidad es profundizar en los mecánica de algoritmos. conocimientos y experiencias que poseen, para rescatar aquellos que son útiles para llegar a la solución esperada. Se resuelve en un tiempo relativamente corto. Requiere más tiempo para su resolución. No se establecen lazos especiales La persona que se implica en la entre el ejercicio y la persona que lo resolución lo hace emocionalmente. resuelve. Pueden tener una o más soluciones y las Generalmente tienen una sola vías para llegar a ellas pueden ser solución. variadas. Son muy numerosos en los libros de Suelen ser escasos en los libros de texto. texto. Actividad 3: 5 MINUTOS ¿Ha caído dentro o fuera? Los puntos A, B y C ¿Están dentro o fuera de la figura? 1. ¿Cómo te has enfrentado a esta situación? 2. ¿Qué procedimiento seguiste para resolverlo? 3. ¿Cómo te has sentido al resolverlo? Curvas que separan: fácil de entender, difícil de demostrar Cualquier deformación continua de un círculo es una curva de Jordan. Camille Jordan https://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/2012/06/20/ha-caido-dentro-o-fuera/  Los puntos A, B y C ¿Están dentro o fuera de la figura? SOLUCIÓN: A está dentro y B, C están fuera.  Referentes para proponer problemas  i. Formatos en los que los proponemos;  ii. Contextos elegidos para formular la tarea;  iii. Fuentes de donde obtendremos los datos y situaciones.  iv. Tipo de acción que propondremos a los estudiantes para resolverla. (procesos cognitivos)  v. Tipo de Respuesta  vi. Contenidos (Aritmética, Geometría, Medida, Álgebra, Estadística)  PROBLEMAS EN CONTEXTO NO MATEMÁTICO Cercanía al alumno Real Autenticidad, Verosímiles, aunque sea ficticio Realista No matemáticos Alto grado Fantástico Bajo grado A la hora de abrir el quiosco, Carmen tiene la duda de cuánto abrir las puertas, pues no sabe en qué ángulo sería más conveniente para que se vean todos los periódicos, revistas, etc. y a la vez las tenga bien vigiladas. ¿Las abrirías en un ángulo recto? ¿Cuánta amplitud sería más conveniente que tuvieran las puertas del quiosco?  ¿Este problema es real? ¿Resolverlo aporta algo de interés? Marcos se dispone a ordenar la vajilla limpia mientras su madre hace la comida. Hay tres tipos de vasos para colocar: Pequeño Tubo Grande 6.5 cm 5 cm 10 cm Hay tres estanterías de 100x40 cm donde colocar los vasos, una para cada tipo de vaso. Marco tiene que calcular cuántos vasos puede colocar en cada estantería.  PROBLEMAS ABIERTOS Si te diesen 100 de euros para gastar en una semana ¿En qué lo gastarías? ¿Cómo diseñarías la habitación de tu casa? (cómo colocar los muebles) Ángel tiene 7 euros ¿qué monedas y/o billetes tiene? PROBLEMAS EN CONTEXTO FANTÁSTICO Contiene elementos que no se encuentran en el mundo real Grado de fantasía bajo: implican un mundo casi real que contiene aspectos o situaciones inexplicables o poco racionales: (en un supermercado los juguetes cobran vida). Grado de fantasía alto: implican un mundo internamente consistente, secundario que incluye personajes o criaturas míticas o imaginarias (problemas del mundo de Bob Esponja)  PIXAR Maths Se trata de un reto en el que los alumnos van realizando tareas relacionadas con 12 películas de Pixar. Diseñado por profesores de 4º de primaria del colegio Humanitas de Torrejón de Ardoz. https://profenegrin.wixsite.com/pixarmaths HAY DIFERENTES MODELOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MODELO DE POLYA “Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, todo ello utilizando los medios adecuados cuando no se consigue de forma inmediata”. G. Polya Resolver problemas es una cuestión de habilidad práctica como, por ejemplo, nadar. Laun Para resolver habilidad problemapráctica esse adquiere mediante la imitación necesario: y1.laComprensión práctica. del enunciado. Al nadar imitamos los movimientos de pies y manos que hacen las 2. Concepción de un plan o estrategia. personas para intentar mantenernos a flote. Posteriormente, con la 3. Ejecución práctica del plan. aprendemos a nadar. 4. Visión retrospectiva. Al resolver problemas hay que imitar lo que otras personas hacen en casos semejantes, y aprenderemos ejercitándonos al resolverlos. 1.2.2. Metodología de laboratorio. Lema : APRENDER HACIENDO.  Metodología de laboratorio. Mientras en la resolución de problemas queremos desarrollar habilidades y procesos. En la metodología de laboratorio ponemos el acento en la formación de los conceptos.  Para tener en cuenta…  El trabajo se hace en grupos  Presentación del trabajo o actividad a realizar,  búsqueda del material,  desarrollo de la actividad  y exposición de los descubrimientos realizados.  Cierta sofisticación del material.  Poca cantidad de material hace que el alumno apenas lo manipule y no aprenda nada, y demasiado hace que se abrume.  Metodología de laboratorio Hay dos etapas Experimentación Reflexión Actividad 4 DOBLANDO CUADRADOS Si en un cuadrado de papel, mediante doblado, se marcan los puntos medios de los lados (x) y se hacen las dobleces indicadas en la figura se obtiene un cuadrado central. ¿Cuál es su superficie? 7 MINUTOS  Actividad 5 Áreas de cuadriláteros A partir de un cuadrilátero ABCD que mide k unidades de área se alargan los lados, todos “en el mismo sentido”, hasta que la longitud sea el doble de la inicial y se unen los puntos que resultan: M, N, P, Q. ¿Cuál es el área del cuadrilátero MNPQ? 10 MINUTOS ¿Será más fácil un caso particular? N D C P M A B Q Las áreas de los triángulos son iguales a la del rectángulo. Por lo tanto el área total es 5*Ar. ¿Será más fácil un caso particular? N D C P M A B Q El área de cada rectángulo es la misma, por lo tanto el área total es 5*Ar. ¿Qué ocurre si el cuadrilátero es un romboide? ¿Cómo plantear las preguntas?: Empezar por preguntas generales y sugerencias simples. Ir poco a poco hacia preguntas cada vez más precisas. La lista de preguntas debe ser corta, para que se repitan en circunstancias diversas, Aunque ahora hay que convirtiéndolas hacer algo asífácil más, también es en ver unque el área es 5k. hábito mental. Hay buenas y malas preguntas. Actividad 6 “Corta un hexágono regular de forma que con las partes puedas construir un rectángulo” 10 MINUTOS http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=14374&directory=67  1. Elabora un hexágono regular Actividad 6 de papel (busca cómo puedes hacerlo) “Un hexágono regular se puede cortar de forma que con las partes se forme un rectángulo” 2. Encuentra cómo obtener 10 MINUTOS estas partes que permiten convertirlo en un rectángulo mediante dobleces del papel (y detállalo paso a paso). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=14374&directory=67 47 1.2.3. Modelo de Van Hiele Características del Modelo de Van Hiele. Existen diferentes niveles de razonamiento en los estudiantes. 11 Los alumnos sólo podrán comprender aquellas cuestiones matemáticas que se presenten de 2 2 acuerdo con su nivel de razonamiento. Mediante una enseñanza adecuada se puede ayudar a los alumnos para que lleguen, en un breve plazo, a 3 3 razonar de una determinada manera. Utilidad de Modelo de Van Hiele para la enseñanza de la Geometría Niveles de Aprendizaje ✓ Nivel 1: Reconocimiento o Visualización. Fases de Aprendizaje Los niveles ayudan a✓secuenciar ✓ Nivel 2: Análisis. Información los contenidos y ✓ lasOrientación fases dirigida ✓ Nivel 3: De clasificación o organizan de Deducción informal u las actividades que ✓ Explicitación orden podemos diseñar en las unidades ✓ Orientación libre didácticas o situaciones de ✓ Nivel 4: Deducción Formal ✓ Integración aprendizaje. ✓ Nivel 5: Razonamiento rigurosamente deductivo. (Rigor) Características del Modelo de Van Hiele. Elementos clave El lenguaje El significado de los contenidos. PARTICULAR: Nivel de razonamiento SECUENCIAL: Orden PROGRESIVO: No depende de la edad EXPLÍCITO / IMPLÍCITO: Objetos de un nivel son explícitos en el siguiente. LINGÜISTICO: Diferente en cada nivel. DESAJUSTE: No puede usarse nada de un nivel superior  NIVEL 1 : RECONOCIMIENTO O VISUALIZACIÓN Percepción global e individual de las figuras Uso de propiedades imprecisas para identificar, comparar, ordenar, o caracterizar figuras. Aprendizaje de un vocabulario matemático básico acompañado de otros términos de uso común. No se suelen reconocer explícitamente las partes que componen las figuras ni sus propiedades matemáticas.  Se limitan a la descripción del aspecto físico de las figuras, sin entrar en otras relaciones de semejanzas y diferencias que puedan existir entre ellas. Propiedades: “el rectángulo es más largo”, "el rombo es más picudo”, etc.  NIVEL 1 : RECONOCIMIENTO O VISUALIZACIÓN Una persona que funciona a este nivel puede:  Aprender vocabulario geométrico  Identificar formas especificadas  Reproducir una figura dada  EJEMPLOS Dados varios cuadriláteros , los alumnos pueden reconocer si hay cuadrados y rectángulos, porque son similares en sus formas a cuadrados y rectángulos con los que se ha encontrado previamente  Dado un geoplano o un papel, podrían copiar las figuras  No reconocerían que las figuras tienen ángulos rectos o que los lados opuestos son paralelos. 57  NIVEL 2: ANÁLISIS Las relaciones entre propiedades aún no pueden ser explicadas por los estudiantes en este nivel. La deducción de propiedades se hace mediante experimentación. No se ven las interrelaciones entre las figuras No se entienden las definiciones (se recitan)  NIVEL 2: ANÁLISIS A través de la observación, medición, corte o doblaje y la experimentación los estudiantes empiezan a discernir las características de las figuras. La demostración de una propiedad se realiza mediante su comprobación en uno o pocos pasos. Las propiedades que surgen se usan para clasificar formas. Ninguna propiedad implica cualquier otra Las figuras se reconocen mediante sus partes.  NIVEL 3: DEDUCCIÓN INFORMAL El alumno es capaz de identificar y describir las figuras por sus propiedades. Pueden establecer las intrarrelaciones e interrelaciones de las figuras. Son capaces de deducir propiedades de una figura y reconocer clases de figuras. Entienden la inclusión en esas clases. Las definiciones adquieren significado. Ejemplos En la propia figura: En un cuadrilátero, para que todos los lados opuestos sean paralelos, es necesario que los ángulos opuestos sean iguales Entre figuras: un cuadrado es un rectángulo porque cumple todas sus propiedades  Inténtalo… 10 MINUTOS Para ello podemos recortar el triángulo, recortar los ángulos b y c y sobreponerlos encima de a. Sanz, I. (2001). Matemáticas y su Didáctica II. Geometría y medida. Serv. Ed. Universidad del País Vasco. 117 - 128 Utilidad de Modelo de Van Hiele para la enseñanza de la Geometría Niveles de Aprendizaje ✓ Nivel 1: Reconocimiento o Visualización. Fases de Aprendizaje ✓ Nivel 2: Análisis. ✓ Información ✓ Orientación dirigida ✓ Nivel 3: De clasificación o de Deducción informal u ✓ Explicitación orden ✓ Orientación libre ✓ Nivel 4: Deducción Formal ✓ Integración ✓ Nivel 5: Razonamiento rigurosamente deductivo. (Rigor)  FASE 1: Información Toma de contacto. Presentación de situaciones de aprendizaje, Observaciones Vocabulario Se puede realizar mediante un test o preguntas individuales. Actividades para los alumnos para un Nivel 2. Polígonos Al comienzo, el profesor y el alumno charlan y hacen actividades sobre polígonos La primera tarea será realizar observaciones y realizar preguntas para ir introduciendo el vocabulario específico de este tema. Profesor: ¿Qué es un polígono? ¿qué polígonos conoces? ¿en qué se parecen y diferencian? TAREA 1 Observa detenidamente cada una de las siguientes figuras. Indica aquellas que no son polígonos. Justifícalo en cada caso. Un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano.  FASE 2: ORIENTACIÓN DIRIGIDA El profesor organizará, en secuencias graduadas, las actividades de exploración de los alumnos. Preparación metodológica del profesor Las actividades consistirán en tareas cortas diseñadas para obtener respuestas específicas. TAREA 2 Analiza los siguientes polígonos y confecciona un listado con sus propiedades. TAREA 3 Traza todas las diagonales de cada uno de los polígonos siguientes. a) ¿Cuál de los dos polígonos tiene más diagonales? b) ¿De qué depende el número de diagonales de un polígono? La DIAGONAL de un polígono es:............................... https://www.youtube.com/watch?v=1SnvgVz0kWo  FASE 3: EXPLICITACIÓN Intercambio de experiencias. Los alumnos formarán una red de relaciones geométricas en un contexto de diálogo en grupo. El profesor debe reducir sus indicaciones al mínimo y el lenguaje a utilizar se irá especializando. No es una fase de aprendizaje de cosas nuevas, es una revisión del trabajo realizado anterior a la obtención de conclusiones y, de perfeccionamiento en la forma de expresarse.  FASE 4: ORIENTACIÓN LIBRE Una vez que el alumno ha adquirido un conocimiento, lo aplica de forma significativa a otras situaciones inéditas distintas pero con estructura comparable. Esta fase se basa en actividades de utilización y combinación de los nuevos conceptos, propiedades y formas de razonamiento. TAREA 4 Agrupar los siguientes polígonos, de diferentes formas, indicando la propiedad o propiedades que hayas considerado en cada caso. TAREA 5 Si sobre una línea recta se sitúa un libro de espejos, puede verse un polígono regular para un cierto valor del ángulo a (ángulo formado por los dos espejos). Experimenta con el libro de espejos para determinar las relaciones entre el ángulo a y el número de lados del polígono visualizado. Completa la tabla:  FASE 5: INTEGRACIÓN Es la fase de síntesis de los contenidos trabajados en las fases anteriores. La idea es mejorar la red interna de conocimientos que tenía el alumno antes de conocer estos contenidos. Se revisan, se añaden y se unifican los objetos y sus relaciones, que configuran el nuevo sistema de conocimiento construido. 75 TAREA 6 Las características o propiedades que a continuación se relacionan pertenecen a los polígonos. Asocia cada propiedad a la clase de polígono a la que pertenece. Propiedad o Característica 1. Tiene diagonales exteriores. 2. Tienen sólo diagonales interiores. Clases de Polígonos 3. Tienen todos los lados de igual a) Polígono cóncavo longitud. b) Polígono convexo 4. Tienen todos los ángulos interiores c) Polígono regular de igual medida. d) Polígono Irregular 5. Tienen todos los lados de igual e) Polígono equilátero longitud y todos los ángulos de f) No existen polígonos con igual medida. esa propiedad 6. Tienen por lo menos un ángulo que g) Todos tienen esa propiedad. mide más de 180º. 7. Todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.  Para recordar…. 2. En su libro de Geometría, José responde a las preguntas ¿qué figuras son rectángulos?, ¿cuáles son triángulos?: Con la información de las respuestas de José, ¿en qué nivel del modelo Van Hiele podríamos clasificar su desarrollo? Selecciona la opción que responde a la pregunta. a) En el nivel 2. José distingue que la segunda y la tercera figura de cada recuadro tienen diferente posición, a partir de la primera. b) En el nivel 1. José percibe individualmente cada figura, es decir, las formas son físicamente diferentes para él. c) En el nivel 2. José es capaz de identificar que el rectángulo tiene lados opuestos iguales y que el triángulo tiene tres lados.es decir, las formas son físicamente diferentes para él. a) En el nivel 2 de Van Hiele, los estudiantes distinguen dos figuras por una propiedad que cumple una de ellas y que no cumple la otra. Por ejemplo, reconocen que un rectángulo no es un cuadrado porque no tiene los cuatro lados iguales. En este caso, José no llega a identificar los tres rectángulos, ni los tres triángulos. El nivel en el que se encuentra no es de análisis (nivel 2) sino de visualización (nivel 1). En este caso, José reconoce algunas propiedades en la primera figura, pero no es capaz de generalizarlas para las otras dos. José aún no logra identificar que, aunque cambie la posición de los triángulos, las figuras siguen siendo triángulos. b) Correcta: En el nivel 1 o de reconocimiento, los escolares distinguen los objetos geométricos por su apariencia global. Aunque identifican lados, ángulos y algunas propiedades básicas, el significado que dan a estos elementos es más de carácter perceptible que matemático. La percepción que desarrollan de las figuras es individual para cada una, de modo que, si reconocen alguna propiedad en una figura, no la generalizan a otras figuras de la misma familia. Se incluyen atributos no esenciales en la percepción de las figuras, por ejemplo, su posición. En este caso, José reconoce el rectángulo y el triángulo apoyados sobre uno de sus lados, pero no los clasifica correctamente cuando aparecen apoyados sobre un vértice. c) En el nivel 2, los estudiantes ya son capaces de identificar características de las figuras como los lados opuestos iguales del rectángulo o la cantidad de lados del triángulo. Sin embargo, José no llega a esta distinción pues lo hubiera identificado para las tres figuras sin importar su orientación. José se encuentra en el nivel de visualización (nivel 1) y no de análisis (nivel 2) de Van Hiele. Este cambio implica pasar:  de un modelo de enseñanza a uno de aprendizaje,  de un modelo de clases magistrales a uno de diversificación de actividades,  de un modelo de evaluación sumativa y de control, a uno de evaluación formativa y de ayuda. ¿Estás dispuesto?