Multivariate Statistik und Datenanalyse Vorlesungsunterlagen PDF

Multivariate Statistik und Datenanalyse Wintersemester 2024/25 Florian Scharf 10. Dezember 2024 CFA I: Grundmodell und Modellmatrix  Themen der Vorlesung 1 22.10. Allgemeines Lineares Modell I: Modell, Interpretation & Inferenz 2 29.10. Allgemeine...

Multivariate Statistik und Datenanalyse Wintersemester 2024/25 Florian Scharf 10. Dezember 2024 CFA I: Grundmodell und Modellmatrix  Themen der Vorlesung 1 22.10. Allgemeines Lineares Modell I: Modell, Interpretation & Inferenz 2 29.10. Allgemeines Lineares Modell II: Kategoriale Prädiktoren & Interaktionen 3 05.11. Logistische Regression I: Modell, Interpretation der Modellparameter 4 12.11. Logistische Regression II: Schätzung, Modellgüte und stat. Inferenz 5 19.11. LMM I: Grundidee, Modelltypen 6 26.11. LMM II: Modellschätzung, Interpretation 7 03.12. LMM III: Modellierung wiederholter Messungen 8 10.12. CFA I: Grundmodell und Modellmatrix 9 17.12. CFA II: Schätzung und Modellgültigkeit 10 14.01. SEM I: Grundidee, Schätzung und Parameterinterpretation 11 21.01. SEM II: Flexibilität von SEMs, Pfadanalyse und Probleme von SEMs 12 28.01. Längsschnittliche SEMs I: Latente Wachstumskurvenmodelle 13 04.02. Längsschnittliche SEMs II: Messinvarianz und weitere Modelle 14 11.02. Statistik und Kausalität 423  Faktorenanalyse Wozu brauchen wir Faktorenanalysen? Was ist der Unterschied zwischen einer explorativen und einer konfirmatorischen Faktorenanalyse? Welche Parameter hat eine Faktorenanalyse und was bedeuten sie? Rückblick 424  Erinnerung: Notationen des ALM Frage: Wie groß ist der Einfluss einer oder mehrerer metrischer oder kategorialer Prädiktoren auf ein metrisches Kriterium? Grundgleichung des ALM für eine Person n: 𝑦! = 𝑏" + 𝑏# ⋅ 𝑥#! + 𝑏$ ⋅ 𝑥$! +... +𝑏% ⋅ 𝑥%! + 𝑒! - yn: Wert von Person n im Kriterium - x1n, x2n,.., xPn : Werte von Person n in den P Prädiktoren - en: Residuum bzw. Fehlerterm - Parameter des Modells: § b0: die Regressionskonstante § b1, …, bP: die Regressionsgewichte Rückblick 425  Matrix-Notation des ALM Matrix bzw. Matrizen: Notationsform für statistische Modelle - Ziel: formuliere das statistische Modell für alle Personen und Variablen gleichzeitig - Darstellung des ALMs in Matrizenform: $ = "# + ! y ein N × 1 - Vektor an Kriteriumswerten X ist eine N × (P + 1) - Matrix von Prädiktor-Werten b ist ein (P + 1) × 1 – Vektor von Regressionsgewichten e ist ein N × 1 - Residuenvektor Let‘s talk Mathe 426  Beispiel Zusammenhang zwischen Intelligenz (IQ), Gewissenhaftigkeit (G) und Vorgesetztenbeurteilung (V) Person IQ (x1) G (x2) V (y) $ = # '" +! 1 19 5 10 & () # & ( (* $ # & !( # $ ! $ ! $ ! 2 7 4 4 $ % ! $( " %! $ !' ! $ # ! $( $! ! 3 10 5 6 () $ ! $ ! $ ! & ") # $ & ! 4 13 3 7 $ " ! $( (& & ! $ ! $ !% ! 5 16 6 10 $ () ! = $ ( ! ' $ "( ! + $ ! (# # $ ! $ !$ ! $ ! $ ! % "' " 6 4 5 4 $ % ! $( % $! $ !# ! $ % ! $( $ ! 7 7 6 4 $ ! $ " # !! $ !" ! $ * ! $( (* # !" $! ! 8 19 6 9 % " % % !" d.h. Personen in Zeilen und Variablen in Spalten (von X) – die Spalte mit 1en dient zur Repräsentation der Konstante Let‘s talk Mathe 427  Beispiel y =X ·b+e 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       10 1 19 5 e1  4  1 7 4 e2         6  1 10 5   e3      b0    7  1 13 3    =  · b1  + e4  10 1 16 6 e5      b2    4  1 4 5 e6         4  1 7 6 e7  9 1 19 6 e8         1 · b0 + 19 · b1 + 5 · b2 e1 ŷ1 e1  1 · b0 + 7 · b1 + 4 · b2  e2  ŷ2  e2          1 · b0 + 10 · b1 + 5 · b2  e3  ŷ3  e3          1 · b0 + 13 · b1 + 3 · b2  e4  ŷ4  e4  =        1 · b0 + 16 · b1 + 6 · b2  + e5  = ŷ5  + e5           1 · b0 + 4 · b1 + 5 · b2  e6  ŷ6  e6           1 · b0 + 7 · b1 + 6 · b2  e7  ŷ7  e7  1 · b0 + 19 · b1 + 6 · b2 e8 ŷ8 e8 Let‘s talk Mathe 428  Überblick Wie beschreibt man das Grundmodell der CFA mathematisch? Welche Parameter enthält eine CFA und wie interpretiert man sie? Wie stellt man ein CFA-Modell auf? Wie ergibt sich die modell-implizierte Kovarianzmatrix aus dem CFA-Modell? Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 429 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Faktorenanalyse Grundgleichung der Faktorenanalyse für die Antwort einer Person n bzgl. einer Variable p: Ynp = µp + · ⌘1n + · · · + · ⌘Qn + ✏np 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 p1 pQ – η.n: Ausprägung der Person n im Faktor 1, …, Q – εnp: Residual- bzw. Fehlerterm – Modellparameter (vgl. auch S. 439): μp = Intercept λp. = Faktorladung des Items p für den Faktor 1, …, Q im Falle eines 1-Faktor-Modells (d.h. Q = 1): Ynp = μp + λp ∙ η1n + εnp Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 430 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Beispiel Person Y1 Y2 Y3 Y4 1 1 2 1 3 2 1 3 3 3 Person 1, 1 Faktor: 3 3 4 4 4 4 2 3 4 3 Y11 = 1 = μ1 + λ1 ∙ η11 + ε11 Y12 = 2 = μ2 + λ2 ∙ η11 + ε12 5 2 3 3 2 Y13 = 1 = μ3 + λ3 ∙ η11 + ε13 6 3 4 5 4 Y14 = 3 = μ4 + λ4 ∙ η11 + ε14 7 1 3 4 2 8 1 2 3 2 9 2 2 4 3 10 1 2 4 1 Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 431 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Faktorenanalyse Grundgleichung der Faktorenanalyse für die Antwort einer Person n bzgl. einer Variable p: Ynp = µp + · ⌘1n + · · · + · ⌘Qn + ✏np 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 p1 pQ – η.n: Ausprägung der Person n im Faktor 1, …, Q – εnp: Residual- bzw. Fehlerterm – Modellparameter: μp = Intercept λp. = Faktorladung des Items p für den Faktor 1, …, Q im Falle eines 2-Faktor-Modells (d.h. Q = 2): Ynp = μp + λp1 ∙ η1n + λp2∙ η2n + εnp Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 432 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Beispiel Person Y1 Y2 Y3 Y4 1 1 2 1 3 2 1 3 3 3 Person 1, 2 Faktoren: 3 3 4 4 4 4 2 3 4 3 Y11 = 1 = μ1 + λ11 ∙ η11 + λ12 ∙ η21 + ε11 Y12 = 2 = μ2 + λ21 ∙ η11 + λ22 ∙ η21 + ε12 5 2 3 3 2 Y13 = 1 = μ3 + λ31 ∙ η11 + λ32 ∙ η21 + ε13 6 3 4 5 4 Y14 = 3 = μ4 + λ41 ∙ η11 + λ42 ∙ η21 + ε14 7 1 3 4 2 8 1 2 3 2 9 2 2 4 3 10 1 2 4 1 Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 433 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Faktorenanalyse zwei weitere Formulierungen des Grundmodells: 1. für eine Variable p (in Vektorenschreibweise): Yp = μp ∙ 1N + λp1 ∙ η1 + λp2 ∙ η2 + … + λpQ ∙ ηQ + εp Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 434 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Beispiel Person Y1 Y2 Y3 Y4 Formulierung für Variable 1: 1 1 2 1 3 2 1 3 3 3 1 y!! 1 y"! 3 3 4 4 4 = y#! 3 4 2 3 4 3.... 1 y!$,! 5 2 3 3 2 𝜂!! ϵ!! 1 6 3 4 5 4 1 𝜂!" ϵ"! = 𝜇! 1 + 𝜆! 𝜂!# + ϵ#! 7 1 3 4 2...... 8 1 2 3 2 1 𝜂!,!$ ε!$,! = 𝜇!1& + 𝜆!η! + 𝜀 ! 9 2 2 4 3 = [𝜇!+𝜆!η! + 𝜀!] 10 1 2 4 1 Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 435 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Faktorenanalyse zwei weitere Formulierungen des Grundmodells: 1. für eine Variable p (in Vektorenschreibweise): Yp = μp ∙ 1N + λp1 ∙ η1 + λp2 ∙ η2 + … + λpQ ∙ ηQ + εp 2. Formulierung in Matrixschreibweise (d.h., für alle Personen und Variablen): Y= μ +Λ ∙ η + ε dabei ist Λ die Faktorladungsmatrix (vgl. Zusatzmaterial bei Interesse) Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 436 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Beispiel Person Y1 Y2 Y3 Y4 Formulierung für einzelne Items: 1 1 2 1 3 2 1 3 3 3 𝑌! = 𝜇!1& + λ!η! + 𝜀! 𝑌" = 𝜇"1& + λ"η! + 𝜀" 3 3 4 4 4 𝑌# = 𝜇#1& + λ#η! + 𝜀# 4 2 3 4 3 𝑌' = 𝜇'1& + λ'η! + 𝜀' 5 2 3 3 2 Formulierung in 6 3 4 5 4 Matrixschreibweise: 7 1 3 4 2 𝑌! 𝜇!1& 𝜆! ϵ! 8 1 2 3 2 𝑌" 𝜇"1& 𝜆 ϵ" = + " η1 + ϵ# 9 2 2 4 3 𝑌# 𝜇#1& 𝜆# 𝑌' 𝜇'1& 𝜆' ε' 10 1 2 4 1 = 𝜇 + Λ 1 η1 +𝜀 Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 437 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Beispiel: Faktorladungsmatrix manchmal gibt Software die Faktorladungsmatrix aus: – Zeilen = Variablen – Spalten = Faktoren 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   ω11 ω12 ··· ω1Q  ω21 ω22 ··· ω2Q    !=.......  .....  ωP1 ωP2 ··· ωPQ Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 438 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Faktorenanalyse vs. ALM im Gegensatz zum ALM formuliert man das faktorenanalytische Modell nicht für eine, sondern für mehrere Variablen im Falle einer Variable Yp sind die beiden Modelle aber sehr ähnlich: ALM: Ynp = bp0 + bp1 ∙ X1p + … + bpQ ∙ XQn + εnp FA: Ynp = μp + λp1 ∙ η1p + … + λpQ ∙ ηQn + εnp - zentraler Unterschied: zu den „Prädiktoren“ in der Faktorenanalyse liegen keine Werte vor Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 439 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Interpretation wichtiger Parameter Faktorladung λp.: vorhergesagte Änderung im Wert der Variable p, wenn man den Wert des Faktors um 1 erhöht – inwieweit schlagen sich die Unterschiede im Faktor in beobachtbaren Unterschieden in der Variable nieder – im Falle mehrerer Faktoren: kontrolliert für die anderen Faktoren Intercept μp : vorhergesagte Ausprägung der beobachteten Variable, wenn der/die Faktor/en 0 sind Varianz der Fehlerterme einer Variable Yp: Varianz von Yp, die nicht durch den/die Faktor/en aufgeklärt wird Kovarianz zwischen den Faktoren: Zusammenhang zwischen zwei Faktoren Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 440 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Faktorenanalyse Ziel der Faktorenanalyse: Schätzung der Modellparameter, d.h. der Ladungen, der Intercepts usw. – Problem: man kennt die Werte der latenten Faktoren nicht zwei Varianten faktorenanalytischer Verfahren: explorative (bzw. exploratorische) versus konfirmatorische Faktorenanalyse (EFA vs. CFA) – wir beschäftigen uns nur mit der konfirmatorischen Faktorenanalyse Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 441 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Konfirmatorische Faktorenanalyse Ausgangssituation: Faktorenmodell zur Erklärung der Zusammenhänge ist bekannt (z.B. aus einer Theorie) Ziel: Überprüfung, ob Modell die Daten „gut“ beschreibt Ablauf einer konfirmatorischen Faktorenanalyse (CFA): 1. Aufstellen eines Modells, d.h. Herleitung der - modell-implizierten Varianz-Kovarianzmatrix Σ - modell-implizierten Erwartungswerte E(Yj) 2. Schätzung der Modellparameter 3. Modellbewertung 4. ggf. Modellrevision Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 442 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  1. Aufstellen eines Modells a priori Festlegung Faktormodell umfasst Spezifikation - der Anzahl der latenten Faktoren - der Zuordnung der Items zu den Faktoren - der Zusammenhänge zwischen den latenten Faktoren - ggf. Zusammenhänge zwischen den Fehlern üblich ist grafische Darstellung des festgelegten Modells in einem Pfaddiagramm (auch Pfadmodell) Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 443 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Pfaddiagramm statistische Modelle werden häufig grafisch dargestellt Symbole: - beobachtete bzw. manifeste Variablen: - nicht-beobachtete bzw. latente Variablen: - „beeinflusst“ bzw. „sagt vorher“: - miteinander korreliert: - fehlender Pfad: der entsprechende Koeffizient ist Null - Intercepts werden mit 1 oder gar nicht dargestellt Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 🎊 444 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Beispiele Pfaddiagramm für Zusammenhang zwischen den manifesten Variablen Intelligenz (IQ), Gewissenhaftigkeit (G) und Vorgesetztenbeurteilung (V) IQ b1 V e b2 G Vn = b0 + b1 · IQn + b2 · Gn + en 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 Residuen werden grundsätzlich als latente Variablen aufgefasst. Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 445 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Beispiele Pfaddiagramm für eine Faktorenanalyse mit 4 Items und einem Faktor ε1 ε2 ε3 ε4 Y1 Y2 Y3 Y4 λ1 λ2 λ3 λ4 η1 Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 446 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  ein paar Rechenregeln X1, X2 und X3 sind Variablen, a und b sind Zahlen und c ist ein Vektor mit konstanten Elementen: - Var(X1) = Kov(X1, X1) - Var(c) = 0 - Var(b + a · X1) = a2 · Var(X1) - Var(X1 + X2) = Var(X1) + Var(X2) + 2 ∙ Kov(X1, X2) - Kov(b, X1) = 0 - Kov(X1 + X2, X3) = Kov(X1, X3) + Kov(X2, X3) - Kov(a · X1, X2) = a · Kov(X1, X2) Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 447 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Herleitung von Σ zusätzliche Modellannahmen für die Herleitung: Kov(η1, ε) = 0 und i.d.R. Kov(εp, εk) = 0 auf der Basis des a priori definierten Faktormodells kann man die Varianz für jede Variable p und die Kovarianz jedes Variablenpaars p und k herleiten - im Falle eines 1-Faktor-Modells gilt: o Var(Yp) = λ2p ∙ Var(η1) + Var(εp) o Kov(Yp,Yk) = λp ∙ λk ∙ Var(η1) Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 448 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Beispiel für 4 Variablen gilt bei Annahme eines 1-Faktor-Modells: & "#$%!- ! '()%!-&!+ ! '()%!-&!, ! '()%!-&!* ! # $ ! $ "#$%!+ ! '()% ! + &!, ! '()% ! + &! ! * ! (=$ "#$%!, ! '()%!, &!* ! ! $ ! $ "#$%!* ! !" % & "-+ "#$%)1! + "#$%!- ! "- ' " + ' "#$%)1! "- ' " , ' "#$%)1! "- ' " * ' "#$%)1! # $ ! $ " + "#$%)1! + "#$%! + ! + " + ' " , ' "#$%)1! " + ' " * ' "#$%)1! ! =$ ! $ " + , "#$% ) ! + "#$%! , ! " , ' " * ' "#$%)1! ! $ " * "#$%) ! + "#$%! * ! !" + % Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 449 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Herleitung von Σ zusätzliche Modellannahmen für die Herleitung: Kov(η1, ε) = 0 und i.d.R. Kov(εp, εk) = 0 Statistikprogramme nutzen die Matrixschreibweise des Modells: Σ = Λ ∙ Φ ∙ ΛT + Ψ - dabei ist: § Σ: die modell-implizierte Varianz-Kovarian-Matrix der manifesten Variablen § Λ : Faktorladungsmatrix § Φ: Varianz-Kovarianz-Matrix der latenten Faktoren § Ψ: Matrix der Fehlervarianzen (und Kovarianzen) - sog. Grundgleichung der Faktorenanalyse Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 450 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Lessons learned… Uns interessieren inhaltlich die Parameter: Faktorladungen, Faktorkorrelationen, Höhe der Fehlervarianzen direkte Beziehung zwischen (Ko-)Varianzen der manifesten Variablen und interessierenden Parametern: - man. Variablen korrelieren, wenn sie auf denselben Faktor laden, oder - die Faktoren korrelieren, oder - die Residuen korrelieren neues Ziel (vgl. CFA II): wähle die Parameter so, dass sie die beobachten (Ko-)Varianzen gut erklären - dafür muss man die Faktorwerte nicht kennen! Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 451 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Herleitung von E(Yj) zwei Rechenregeln für den Erwartungswert: - ist X = b + a ∙ Z, dann gilt: E(X) = b + a ∙ E(Z) - für Z = X + Y gilt: E(Z) = E(X + Y) = E(X) + E(Y) auf der Basis des a priori definierten Faktormodells (und der Rechenregeln) kann man den Erwartungswert einer Variable p bestimmen - für das 1-Faktor-Modell ist E(Yp) = μp + λp ∙ E(η1), dabei ist E(η1) der Erwartungswert des latenten Faktors - ist E(η1) = 0, dann gilt E(Yp) = μp Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 452 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Zusammenfassung Grundmodell der CFA ist eine „multivariate Regression“ – manifeste Variablen = AVs – latente Faktoren = UVs Parameter: Faktorladungen, Intercepts, Fehlervarianzen, Faktor(ko)varianzen Aus Modellspezifikation ergibt sich die modell-implizierte Kovarianzmatrix. – d.h. jedes Faktormodell impliziert ein bestimmtes Zusammenhangsmuster zwischen den manifesten Variablen Spoiler: Die modell-implizierte Kovarianzmatrix brauchen wir zur Schätzung und Bewertung des CFA-Modells (und der darauf aufbauenden SEMs). Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 453 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Fragen Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 454 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation  Literatur für heute Eid, M., Gollwitzer, M., & Schmitt, M. (2017). Statistik und Forschungsmethoden (5. Aufl.). Beltz: Weinheim, Basel. Kap. 24 (Relevante Abschnitte) alternativ: - Krohne, H. W. & Hock, M. (2007). Psychologische Diagnostik: Grundlagen und Anwendungsfelder. Stuttgart: Kohlhammer. S. 85-106 Konfirmatorische Faktorenanalyse I: 455 Grundmodell Interpretation der Parameter CFA: Modellspezifikation Vielen Dank für Ihre Workshop Aufmerksamkeit! R-Grundlagen 10.10.2016  Übungsaufgaben 1. Erläutern Sie, worauf nach der Faktorenanalyse der Zusammenhang zwischen zwei Variablen Y1 und Y2 beruht? 2. Leiten Sie die modell-implizierte Varianz-Kovarianzmatrix für den Fall von 3 Variablen her. Nehmen Sie dabei an, dass das Ein-Faktor Modell gilt und dass die Fehler von Variable 1 und Variable 2 miteinander kovariieren. 3. Eine CFA für 4 Variablen (Annahme: Ein-Faktor Modell, keine korrelierten Fehler) erbrachte folgendes Ergebnis: Ladung λp Fehlervarianz Var(εp) Variable 1 1.000 0.042 Variable 2 0.787 0.208 Variable 3 0.765 0.718 Variable 4 0.891 0.359 Die Varianz des Faktors ist 0.568. 457  Übungsaufgaben a. Bestimmen Sie die (modell-implizierte) Varianz von Variable 1. b. Berechnen Sie die (modell-implizierte) Kovarianz von Variable 1 und 2. c. Berechnen Sie die (modell-implizierte) Korrelation von Variable 2 und 3. 4. Ein Forscher macht folgende Annahmen bzgl. 4 Variablen: (1) den Variablen liegt ein Zwei-Faktor Modell zu Grunde, (2) Variable 1 und 2 laden nur auf den ersten Faktor, Variable 3 und 4 laden nur auf den zweiten Faktor, (3) die zwei latenten Faktoren sind unkorreliert und (4) alle Fehler sind unkorreliert. a. Zeichnen Sie das Pfaddiagramm zu diesem Modell. Überlegen Sie sich ein Beispiel, das man zur Illustrierung der Annahmen verwenden kann. b. Stellen Sie die Grundgleichung für Variable 1 auf. Was bedeuten die einzelnen Komponenten der Gleichung? (**) Bestimmen Sie die modell-implizierte Varianz von Variable 1. Wann korreliert Variable 1 und Variable 3? Interpretieren Sie die Ergebnisse für Ihr Beispiel. (**) Bestimmen Sie die modell-implizierte Kovarianz von Variable 1 und 3. Interpretieren Sie das Ergebnis für Ihr Beispiel. 458  Übungsaufgaben 5. ** Erklären Sie den Witz. 459