Endomorphisms and Isomorphisms of Groups

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16 Questions

Qu'est-ce qu'un endomorphisme d'un groupe ?

Une application qui mappe un groupe sur lui-même

Quelle condition doit remplir un morphisme de groupes pour être considéré comme un isomorphisme ?

Doit être bijectif

Que signifie-t-il si deux groupes (G, ∗) et (G0 , T) sont isomorphes ?

Ils ont la même structure de groupe

Quel est le noyau d'un morphisme de groupes f : (G, ∗) → (G0 , T) noté Ker(f) ?

{e}

Que représente Im(f) dans le contexte des morphismes de groupes ?

L'ensemble des éléments de G0 qui sont envoyés par f

Quelle affirmation est vraie sur les morphismes de groupes ?

La composée de deux isomorphismes de groupes est un isomorphisme de groupes.

Selon la Proposition 1.46, que peut-on dire de l'ensemble Aut(G) des automorphismes de groupe de G ?

Il est un groupe pour la composition.

Quelle condition est nécessaire si f est injectif ?

Kerf ⊆ {e}

Que signifie l'isomorphisme entre G et G0 ?

G et G0 sont isomorphes, c'est-à-dire qu'il existe un isomorphisme de groupes entre eux.

Quelle proposition est vraie concernant les automorphismes d'un groupe G ?

Un automorphisme doit être un homomorphisme mais pas nécessairement bijectif.

Que signifie l'ensemble Aut(G) des automorphismes d'un groupe G ?

Il contient les automorphismes et les endomorphismes du groupe G.

Quelle est la condition nécessaire pour que H ∪ K soit un sous-groupe de G ?

H ⊂ K ou K ⊂ H

Quel est un exemple de morphisme de groupes selon le texte ?

f : (R, +) → (R∗+ , ×), x 7→ f(x) = ex

Pourquoi 2Z ∪ 3Z n'est pas un sous-groupe de G selon le texte ?

Parce qu'il n'est pas stable par l'addition.

Que signifie un morphisme de groupes selon la définition donnée ?

Une application entre deux groupes qui préserve la multiplication interne.

Selon le texte, pourquoi est-il important que H ∪ K soit stable par l'opération ∗ ?

Pour assurer la fermeture du groupe.

Explore the concept of endomorphisms and isomorphisms in group theory with this quiz. Learn about how group homomorphisms and isomorphisms relate to the commutativity of groups. Test your knowledge on propositions related to group isomorphisms and endomorphisms.

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