Знайти закон розподілу випадкової величини на основі числових характеристик цієї величини та певної інформації про закон її розподілу: якщо M(X)=4, M(X²)=19. Знайти закон розподілу випадкової величини на основі числових характеристик цієї величини та певної інформації про закон її розподілу: якщо M(X)=4, M(X²)=19. Read more

Steps to Solve

1. Запис характеристик випадкової величини

   Маємо три значення випадкової величини: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = 6 $$

   Знайдемо ймовірності $p_1$, $p_2$, і $p_3$.

2. Використання формули для математичного сподівання

   Знаємо, що математичне сподівання випадкової величини $M(X)$ визначається формулою: $$ M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 $$

   Підставляємо відомі значення: $$ 4 = 1 \cdot p_1 + 3 \cdot p_2 + 6 \cdot p_3 $$

3. Використання формули для математичного сподівання квадрату

   Знайдемо $M(X^2)$: $$ M(X^2) = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3 $$ $$ 19 = 1^2 \cdot p_1 + 3^2 \cdot p_2 + 6^2 \cdot p_3 $$ $$ 19 = 1 \cdot p_1 + 9 \cdot p_2 + 36 \cdot p_3 $$

4. Система рівнянь

   Маємо дві рівняння:

   1. $ p_1 + p_2 + p_3 = 1 $ (закон ймовірностей)
   2. $ 1 p_1 + 3 p_2 + 6 p_3 = 4 $
   3. $ 1 p_1 + 9 p_2 + 36 p_3 = 19 $

5. Розв'язування системи

   Вирішимо цю систему рівнянь. Від $p_1 + p_2 + p_3 = 1$ знайдемо $p_3 = 1 - p_1 - p_2$. Підставимо у два інших рівняння для $p_1$ та $p_2$.

6. Підстановка у рівняння

   Після підстановки отримаємо: $$ p_1 + 3p_2 + 6(1 - p_1 - p_2) = 4 $$ $$ p_1 + 9p_2 + 36(1 - p_1 - p_2) = 19 $$

   Вирішимо ці два рівняння для $p_1$ та $p_2$.

7. Знаходження значень ймовірностей

   Після розв'язування системи отримаємо значення $p_1$, $p_2$, $p_3$. Підсумовуючи, знайдемо закон розподілу випадкової величини.