Un fil infini porte une densité de charge linéique constante +λ. Ce fil est placé sur l'axe vertical z'0z. 1°) Calculer par le théorème de Gauss le champ électrostatique E(r) créé... Un fil infini porte une densité de charge linéique constante +λ. Ce fil est placé sur l'axe vertical z'0z. 1°) Calculer par le théorème de Gauss le champ électrostatique E(r) créé en un point M(r) sur l'axe horizontal (0r) de vecteur unitaire er. 2°) Déduire le potentiel électrostatique V(r). 3°) La partie 0z du fil est supprimée, calculer le champ électrostatique créé par le fil semi-infini z'0 en un point M(r) de l'axe (0r) en fonction des vecteurs er et k. 4°) Quelle est la direction de ce champ électrostatique par rapport au plan horizontal passant par 0. Read more

Steps to Solve

1. Calcul du champ électrostatique E(r) par le théorème de Gauss

On considère un fil infini de charge linéique de densité $+\lambda$. Pour appliquer le théorème de Gauss, nous choisissons une surface cylindrique de rayon $r$ et de hauteur $h$ centrée sur le fil. Selon le théorème de Gauss, le flux électrique est donné par:

$$ \Phi_E = E \cdot A $$

où $E$ est l'intensité du champ électrique, et $A$ est l'aire de la surface. L'aire de la surface latérale du cylindre est $A = 2\pi r h$. Le total de charge à l'intérieur du cylindre est $Q_{int} = \lambda h$. Le théorème de Gauss s'exprime alors par:

$$ \Phi_E = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0} $$

En égalant les deux expressions, on obtient:

$$ E \cdot (2\pi r h) = \frac{\lambda h}{\epsilon_0} $$

D’où:

$$ E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r} $$

2. Calcul du potentiel électrostatique V(r)

Le potentiel électrostatique $V(r)$ est donné par l'intégrale du champ électrique:

$$ V(r) = -\int E , dr $$

En intégrant de l’infini à un point $r$, on a:

$$ V(r) = -\int_{\infty}^{r} \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r'} , dr' $$

En résolvant cette intégrale, on trouve:

$$ V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln\left(\frac{r}{r_0}\right) $$

où $r_0$ est une distance de référence.

3. Champ électrostatique créé par le fil semi-infini

Pour un fil semi-infini, la formule du champ devient différente. Pour le segment vertical $z'0$, en un point $M(r)$, le champ électrostatique est donné par:

$$ E = \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 r} ( \hat{e}_r + \hat{k}) $$

où $\hat{k}$ est le vecteur unitaire dans la direction z.

4. Direction du champ E par rapport au plan horizontal

Le champ est dirigé radialement, donc, si on observe un point en haut du fil, le champ sera dirigé vers l'extérieur (horizontalement) à partir du fil. Par conséquent, par rapport au plan horizontal, la direction sera perpendiculaire au fil en tout point $M(r)$.