Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 3/(x^2 - 4) ≥ 0.

Steps to Solve

1. Menyusun Pertidaksamaan Kita mulai dengan mempertimbangkan pertidaksamaan: $$ \frac{x + 3}{x^2 - 4} \geq 0 $$

2. Mencari Titik Kritis Kita cari titik kritis dengan menyamakan pembilang dan penyebut dengan nol.

• Untuk pembilang: $x + 3 = 0$, $$ x = -3 $$
• Untuk penyebut: $x^2 - 4 = 0$, $$ x^2 = 4 $$ $$ x = 2 \text{ atau } x = -2 $$

3. Menggambar Garis Bilangan Buat garis bilangan dengan titik kritis yang kita temukan: $$ x = -3, -2, 2 $$ Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi interval: $(-\infty, -3)$, $(-3, -2)$, $(-2, 2)$, dan $(2, \infty)$.

4. Menguji Interval Uji tanda dari setiap interval:

• Untuk interval $(-\infty, -3)$, pilih $x = -4$. $$ \frac{-4 + 3}{(-4)^2 - 4} = \frac{-1}{16} < 0 $$
• Untuk interval $(-3, -2)$, pilih $x = -2.5$. $$ \frac{-2.5 + 3}{(-2.5)^2 - 4} = \frac{0.5}{-6.25} < 0 $$
• Untuk interval $(-2, 2)$, pilih $x = 0$. $$ \frac{0 + 3}{0 - 4} = \frac{3}{-4} < 0 $$
• Untuk interval $(2, \infty)$, pilih $x = 3$. $$ \frac{3 + 3}{3^2 - 4} = \frac{6}{5} > 0 $$

5. Menentukan Himpunan Penyelesaian Gabungkan hasil uji:

• Pada interval $(-\infty, -3)$: negatif
• Pada interval $(-3, -2)$: negatif
• Pada interval $(-2, 2)$: negatif
• Pada interval $(2, \infty)$: positif

Karena kita mencari nilai di mana pertidaksamaan ini lebih besar atau sama dengan nol, maka solusi adalah pada interval $[2, \infty)$, dan kita juga akan memasukkan titik $-3$ yang membuat pembilang sama dengan nol.