Soit un axe (D) sur lequel on place en un point O une charge ponctuelle Q. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique E créé par la charge ponctuelle Q... Soit un axe (D) sur lequel on place en un point O une charge ponctuelle Q. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique E créé par la charge ponctuelle Q en un point M tel que OM = r. En déduire le potentiel coulombien V(r) créé par cette charge. Donner son expression finale avec l'approximation du potentiel coulombien.
Understand the Problem
La question demande d'utiliser le théorème de Gauss pour déterminer le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle Q à un point M, puis d'en déduire le potentiel coulombien V(r) créé par cette charge. Il faut aussi donner l'expression finale du potentiel coulombien.
Answer
L'expression finale du potentiel coulombien est: $$ V(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} $$
Answer for screen readers
L'expression finale du potentiel coulombien est:
$$ V(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} $$
Steps to Solve
- Déterminer le champ électrostatique avec le théorème de Gauss
Pour une charge ponctuelle $Q$, le champ électrostatique $\vec{E}$ à une distance $r$ du point de charge $O$ est donné par le théorème de Gauss. On choisit une surface gaussienne sphérique de rayon $r$. Le flux du champ $\vec{E}$ à travers cette surface est donné par:
$$ \Phi_E = \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = E \cdot 4\pi r^2 $$
où $E$ est constant sur la surface sphérique et $d\vec{S}$ est un élément de surface.
- Appliquer le théorème de Gauss
Selon le théorème de Gauss:
$$ \Phi_E = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} $$
où $Q_{\text{int}} = Q$ est la charge à l'intérieur de la surface gaussienne et $\varepsilon_0$ est la permittivité du vide. Égalons les deux expressions de flux:
$$ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$
Cela permet de résoudre pour $E$:
$$ E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} $$
- Déduire le potentiel coulombien V(r)
Le potentiel coulombien $V(r)$ est défini comme le travail par unité de charge pour déplacer une charge de test depuis l'infini jusqu'à une distance $r$. Il est donné par:
$$ V(r) = -\int_{\infty}^{r} \vec{E} \cdot d\vec{r} $$
En remplaçant le champ $E$ et en intégrant:
$$ V(r) = -\int_{\infty}^{r} \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r'^2} dr' $$
- Calculer l'intégrale
Effectuons l'intégrale:
$$ V(r) = -\left[-\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r'}\bigg|_{\infty}^{r}\right] = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} $$
- Expression finale du potentiel coulombien
Ainsi, l'expression finale du potentiel coulombien est:
$$ V(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} $$
L'expression finale du potentiel coulombien est:
$$ V(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} $$
More Information
Le potentiel coulombien est une mesure de l'énergie potentielle par unité de charge en un point donné dans un champ électrostatique. Cette formule est utilisée dans de nombreuses applications en physique et en ingénierie, notamment dans l'étude des champs électriques et des charges.
Tips
- Oublier la formule du potentiel : Certains peuvent oublier la définition du potentiel, qui implique une intégrale du champ électrique.
- Confondre la direction : Le signe lors de l'intégration peut être confondu; il est important de prêter attention aux limites d'intégration.
- Utiliser une surface gaussienne incorrecte : Utiliser une surface gaussienne qui n'est pas appropriée pour la symétrie du problème peut conduire à des erreurs.
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