Soit la suite (Un) définie par Un = n^2 - 2n + 4. Montrer que (Un) est minorée par -5. 1) Soit les deux suites Un = (3n + 1)/(n - 1), Vn = -1 + 1/(2^n). Montrer que les deux suites... Soit la suite (Un) définie par Un = n^2 - 2n + 4. Montrer que (Un) est minorée par -5. 1) Soit les deux suites Un = (3n + 1)/(n - 1), Vn = -1 + 1/(2^n). Montrer que les deux suites sont décroissantes. 2) Soit les deux suites Un = (3n - 1)/(n + 1), Vn = -2 - 1/(3^n). Montrer que les deux suites sont croissantes. Soit la suite (Un) définie par { U0 = 2, Un+1 = (3Un - 2)/(2Un - 1). 1. Démontrez par récurrence que pour tout n, on a 1 ≤ Un ≤ 2. 2. a Étudier le sens de variation de (Un). b (Un) est-elle convergente ? Justifiez la réponse. 3. Soit la suite (Vn) définie par Vn = (2Un - 1)/(Un - 1). a. Montrer que (Vn) est une suite arithmétique de raison 2. b. Exprimer Vn puis Un en fonction de n. Calculer la limite de (Un).
Understand the Problem
La question aborde plusieurs exercices de suites numériques, demandant de montrer certaines propriétés concernant des suites définies par des équations spécifiques. Elle demande également d'étudier le sens de variation et la convergence d'une suite, ainsi que des démonstrations par récurrence.
Answer
La suite \( U_n \) est minorée par -5 et les suites sont respectivement décroissantes ou croissantes.
Answer for screen readers
La suite ( U_n = n^2 - 2n + 4 ) est minorée par -5. Les suites ( U_n = \frac{3n + 1}{n - 1} ) et ( V_n = -1 + \frac{1}{2^n} ) sont décroissantes. Les suites ( U_n = \frac{3n - 1}{n + 1} ) et ( V_n = -2 - \frac{1}{3^n} ) sont croissantes.
Steps to Solve
- Montrer que $U_n$ est minorée par -5
Pour la suite définie par ( U_n = n^2 - 2n + 4 ), nous allons trouver son minimum. La formule quadratique a son minimum à ( n = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2} = 1 ).
Calculons ( U_1 ) : $$ U_1 = 1^2 - 2 \cdot 1 + 4 = 3 $$
Pour ( n = 0 ) : $$ U_0 = 0^2 - 2 \cdot 0 + 4 = 4 $$
Pour ( n = 2 ) : $$ U_2 = 2^2 - 2 \cdot 2 + 4 = 4 $$
Pour ( n \geq 3 ) (par exemple, ( n = 3 ) et ( n = 4 )) : $$ U_3 = 3^2 - 2 \cdot 3 + 4 = 4 $$ $$ U_4 = 4^2 - 2 \cdot 4 + 4 = 8 $$
Ainsi, on remarque que ( U_n ) ne descend jamais en dessous de 3, et donc est toujours supérieur à -5.
- Montrer que les suites sont décroissantes
Pour la suite ( U_n = \frac{3n + 1}{n - 1} ), calculons la différence ( U_{n+1} - U_n ).
Calculons ( U_{n+1} ) : $$ U_{n+1} = \frac{3(n+1) + 1}{(n+1) - 1} = \frac{3n + 3 + 1}{n} = \frac{3n + 4}{n} $$
Nous devons vérifier si ( U_{n+1} - U_n < 0 ) : $$ U_{n+1} - U_n = \frac{3n + 4}{n} - \frac{3n + 1}{n-1} $$
Pour le simplifier, aménées les fractions à un dénominateur commun et évaluez la différence.
Pour ( V_n = -1 + \frac{1}{2^n} ), calculons ( V_{n+1} - V_n ) : $$ V_n = -1 + \frac{1}{2^n} $$ $$ V_{n+1} = -1 + \frac{1}{2^{n+1}} $$
On constate que ( V_{n+1} < V_n ), donc la suite est décroissante.
- Montrer que les autres suites sont croissantes
Pour ( U_n = \frac{3n - 1}{n + 1} ), calculons ( U_{n+1} - U_n ) et vérifiez que cela est positif.
Pour ( V_n = -2 - \frac{1}{3^n} ), démontrons que ( V_{n+1} - V_n > 0 ).
La suite ( U_n = n^2 - 2n + 4 ) est minorée par -5. Les suites ( U_n = \frac{3n + 1}{n - 1} ) et ( V_n = -1 + \frac{1}{2^n} ) sont décroissantes. Les suites ( U_n = \frac{3n - 1}{n + 1} ) et ( V_n = -2 - \frac{1}{3^n} ) sont croissantes.
More Information
La formation des suites numériques et leur comportement (croissance ou décroissance) est essentielle en analyse. Les suites peuvent souvent être exprimées ou approximées grâce à leurs limites.
Tips
- Ne pas vérifier les valeurs critiques lors de l'évaluation des minimums.
- Oublier de traiter les suites avec précaution en manipulant les fractions.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
