sin^(-1)(e^{-x}) का अवकल गुणांक होगा। (i) cos^(-1)(e^{-x}) (ii) sqrt(e^{2x}-1) (iii) 1/ sqrt(e^{2x}-1) (iv)

Steps to Solve

1. आवश्यक अवकलन का स्टेप तैयार करना

हमने $y = \sin^{-1}(e^{-x})$ के लिए अवकलन करना है। इसे अवकलन करने के लिए, हम चेन नियम का उपयोग करेंगे।

2. चेन नियम का उपयोग

अगर $y = \sin^{-1}(u)$ और $u = e^{-x}$, तो हमें $y$ का अवकलन इस प्रकार मिलेगा:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} $$

यहाँ $u = e^{-x}$ है।

3. $du/dx$ की गणना करना

अब हमें $u = e^{-x}$ का अवकलन करना है।

$$ \frac{du}{dx} = -e^{-x} $$

4. $u^2$ की गणना

अब, $u^2 = (e^{-x})^2 = e^{-2x}$। और इसलिए,

$$ 1 - u^2 = 1 - e^{-2x} $$

5. अवकलन का पूर्ण फॉर्म

अब, $ \frac{dy}{dx} $ का फॉर्म इस प्रकार होगा:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{-e^{-x}}{\sqrt{1 - e^{-2x}}} $$

6. स्वच्छ रूप में लिखना

अब, हम $1 - e^{-2x}$ को इस रूप में लिख सकते हैं:

$$ 1 - e^{-2x} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x}} $$

इसके अनुसार,

$$ \sqrt{1 - e^{-2x}} = \frac{\sqrt{e^{2x} - 1}}{e^x} $$

7. अवकलन के अंतिम फॉर्म में पहुँचना

अब, इसे $ \frac{dy}{dx} $ में शामिल करते हैं:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{-e^{-x}}{\frac{\sqrt{e^{2x} - 1}}{e^x}} = \frac{-1}{\sqrt{e^{2x} - 1}} $$

इस प्रकार, हमारा अंतिम परिणाम:

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}} $$

इनवर्स फंक्शन देखने पर, यह हमें सही विकल्पों में दिखाएगा।