Si en la figura, R = 12, el área de la región sombreada, es:

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Understand the Problem

La pregunta está pidiendo calcular el área de la región sombreada en la figura, donde se da un valor de R igual a 12. Implica el uso de fórmulas geométricas para encontrar el área de las figuras presentes y determinar el área sombreada.

Answer

$82.08$
Answer for screen readers

El área de la región sombreada es aproximadamente $82.08$.

Steps to Solve

  1. Identificación de áreas de figuras

    La figura contiene un semicirculo y dos triángulos isósceles. Primero, calcularemos el área del semicirculo y luego las áreas de los triángulos.

  2. Cálculo del área del semicirculo

    El área del semicirculo se calcula con la fórmula: $$ A_{\text{semicirculo}} = \frac{1}{2} \pi R^2 $$ Sustituyendo $R = 12$: $$ A_{\text{semicirculo}} = \frac{1}{2} \pi (12)^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 144 = 72\pi $$

  3. Cálculo del área de un triángulo

    Cada triángulo tiene una base igual al radio del semicirculo, que es $12$, y una altura también de $12$. Usando la fórmula del área de un triángulo: $$ A_{\text{triángulo}} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} $$ Sustituyendo los valores: $$ A_{\text{triángulo}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72 $$

  4. Cálculo del área total de los triángulos

    Hay dos triángulos, por lo que multiplicamos el área de uno por dos: $$ A_{\text{total_triángulos}} = 2 \cdot A_{\text{triángulo}} = 2 \cdot 72 = 144 $$

  5. Cálculo del área sombreada

    Para obtener el área de la región sombreada, restamos el área de los triángulos del área del semicirculo: $$ A_{\text{sombreada}} = A_{\text{semicirculo}} - A_{\text{total_triángulos}} $$ Entonces: $$ A_{\text{sombreada}} = 72\pi - 144 $$

  6. Aproximación de $\pi$

    Aproximaremos $\pi \approx 3.14$ para calcular el área sombreada: $$ A_{\text{sombreada}} \approx 72(3.14) - 144 $$ $$ A_{\text{sombreada}} \approx 226.08 - 144 \approx 82.08 $$

El área de la región sombreada es aproximadamente $82.08$.

More Information

La figura combina conceptos básicos de geometría y el uso del semicirculo y triángulos. La aproximación de $\pi$ es crucial para facilitar los cálculos, y la figura demuestra la utilidad de restar áreas de figuras geométricas para encontrar la superficie deseada.

Tips

  • Confundir la base y la altura de los triángulos al utilizar la fórmula de área.
  • No utilizar el valor correcto de $\pi$, lo que puede provocar errores en el cálculo final.
  • Olvidar restar adecuadamente las áreas de las figuras para encontrar el área sombreada.

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