sec²θ = 1 + tan²θ का प्रमाण देने की प्रक्रिया करें।
Understand the Problem
यह प्रश्न हमें \sec^2 θ = 1 + \tan^2 θ के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए कह रहा है। हमें यह दिखाना होगा कि LHS (बाईं ओर का भाग) RHS (दाईं ओर का भाग) के बराबर है। प्रक्रिया में विभिन्न त्रिकोणमितीय गुणांक जैसे \sin θ और \cos θ का उपयोग किया जाएगा।
Answer
$\sec^2 θ = 1 + \tan^2 θ$
Answer for screen readers
हमने सिद्ध कर दिया कि
$$ \sec^2 θ = 1 + \tan^2 θ. $$
Steps to Solve
- सिन और कोस की परिभाषा का उपयोग करें
त्रिकोणमिति में, हम जानते हैं कि
$$ \sec θ = \frac{1}{\cos θ} $$
और
$$ \tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}. $$
- LHS की गणना करें
हम LHS को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$$ \sec^2 θ = \left( \frac{1}{\cos θ} \right)^2 = \frac{1}{\cos^2 θ}. $$
- RHS का विकास करें
अब हम RHS पर जाएँ:
$$ 1 + \tan^2 θ = 1 + \left( \frac{\sin θ}{\cos θ} \right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 θ}{\cos^2 θ}. $$
- RHS को संकलित करें
इसमें,
$$ 1 = \frac{\cos^2 θ}{\cos^2 θ}, $$
तो हमें मिलता है:
$$ 1 + \tan^2 θ = \frac{\cos^2 θ + \sin^2 θ}{\cos^2 θ}. $$
- पायथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें
पायथागोरस प्रमेय कहता है कि
$$ \sin^2 θ + \cos^2 θ = 1. $$
तो,
$$ \frac{\sin^2 θ + \cos^2 θ}{\cos^2 θ} = \frac{1}{\cos^2 θ} = \sec^2 θ. $$
- LHS और RHS की तुलना करें
अब, LHS (जिसे हमने $\sec^2 θ$ के रूप में योग किया है) और RHS ($1 + \tan^2 θ$) समान हैं।
हमने सिद्ध कर दिया कि
$$ \sec^2 θ = 1 + \tan^2 θ. $$
More Information
यह प्रमेय त्रिकोणमिति में महत्वपूर्ण है और यह पायथागोरस के प्रमेय पर आधारित है। इसे व्युत्पन्न करना और समझना सभी स्तरों के छात्रों के लिए उपयोगी है।
Tips
- अक्सर छात्र त्रिकोणमितीय पहचान की व्याख्या में भ्रमित हो जाते हैं। सुनिश्चित करें कि प्रमेय को सही ढंग से ज्ञात करें।
- कोस और साइन लोगों के बीच अंतर करना कठिन हो सकता है। सही परिभाषा और स्मरण को याद रखें।
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