Resuelve la ecuación 2x² – 5x – 3 = 0. Comprueba que sus soluciones, x₁ y x₂, cumplen: x₁ + x₂ = -b/a y x₁ · x₂ = c/a.

Steps to Solve

1. Identificar los coeficientes de la ecuación cuadrática

La ecuación cuadrática se presenta en la forma estándar $ax^2 + bx + c = 0$. En este caso:

• ( a = 2 )
• ( b = -5 )
• ( c = -3 )

2. Aplicar la fórmula cuadrática

Las soluciones de una ecuación cuadrática se obtienen usando la fórmula:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

3. Calcular el discriminante

Primero, calculamos el discriminante:

$$ D = b^2 - 4ac $$

Sustituyendo los valores:

$$ D = (-5)^2 - 4(2)(-3) $$

$$ D = 25 + 24 = 49 $$

4. Encontrar las soluciones

Ahora que tenemos el discriminante, encontramos las soluciones:

$$ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2(2)} $$

$$ x = \frac{5 \pm 7}{4} $$

Calculamos ambas soluciones:

• Para ( x_1 ):

$$ x_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 $$

• Para ( x_2 ):

$$ x_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$

5. Comprobar las relaciones

Verificamos las relaciones ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ) y ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} ).

• Para la suma:

$$ x_1 + x_2 = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $$

Y calculamos ( -\frac{b}{a} ):

$$ -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} $$

• Para el producto:

$$ x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} $$

Y calculamos ( \frac{c}{a} ):

$$ \frac{-3}{2} $$

Ambas relaciones se verifican.