Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função f(x, y) = ln(2x + y²) / √(x - y + 3)?
Understand the Problem
A questão está pedindo para determinar o domínio da função f(x, y) dada pela expressão fornecida, o que envolve identificar os valores de (x, y) para os quais a função é bem definida.
Answer
$$ D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x - y + 3 > 0, 2x + y^2 > 0\} $$
Answer for screen readers
O domínio da função é:
$$ D = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x - y + 3 > 0, 2x + y^2 > 0} $$
Steps to Solve
- Condições do Logaritmo
Para que a função logaritmo natural $\ln(a)$ esteja bem definida, o argumento $a$ deve ser positivo. Assim, precisamos que:
$$ 2x + y^2 > 0 $$
- Condições da Raiz Quadrada
Para que a raiz quadrada $\sqrt{b}$ esteja bem definida, $b$ deve ser maior ou igual a zero. Aqui, devemos garantir que:
$$ x - y + 3 > 0 $$
- Combinação das Condições
As duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente. Assim, devemos ter as duas inequações:
- $2x + y^2 > 0$
- $x - y + 3 > 0$
- Formulando o Domínio
Portanto, o domínio da função $f(x, y)$ é dado por:
$$ D = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x - y + 3 > 0, 2x + y^2 > 0} $$
O domínio da função é:
$$ D = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x - y + 3 > 0, 2x + y^2 > 0} $$
More Information
O logaritmo natural é uma função que só pode receber argumentos positivos, e a raiz quadrada não aceita valores negativos, o que nos leva a essas condições. Essa análise é fundamental em cálculo de domínios de funções.
Tips
- Ignorar as condições do logaritmo: Algumas vezes, é fácil esquecer que o logaritmo não pode ter um argumento não positivo. Sempre verifique se $2x + y^2$ é positivo.
- Esquecer que a raiz deve ser positiva: É importante lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa.
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