Optimice el valor de la función f(x, y) = x sobre el conjunto de puntos en que x al cuadrado + 2y al cuadrado = 3.

Steps to Solve

1. Identificar la función y la restricción

La función que queremos optimizar es $f(x,y) = x$. La restricción que tenemos es $g(x,y) = x^2 + 2y^2 - 3 = 0$.

2. Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange

Vamos a usar el método de Lagrange, que implica la creación de una nueva función $L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)$. Entonces, se obtiene:

$$ L(x,y,\lambda) = x + \lambda (x^2 + 2y^2 - 3) $$

3. Encontrar las derivadas parciales

Debemos encontrar las derivadas parciales de $L$ respecto a $x$, $y$, y $\lambda$ y establecerlas igual a cero:

• Con respecto a $x$:

$$ \frac{\partial L}{\partial x} = 1 + \lambda(2x) = 0 $$

• Con respecto a $y$:

$$ \frac{\partial L}{\partial y} = \lambda(4y) = 0 $$

• Con respecto a $\lambda$:

$$ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + 2y^2 - 3 = 0 $$

4. Resolver el sistema de ecuaciones

De las ecuaciones, tenemos:

1. $1 + 2\lambda x = 0$ (de $x$)
2. $4\lambda y = 0$ (de $y$)
3. $x^2 + 2y^2 - 3 = 0$ (la restricción)

De la ecuación (2), hay dos posibilidades: $\lambda = 0$ o $y = 0$.

5. Analizar los casos posibles

• Caso 1: $\lambda = 0$

Sustituyendo en (1):

$$ 1 = 0 $$

Esto no es posible.

• Caso 2: $y = 0$

Sustituyendo $y = 0$ en la restricción (3):

$$ x^2 - 3 = 0 $$

Esto implica que $x = \pm\sqrt{3}$.

6. Encontrar los valores de $f(x,y)$

Sustituyendo estos valores en la función $f(x,y)$:

Para $x = \sqrt{3}$:

$$ f(\sqrt{3},0) = \sqrt{3} $$

Para $x = -\sqrt{3}$:

$$ f(-\sqrt{3},0) = -\sqrt{3} $$

7. Conclusión sobre los valores óptimos

El valor máximo de $f(x,y)$ es $\sqrt{3}$ y el mínimo es $-\sqrt{3}$.