Optimice el valor de la función f(x, y) = x sobre el conjunto de puntos en que x al cuadrado + 2y al cuadrado = 3.

Steps to Solve

1. Identificar la función objetivo y la restricción La función que queremos optimizar es ( f(x, y) = x ). La restricción que debemos considerar es ( g(x, y) = x^2 + 2y^2 - 3 = 0 ), que representa una elipse.

2. Uso del método de Lagrange Vamos a utilizar el método de Lagrange, que consiste en encontrar los puntos críticos de la función ( L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y) ). Esto se formula como: $$ L(x, y, \lambda) = x + \lambda (x^2 + 2y^2 - 3) $$

3. Calcular las derivadas parciales Calculamos las derivadas parciales de ( L ) respecto a ( x ), ( y ), y ( \lambda ): $$ \frac{\partial L}{\partial x} = 1 + 2\lambda x = 0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial y} = 4\lambda y = 0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + 2y^2 - 3 = 0 $$

4. Resolver el sistema de ecuaciones De ( \frac{\partial L}{\partial y} = 0 ), tenemos que ( y = 0 ) o ( \lambda = 0 ).

• Si ( y = 0 ):

  • Sustituyendo en la restricción: ( x^2 = 3 ), así que ( x = \sqrt{3} ) o ( x = -\sqrt{3} ). Estos puntos son ( (\sqrt{3}, 0) ) y ( (-\sqrt{3}, 0) ).

• Si ( \lambda = 0 ):

  • Sustituyendo en ( \frac{\partial L}{\partial x} ): ( 1 = 0 ), que no es posible.

5. Evaluar la función en los puntos críticos Ahora evaluamos ( f(x, y) = x ) en los puntos encontrados:

• En ( (\sqrt{3}, 0) ): ( f(\sqrt{3}, 0) = \sqrt{3} )
• En ( (-\sqrt{3}, 0) ): ( f(-\sqrt{3}, 0) = -\sqrt{3} )

6. Conclusión El valor máximo de ( f(x, y) ) es ( \sqrt{3} ) y el valor mínimo es ( -\sqrt{3} ) en la restricción dada.