On considère f la fonction de IR vers IR, définie par f(x) = x + (1 + ln(1+x))/(x+1). 1.a) Déterminer l'ensemble de définition Df de f. b) Calculer lim f(x) lorsque x->-1. c) Inter... On considère f la fonction de IR vers IR, définie par f(x) = x + (1 + ln(1+x))/(x+1). 1.a) Déterminer l'ensemble de définition Df de f. b) Calculer lim f(x) lorsque x->-1. c) Interpréter graphiquement ce résultat. d) Calculer lim f(x) lorsque x->+∞.
Understand the Problem
La question demande de déterminer l'ensemble de définition d'une fonction mathématique, de calculer des limites et d'interpréter graphiquement certains résultats. Cela implique une compréhension de l'analyse des fonctions.
Answer
$D_f = ]-1, +\infty[$; $\lim_{x \to -1} f(x) = 0$; $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
Answer for screen readers
L'ensemble de définition $D_f = ]-1, +\infty[$.
La limite lorsque $x \to -1$ est $0$.
La limite lorsque $x \to +\infty$ est $+\infty$.
Steps to Solve
- Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$
La fonction $f(x) = x + \frac{1 + \ln(1+x)}{x+1}$ est définie lorsqu'elle ne cause pas d'indétermination dans ses composantes. Le logarithme $\ln(1+x)$ est défini pour $1+x > 0$, donc $x > -1$. De plus, le dénominateur $x+1$ ne doit pas être égal à zéro, ce qui impose la condition que $x \neq -1$. Ainsi, l'ensemble de définition est $D_f = ]-1, +\infty[$.
- Calculer $\lim_{x \to -1} f(x)$
Pour évaluer la limite, nous devons examiner le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ s'approche de $-1$ : $$ f(x) = x + \frac{1 + \ln(1+x)}{x+1} $$ Pour $x \to -1$, le terme $\ln(1+x)$ tend vers $\ln(0)$ qui diverge, donc nous devons exprimer ce comportement.
- Simplifier l'expression près de $x = -1$
Utilisons la série de Taylor pour $\ln(1+x)$ : $$ \ln(1+x) \approx (x + 1) - \frac{(x + 1)^2}{2} + O((x + 1)^3) $$ Substituons cela dans $f(x)$ pour simplifier la limite.
- Évaluer la limite finale
Cela nous donne : $$ \lim_{x \to -1} f(x) = -1 + \lim_{x \to -1} \frac{1 + (x + 1) - O((x + 1)^2)}{x + 1} = -1 + 1 = 0 $$
- Interpréter graphiquement le résultat
La limite que nous avons trouvée indique que lorsque $x \to -1$, $f(x)$ s'approche de 0. Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction touche l'axe $x$.
- Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
Pour considérer la limite lorsque $x \to +\infty$, on peut simplifier la fonction : $$ f(x) = x + \frac{1 + \ln(1+x)}{x+1} $$ Ici, pour $x$ très grand, on approximera $\ln(1+x) \approx \ln(x)$, alors : $$ f(x) \approx x + \frac{\ln(x)}{x} $$ La seconde partie de l'expression se rapproche de 0 lorsque $x$ augmente.
- Obtenir la limite finale
Ainsi, nous trouvons : $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$
L'ensemble de définition $D_f = ]-1, +\infty[$.
La limite lorsque $x \to -1$ est $0$.
La limite lorsque $x \to +\infty$ est $+\infty$.
More Information
L'ensemble de définition d'une fonction est crucial pour déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction est calculable. Les limites indiquent le comportement de la fonction à des points particuliers, informant sur sa continuité et sa croissance.
Tips
- Ne pas vérifier les conditions requises pour le logarithme, ce qui peut mener à des valeurs de $x$ non incluses dans l'ensemble de définition.
- Négliger l'effet des termes logarithmiques à l'infini dans l'évaluation de limites.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
