Montrer que si le nombre choisi au départ est 6 alors on obtient 38 avec celui de Sonia. Amir et Sonia souhaitent savoir s'il existe des nombres choisis au départ pour lesquels les... Montrer que si le nombre choisi au départ est 6 alors on obtient 38 avec celui de Sonia. Amir et Sonia souhaitent savoir s'il existe des nombres choisis au départ pour lesquels les deux programmes donnent le même résultat.
Understand the Problem
La question demande de démontrer si un nombre choisi par Amir, en suivant son programme, peut donner un certain résultat, et d'explorer s'il existe des nombres initiaux qui donneraient le même résultat en utilisant les programmes d'Amir et de Sonia.
Answer
Les nombres initiaux qui donnent le même résultat dans les deux programmes sont $3$ et $-6$.
Answer for screen readers
Les nombres initiaux qui donnent le même résultat (2) dans les programmes d'Amir et de Sonia sont $y = 3$ et $y = -6$.
Steps to Solve
- Programme d'Amir Identifions le programme d'Amir. Soit $x$ le nombre choisi par Amir. Les étapes de son programme sont :
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Soustraire 5 : $$ x - 5 $$
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Prendre le double du résultat : $$ 2(x - 5) = 2x - 10 $$
- Programme de Sonia Maintenant, analysons le programme de Sonia. Prenons également $y$ comme le nombre choisi par Sonia. Les étapes sont :
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Ajouter 3 : $$ y + 3 $$
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Multiplier le résultat par le nombre choisi : $$ (y + 3) \times y = y^2 + 3y $$
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Soustraire 16 : $$ (y^2 + 3y) - 16 = y^2 + 3y - 16 $$
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Résultat de Sonia avec un nombre donné Nous savons que si Amir choisit 6, alors, en appliquant son programme : $$ 2(6 - 5) = 2 \times 1 = 2 $$
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Équation pour Sonia Pour vérifier l'équivalence, nous devons établir l'équation : $$ y^2 + 3y - 16 = 2 $$
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Résoudre l'équation Nous devons simplifier l'équation : $$ y^2 + 3y - 16 - 2 = 0 $$ $$ y^2 + 3y - 18 = 0 $$
Nous résolvons cette équation à l'aide de la formule quadratique : $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ où $a = 1$, $b = 3$, $c = -18$.
Calculons le discriminant : $$ b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 1 \times (-18) = 9 + 72 = 81 $$
- Calculer les racines Nous pouvons maintenant calculer les racines : $$ y = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} $$ $$ y = \frac{-3 \pm 9}{2} $$
On obtient deux solutions : $$ y_1 = \frac{6}{2} = 3 $$ $$ y_2 = \frac{-12}{2} = -6 $$
Il est donc nécessaire de vérifier si $y = 3$ et $y = -6$ donnent le même résultat dans le programme de Sonia.
- Vérification des résultats Pour $y = 3$ : $$ (3 + 3) \times 3 - 16 = 6 \times 3 - 16 = 18 - 16 = 2 $$
Pour $y = -6$ : $$ (-6 + 3)(-6) - 16 = -3 \times -6 - 16 = 18 - 16 = 2 $$
Les nombres initiaux qui donnent le même résultat (2) dans les programmes d'Amir et de Sonia sont $y = 3$ et $y = -6$.
More Information
Cela montre parfaitement comment des programmes différents peuvent aboutir à des résultats identiques en modifiant les valeurs initiales. Il est intéressant de noter que même un nombre négatif peut produire le même résultat dans ces calculs.
Tips
- Ne pas appliquer correctement les étapes de chaque programme. Assurez-vous de suivre attentivement chaque étape.
- Oublier de vérifier les solutions négatives. Parfois, elles peuvent également être valides.
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