Να λύσετε τα συστήματα: (i) (x^5/2 + 2y + 1/7 + 2 = 0) (ii) (2x/3 = 4 - y^2/4, x^3/2 - 3 = -xy/3)

Steps to Solve

1. Απλοποίηση της πρώτης εξίσωσης (i)

Ξεκινάμε με την πρώτη εξίσωση:

$$ \frac{x^5}{2} + \frac{2y + 1}{7} + 2 = 0 $$

Πολλαπλασιάζουμε με το 14 για να απαλλαγούμε από τα κλάσματα:

$$ 14 \cdot \frac{x^5}{2} + 14 \cdot \frac{2y + 1}{7} + 14 \cdot 2 = 0 $$

Αυτό μας δίνει:

$$ 7x^5 + 4(2y + 1) + 28 = 0 $$

Αναπτύσσουμε και απλοποιούμε:

$$ 7x^5 + 8y + 4 + 28 = 0 $$

$$ 7x^5 + 8y + 32 = 0 $$

Συνεπώς,

$$ y = -\frac{7x^5 + 32}{8} $$

2. Εξίσωση δεύτερη (ii)

Τώρα δουλεύουμε με το δεύτερο σύστημα:

$$ \frac{2x}{3} = 4 - \frac{y^2}{4} $$

Πολλαπλασιάζουμε με το 12 για να απαλλαγούμε από τα κλάσματα:

$$ 12 \cdot \frac{2x}{3} = 12 \cdot \left(4 - \frac{y^2}{4}\right) $$

Αυτό μας δίνει:

$$ 8x = 48 - 3y^2 $$

Έτσι,

$$ 8x + 3y^2 = 48 $$

3. Λύση του δεύτερου συστήματος

Έχουμε τώρα δύο εξισώσεις:

1. $$ y = -\frac{7x^5 + 32}{8} $$
2. $$ 8x + 3y^2 = 48 $$

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την πρώτη εξίσωση στη δεύτερη:

$$ 8x + 3\left(-\frac{7x^5 + 32}{8}\right)^2 = 48 $$

Αναπτύσσουμε την εξίσωση και λύνουμε για x.

4. Επίλυση Πολυωνύμου

Αφού βρούμε τις τιμές του x, επιστρέφουμε στην εξίσωση για y για να βρούμε τις αντίστοιχες τιμές.

5. Κύριοι υπολογισμοί

Αφού κάνουμε τους υπολογισμούς, συγκρίνουμε τα αποτελέσματα για να βεβαιωθούμε ότι ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις.