Marcos necesita construir en un aplicativo de diseño industrial el modelo tridimensional de una pequeña cuña. Para ello, inicia creando una cara lateral, un triángulo rectángulo de... Marcos necesita construir en un aplicativo de diseño industrial el modelo tridimensional de una pequeña cuña. Para ello, inicia creando una cara lateral, un triángulo rectángulo de 150 mm². Se sabe que la longitud de su base excede en 2 cm a su altura. Entonces, la longitud más larga, ℓ, de la cara triangular de la cuña mide: Read more

Steps to Solve

1. Definir variables y ecuaciones

   Sea $h$ la altura del triángulo en cm. La base, entonces, es $h + 2$.

   El área de un triángulo rectángulo está dada por la fórmula: $$ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} $$

2. Escribir la ecuación del área

   Dado que el área es de $150 , \text{mm}^2$, que es equivalente a $15 , \text{cm}^2$, podemos escribir: $$ 15 = \frac{1}{2} \times (h + 2) \times h $$

3. Simplificar la ecuación

   Multiplicamos ambos lados por 2: $$ 30 = (h + 2) \times h $$

   Expandiendo, obtenemos: $$ 30 = h^2 + 2h $$

4. Reorganizar la ecuación

   Reorganizamos a la forma cuadrática: $$ h^2 + 2h - 30 = 0 $$

5. Resolver la ecuación cuadrática

   Utilizamos la fórmula cuadrática: $$ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

   Donde $a = 1$, $b = 2$, y $c = -30$.

6. Calcular los valores de h

   Sustituimos: $$ h = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-30)}}{2(1)} $$ $$ h = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2} $$ $$ h = \frac{-2 \pm \sqrt{124}}{2} $$ $$ h = \frac{-2 \pm 2\sqrt{31}}{2} $$ $$ h = -1 \pm \sqrt{31} $$

   Solo la solución positiva es válida: $$ h = -1 + \sqrt{31} $$

7. Encontrar la base

   La base es: $$ b = h + 2 = (-1 + \sqrt{31}) + 2 = 1 + \sqrt{31} $$

8. Calcular la longitud más larga, ℓ

   La longitud más larga se calcula usando el teorema de Pitágoras: $$ \ell = \sqrt{h^2 + b^2} $$ Sustituyendo los valores de $h$ y $b$.