La base del rettangolo è il doppio del lato del quadrato, mentre l'altezza è 4 cm in meno del lato del quadrato. Determina il lato del quadrato.

Steps to Solve

1. Definire le variabili Sia $x$ il lato del quadrato. La base del rettangolo sarà $2x$ e l'altezza sarà $x - 4$.

2. Scrivere l'area del rettangolo L'area del rettangolo è data dalla formula: $$ A_{rettangolo} = base \times altezza = (2x) \times (x - 4) $$

3. Risolvere l'equazione per l'area del rettangolo Poiché non abbiamo l'area del rettangolo, non è possibile calcolarla direttamente, quindi proseguiremo con la relazione sui cerchi.

4. Definire i raggi dei cerchi Sia $r_2$ il raggio del cerchio $C_2$. Allora, il raggio del cerchio $C_1$ sarà $r_1 = r_2 + 12$.

5. Scrivere le aree dei cerchi L'area del cerchio $C_1$ è: $$ A_{C_1} = \pi r_1^2 = \pi (r_2 + 12)^2 $$ L'area del cerchio $C_2$ è: $$ A_{C_2} = \pi r_2^2 $$

6. Impostare l'equazione per le aree dei cerchi Dalla condizione data, sappiamo che: $$ A_{C_1} = 9 \times A_{C_2} $$ Quindi possiamo scrivere: $$ \pi (r_2 + 12)^2 = 9 \pi r_2^2 $$

7. Semplificare l'equazione Dividendo entrambi i lati per $\pi$, otteniamo: $$(r_2 + 12)^2 = 9 r_2^2 $$

8. Espandere l'equazione Espandiamo a sinistra: $$ r_2^2 + 24r_2 + 144 = 9r_2^2 $$

9. Portare tutti i termini a un lato $$ 0 = 9r_2^2 - r_2^2 - 24r_2 - 144 $$ Riscriviamo: $$ 0 = 8r_2^2 - 24r_2 - 144 $$

10. Dividere per 8 $$ 0 = r_2^2 - 3r_2 - 18 $$

11. Usare la formula quadratica Utilizziamo la formula quadratica: $$ r_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ In nostro caso, $a = 1$, $b = -3$, e $c = -18$.

12. Calcolare il discriminante $$ b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 $$

13. Sostituire nella formula $$ r_2 = \frac{3 \pm 9}{2} $$

14. Calcolare le soluzioni per $r_2$ Le soluzioni sono: $$ r_2 = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{e} \quad r_2 = \frac{-6}{2} = -3 $$ Poiché il raggio non può essere negativo, abbiamo: $$ r_2 = 6 \quad \text{quindi} \quad r_1 = r_2 + 12 = 18 $$