Halla, si es posible, el valor de m para que las siguientes ecuaciones tengan una única solución: a. x² - 2x + m = 0 b. 3x² + mx - 4 = 0
Understand the Problem
La pregunta está solicitando encontrar el valor de m que permita que las ecuaciones dadas tengan una única solución. Esto implica estudiar las condiciones bajo las cuales dichas ecuaciones cuadráticas tienen una única raíz.
Answer
Para la ecuación $x^2 - 2x + m = 0$, $m = 1$; para $3x^2 + mx - 4 = 0$, no hay solución real.
Answer for screen readers
Para la primera ecuación, el valor de $m$ que permite una única solución es $m = 1$. Para la segunda ecuación, no existe un valor real de $m$.
Steps to Solve
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Condición para una única solución Para que una ecuación cuadrática de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ tenga una única solución, el discriminante debe ser igual a cero. El discriminante se expresa como $D = b^2 - 4ac$.
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Aplicación a la primera ecuación Para la ecuación $x^2 - 2x + m = 0$, identificamos que:
- $a = 1$
- $b = -2$
- $c = m$
Calculamos el discriminante: $$ D = (-2)^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m $$ Establecemos la condición para que tenga una única solución: $$ D = 0 \implies 4 - 4m = 0 $$
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Resolución para la primera ecuación Despejamos $m$: $$ 4 = 4m \implies m = 1 $$
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Aplicación a la segunda ecuación Para la ecuación $3x^2 + mx - 4 = 0$, identificamos que:
- $a = 3$
- $b = m$
- $c = -4$
Calculamos el discriminante: $$ D = m^2 - 4(3)(-4) = m^2 + 48 $$ Establecemos la condición para que tenga una única solución: $$ D = 0 \implies m^2 + 48 = 0 $$
- Resolución para la segunda ecuación Despejamos $m$: $$ m^2 = -48 $$
Como no existen números reales cuyo cuadrado sea negativo, concluimos que no hay solución real para esta ecuación.
Para la primera ecuación, el valor de $m$ que permite una única solución es $m = 1$. Para la segunda ecuación, no existe un valor real de $m$.
More Information
La condición del discriminante es clave para determinar la cantidad de soluciones de una ecuación cuadrática. En la primera ecuación, $m = 1$ hace que la ecuación tenga una única raíz, mientras que en la segunda ecuación no se puede encontrar un valor real que cumpla la condición.
Tips
- No calcular correctamente el discriminante, lo que puede llevar a una conclusión incorrecta sobre el número de soluciones.
- Ignorar que $m^2 = -48$ no tiene soluciones en el conjunto de los números reales.
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