Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região delimitada pelas curvas y = x³ + 1, y = x/2 + 3/2 e y = -x/2 + 1 em torno do eixo x = 2 usa... Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região delimitada pelas curvas y = x³ + 1, y = x/2 + 3/2 e y = -x/2 + 1 em torno do eixo x = 2 usando o Método das Cascas.
Understand the Problem
A pergunta pede para encontrar uma integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x = 2, utilizando o Método das Cascas.
Answer
A integral correta é: $2\pi \int_{0}^{1} (2 - x)\left( \frac{x}{2} + \frac{3}{2} + x^3 \right) \, dx$.
Answer for screen readers
A integral correta para calcular o volume do sólido de revolução é: $$ 2\pi \int_{0}^{1} (2 - x)\left( \frac{x}{2} + \frac{3}{2} + x^3 \right) , dx $$
Steps to Solve
- Identificar as Curvas As funções que delimitam a região a ser girada são:
- $y = x^3 + 1$
- $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$
- $y = -\frac{x}{2} + 1$
- Determinar os Pontos de Interseção Precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas:
- Para $y = x^3 + 1$ e $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$, igualamos: $$ x^3 + 1 = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} $$ Resolvendo, encontramos os pontos de interseção.
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Calcular o Volume Usando o Método das Cascas Ao girar a região em torno da linha $x=2$, o volume $V$ é dado pela integral: $$ V = 2\pi \int_{a}^{b} (2 - x)(\text{altura}) ,dx $$ onde "altura" é a diferença entre as funções superior e inferior.
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Definir a Altura A altura varia conforme a relação entre as curvas. Usamos:
- Para o intervalo correto, determine qual função está acima da outra: $$ (\frac{x}{2} + \frac{3}{2}) - (x^3 + 1) $$
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Montar a Integral A integral apresentará dimensões específicas conforme o intervalo de integração. Integraremos no intervalo dos pontos de interseção encontrados no passo 2.
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Escolher a Opção Correta Verifique as opções disponíveis e compare com a integral montada no passo anterior.
A integral correta para calcular o volume do sólido de revolução é: $$ 2\pi \int_{0}^{1} (2 - x)\left( \frac{x}{2} + \frac{3}{2} + x^3 \right) , dx $$
More Information
Essa integral refere-se ao método das cascas, que é uma técnica comum para calcular o volume de sólidos de revolução. Aqui, "altura" é a diferença entre a curva superior e a inferior, multiplicada pela distância da linha de rotação.
Tips
- Não encontrar os pontos de interseção corretamente: Isso pode levar a um intervalo de integração errado. Verifique sempre as interseções cuidadosamente.
- Confundir as variáveis: Ao calcular a altura, verificar se a função superior está sendo subtraída da inferior.
- Perder o sinal na fórmula: Lembre-se que a altura pode mudar de acordo com as curvas.
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