A função f(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 5x - 1 é estritamente crescente em qual intervalo?

Steps to Solve

1. Calcular a derivada da função

Primeiro, calculamos a derivada da função $f(x)$. Se a função for dada, por exemplo, como $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, precisamos derivar:

$$ f'(x) = 3x^2 - 6x $$

2. Encontrar os pontos críticos

Em seguida, devemos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero. Isso é feito resolvendo a equação $f'(x) = 0$:

$$ 3x^2 - 6x = 0 $$

Fatorando, obtemos:

$$ 3x(x - 2) = 0 $$

Portanto, os pontos críticos são $x = 0$ e $x = 2$.

3. Analisar os intervalos

Agora, precisamos testar os sinais da derivada nos intervalos formados pelos pontos críticos. Os intervalos são:

• $(-\infty, 0)$
• $(0, 2)$
• $(2, +\infty)$

Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e avaliamos $f'(x)$.

4. Teste dos sinais da derivada

• Intervalo $(-\infty, 0)$: Escolha $x = -1$.

$$ f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 \text{ (positivo)} $$

• Intervalo $(0, 2)$: Escolha $x = 1$.

$$ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 \text{ (negativo)} $$

• Intervalo $(2, +\infty)$: Escolha $x = 3$.

$$ f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 \text{ (positivo)} $$

5. Determinar os intervalos onde $f(x)$ é crescente

A função $f(x)$ é estritamente crescente onde a derivada é positiva. A análise foi:

• Crescente em $(-\infty, 0)$
• Decrescente em $(0, 2)$
• Crescente em $(2, +\infty)$

Portanto, os intervalos onde a função é crescente são:

$$ (-\infty, 0) \quad \text{e} \quad (2, +\infty) $$