Durch welche der folgenden Punkte verläuft diese Ebene?

Steps to Solve

1. Parameterdarstellung aufstellen

Die gegebene Parameterdarstellung der Ebene lautet:

$$ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} $$

Hierbei sind $\lambda$ und $\mu$ Parameter, die alle Punkte der Ebene beschreiben.

2. Allgemeine Form der Punkte finden

Um die Punkte der Ebene zu bestimmen, drücken wir die Koordinaten $x$, $y$, und $z$ als Funktion der Parameter $\lambda$ und $\mu$ aus:

$$ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 + \lambda \ 1 + \lambda + \mu \ 1 + \lambda \end{pmatrix} $$

Das bedeutet:

• $x = 1 + \lambda$
• $y = 1 + \lambda + \mu$
• $z = 1 + \lambda$

3. Gegebene Punkte überprüfen

Wir setzen jeden der gegebenen Punkte in die Gleichungen ein, um zu sehen, ob es ein Paar $(\lambda, \mu)$ gibt, das diese Gleichungen erfüllt.

• Punkt 1: $$ \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} $$
• Punkt 2: $$ \begin{pmatrix} 2 \ 2 \ 0 \end{pmatrix} $$
• Punkt 3: $$ \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -3 \end{pmatrix} $$
• Punkt 4: $$ \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 2 \end{pmatrix} $$
• Punkt 5: $$ \begin{pmatrix} -1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} $$

4. Berechnungen durchführen

Wir überprüfen die Punkte nacheinander:

• Punkt 1: $x=1 \Rightarrow \lambda=0$, dann $y=1+\lambda+\mu=1+\mu \Rightarrow \mu=1 \Rightarrow z=1+\lambda=1$.
• Punkt 2: $x=2 \Rightarrow \lambda=1$, dann $y=1+\lambda+\mu=2+\mu \Rightarrow \mu=0 \Rightarrow z=1+\lambda=2$.
• Punkt 3: $x=1 \Rightarrow \lambda=0$, dann $y=1+\lambda+\mu=1+\mu \Rightarrow \mu=-1 \Rightarrow z=1+\lambda=1$.
• Punkt 4: $x=0 \Rightarrow \lambda=-1$, dann $y=1+\lambda+\mu=0+\mu \Rightarrow \mu=1 \Rightarrow z=0$ (falsch).
• Punkt 5: $x=-1 \Rightarrow \lambda=-2$, dann $y=1+\lambda+\mu=-1+\mu \Rightarrow \mu=0 \Rightarrow z=-1$ (falsch).

5. Ergebnisse zusammenfassen

Die Punkte, die durch die gegebene Ebene verlaufen, sind Punkt 1 und Punkt 2.