Determina il punto P, appartenente al segmento AB = 10a, in modo che la somma delle aree dei semicirchi di diametri rispettivamente AP e PB sia rac{13}{2} ext{ } ext{π}a^2.

Steps to Solve

1. Definire le variabili

Indichiamo la lunghezza del segmento $AB$ come $10a$. Sia $AP = x$ e conseguentemente $PB = 10a - x$.

2. Calcolare le aree dei semicirchi

L'area $A_1$ del semicirco con diametro $AP$ è data da:

$$ A_1 = \frac{1}{2} \pi \left( \frac{x}{2} \right)^2 = \frac{\pi x^2}{8} $$

L'area $A_2$ del semicirco con diametro $PB$ è:

$$ A_2 = \frac{1}{2} \pi \left( \frac{10a - x}{2} \right)^2 = \frac{\pi (10a - x)^2}{8} $$

3. Scrivere l'equazione della somma delle aree

La somma delle aree deve essere uguale a $\frac{13}{2} \pi a^2$:

$$ A_1 + A_2 = \frac{13}{2} \pi a^2 $$

Sostituendo le espressioni per $A_1$ e $A_2$, otteniamo:

$$ \frac{\pi x^2}{8} + \frac{\pi (10a - x)^2}{8} = \frac{13}{2} \pi a^2 $$

4. Semplificare l'equazione

Dividendo entrambi i lati per $\pi$ e moltiplicando per 8, abbiamo:

$$ x^2 + (10a - x)^2 = 52a^2 $$

Espandendo l'equazione:

$$ x^2 + (100a^2 - 20ax + x^2) = 52a^2 $$

Unendo i termini:

$$ 2x^2 - 20ax + 100a^2 - 52a^2 = 0 $$

Riducendo ulteriormente:

$$ 2x^2 - 20ax + 48a^2 = 0 $$

5. Risoluzione dell'equazione quadratica

Dividiamo tutta l'equazione per 2:

$$ x^2 - 10ax + 24a^2 = 0 $$

Usiamo la formula quadratica $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

Qui $a = 1$, $b = -10a$, $c = 24a^2$.

Ora calcoliamo:

$$ b^2 - 4ac = (-10a)^2 - 4(1)(24a^2) = 100a^2 - 96a^2 = 4a^2 $$

Ora risolviamo per $x$:

$$ x = \frac{10a \pm 2a}{2} = 5a \pm a $$

Quindi:

$$ x_1 = 6a \quad \text{e} \quad x_2 = 4a $$

6. Determinare il punto P

I possibili valori per $x$ sono $6a$ e $4a$, quindi i punti $P$ possono essere:

$$ P = AP = 6a \quad \text{o} \quad P = AP = 4a $$