Defina ponto crítico de f(x). Dê exemplo simples de uma função f(x) onde o ponto crítico não é máximo e nem mínimo. Enuncie o teste da derivada primeira. Quais as definições de máx... Defina ponto crítico de f(x). Dê exemplo simples de uma função f(x) onde o ponto crítico não é máximo e nem mínimo. Enuncie o teste da derivada primeira. Quais as definições de máximo e mínimo globais e máximos e mínimos locais? Para cada uma das funções f abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo locais e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:

Understand the Problem

A pergunta está solicitando definições e exemplos relacionados a pontos críticos e extremos de funções, além de pedir a determinação de máximos e mínimos locais em funções específicas.

Answer

Os pontos críticos de $f(x)$ são onde $f'(c) = 0$ ou $f'(c)$ não existe. Exemplo: $f(x) = x^3$, ponto crítico em $x=0$.

Steps to Solve

Definição de ponto crítico de $f(x)$ Um ponto crítico de uma função $f(x)$ é um valor $x = c$ no domínio de $f(x)$ onde a derivada da função é zero, ou onde a derivada não está definida. Em notação, isso é representado como $f'(c) = 0$ ou $f'(c)$ não existe.
Exemplo de função com ponto crítico que não é máximo nem mínimo Considere a função $f(x) = x^3$. A derivada é $f'(x) = 3x^2$. O ponto crítico ocorre em $x = 0$, onde $f'(0) = 0$. Neste ponto, verificamos que não é um máximo nem um mínimo, pois a função não muda de crescente para decrescente (ou vice-versa) nesse ponto.
Teste da derivada primeira O teste da derivada primeira implica examinar o sinal da derivada $f'(x)$ em intervalos determinados pelos pontos críticos. Se $f'(x) > 0$, a função é crescente; se $f'(x) < 0$, a função é decrescente. Um ponto onde a derivada muda de positiva para negativa é um máximo local, e uma mudança de negativa para positiva é um mínimo local.
Definições de máximos e mínimos

Máximo global: Um ponto $c$ é um máximo global de $f(x)$ se $f(c) \geq f(x)$ para todo $x$ no domínio de $f$.
Mínimo global: Um ponto $c$ é um mínimo global de $f(x)$ se $f(c) \leq f(x)$ para todo $x$ no domínio de $f$.
Máximo local: Um ponto $c$ é um máximo local se existe um intervalo aberto ao redor de $c$ onde $f(c) \geq f(x)$.
Mínimo local: Um ponto $c$ é um mínimo local se existe um intervalo aberto ao redor de $c$ onde $f(c) \leq f(x)$.

Determinação de pontos de máximo e mínimo locais Para cada função $f(x)$ dada, encontramos os pontos críticos, calculamos a derivada, e analisamos os sinais da derivada para identificar onde a função é crescente ou decrescente. Isso inclui verificar em quais intervalos a derivada é positiva ou negativa e, assim, determinar os máximos e mínimos locais.

Ponto crítico de $f(x)$: onde $f'(c) = 0$ ou $f'(c)$ não existe.
Exemplo: $f(x) = x^3$, ponto crítico em $x = 0$ (não é nem máximo nem mínimo).
Teste da derivada primeira: analisa aumento/diminuição com $f'(x)$.
Máximo global: $f(c) \geq f(x)$ para todo $x$. Mínimo global: $f(c) \leq f(x)$ para todo $x$. Máximo local: $f(c) \geq f(x)$ em intervalo. Mínimo local: $f(c) \leq f(x)$ em intervalo.

More Information

Os pontos críticos são fundamentais na análise de funções, pois indicam onde as mudanças de hábitos de crescimento podem ocorrer. Um ponto crítico pode ser um máximo ou mínimo, mas também pode ser um ponto de inflexão, onde a função muda sua concavidade, como no exemplo dado com $f(x) = x^3$.

Tips

Confundir pontos críticos com máximos e mínimos. Nem todo ponto crítico é um máximo ou mínimo.
Ignorar a verificação do sinal da derivada para determinar se o ponto crítico é um máximo ou mínimo.
Não considerar o intervalo do domínio ao analisar máximos e mínimos.

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