Considérons une sphère de rayon R, de centre O et chargée positivement avec une densité de charge ρ. Déterminer, en utilisant le théorème de Gauss, le champ électrique créé par un... Considérons une sphère de rayon R, de centre O et chargée positivement avec une densité de charge ρ. Déterminer, en utilisant le théorème de Gauss, le champ électrique créé par un point M. Read more

Steps to Solve

1. Identifier la symétrie de la situation

Nous avons une sphère chargée uniformément. Le champ électrique est radialement symétrique par rapport au centre de la sphère, donc le champ $E$ dépend seulement de la distance $r$ à partir du centre.

2. Choisir une surface gaussienne

Pour appliquer le théorème de Gauss, nous choisissons une sphère de rayon $r$ concentrique avec la sphère chargée, où $r$ peut être soit inférieur soit supérieur à $R$.

3. Appliquer le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss nous dit que : $$ \Phi_E = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} $$ où $\Phi_E$ est le flux électrique et $Q_{\text{enc}}$ est la charge enfermée par la surface gaussienne.

4. Calculer le flux électrique pour $r > R$

Pour $r > R$, la charge enfermée est : $$ Q_{\text{enc}} = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 $$ Le flux est donné par : $$ \Phi_E = E \cdot 4 \pi r^2 $$

5. Équilibrer l'équation

En mettant les équations ensemble : $$ E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{\varepsilon_0} $$

6. Résoudre pour $E$

Isoler $E$ : $$ E = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 r^2} $$

7. Calculer le cas pour $r < R$

Pour $r < R$, la charge enfermée est : $$ Q_{\text{enc}} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 $$ Le flux devient alors : $$ \Phi_E = E \cdot 4 \pi r^2 $$

8. Équilibrer l'équation pour $r < R$

$$ E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\varepsilon_0} $$

9. Résoudre pour $E$ pour $r < R$

Isolons $E$ : $$ E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0} $$