Combien de résultats élémentaires possibles existe-t-il pour décrire les rendements des 10 actifs?
Understand the Problem
La question demande de déterminer le nombre de résultats élémentaires possibles pour un portefeuille financier composé de 10 actifs risqués, chacun pouvant générer des rendements positifs ou négatifs. Il s'agit également d'explorer les événements liés à un certain nombre d'actifs ayant des rendements positifs et de calculer des cardinalités associées. Cela implique des notions de probabilités et de combinaisons.
Answer
Le nombre de résultats élémentaires possibles est $1024$. Les cardinaux sont $|A_0| = 1$, $|A_1| = 10$, $|A_2| = 45$, $|A_3| = 120$. Pour choisir 10 actifs parmi 20, on a $C(20,10) = 184756$.
Answer for screen readers
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Le nombre de résultats élémentaires possibles est $1024$.
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Les cardinaux sont :
- $|A_0| = 1$,
- $|A_1| = 10$,
- $|A_2| = 45$,
- $|A_3| = 120$.
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Pour choisir 10 actifs parmi 20 : $$ C(20,10) = 184756. $$
Steps to Solve
- Compter les résultats élémentaires Chaque actif peut avoir deux états : rendement positif (+) ou rendement négatif (−). Pour 10 actifs, le nombre total d'états possibles est donné par la formule $2^n$, où $n$ est le nombre d'actifs.
Calculons : $$ 2^{10} = 1024. $$
- Définir l'événement $A_k$ L'événement $A_k$ représente le cas où exactement $k$ actifs ont un rendement positif. Pour exprimer le cardinal $|A_k|$, nous devons choisir $k$ actifs parmi 10 pour avoir un rendement positif, et les autres $10-k$ actifs auront un rendement négatif.
Le nombre de façons de choisir $k$ actifs parmi 10 est donné par la combinaison : $$ |A_k| = C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}. $$ Ici, $n = 10$.
- Calcul du cardinal pour $k = 0, 1, 2, 3$ Nous allons calculer $|A_k|$ pour ces valeurs de $k$.
- Pour $k = 0$ : $$ |A_0| = C(10,0) = 1. $$
- Pour $k = 1$ : $$ |A_1| = C(10,1) = 10. $$
- Pour $k = 2$ : $$ |A_2| = C(10,2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = 45. $$
- Pour $k = 3$ : $$ |A_3| = C(10,3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = 120. $$
- Calculer les combinaisons pour $N = 20$ Si nous avons maintenant 20 actifs disponibles et que nous voulons choisir 10, nous utilisons la même formule de combinaison : $$ C(20,10) = \frac{20!}{10!(20-10)!}. $$
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Le nombre de résultats élémentaires possibles est $1024$.
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Les cardinaux sont :
- $|A_0| = 1$,
- $|A_1| = 10$,
- $|A_2| = 45$,
- $|A_3| = 120$.
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Pour choisir 10 actifs parmi 20 : $$ C(20,10) = 184756. $$
More Information
Le résultat de $1024$ montre que chaque actif, ayant deux options de rendement, produit un effet exponentiel sur le nombre total de combinaisons possibles. Les combinaisons sont une façon puissante de compter des arrangements possibles dans les probabilités.
Tips
- Une erreur courante est de ne pas utiliser les combinaisons correctement. Assurez-vous d'utiliser la formule correcte pour les combinaisons, en particulier le facteur de division $k!(n-k)!$.
- Ne pas reconnaître que les événements décrivent des scénarios distincts peut également mener à une mauvaise interprétation des résultats.
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