به ازای کدام مقدار m معادله 3x² - mx + 4 = 0 یک ریشه مضاعف مثبت دارد؟
Understand the Problem
سوال از ما می‌خواهد مقداری از m را پیدا کنیم که معادله 3x² - mx + 4 = 0 یک ریشه مضاعف مثبت داشته باشد. برای این منظور باید بررسی کنیم که چه شرایطی برای داشتن یک ریشه مضاعف وجود دارد و سپس Р提现吗 از آن برای تعیین m استفاده کنیم.
Answer
$m = 4\sqrt{3}$
Answer for screen readers
مقدار m که معادله 3x² - mx + 4 = 0 را با یک ریشه مضاعف مثبت می‌کند، برابر با $4\sqrt{3}$ است.
Steps to Solve
- اضافه کردن شرط ریشه مضاعف
برای اینکه یک معادله درجه دوم دارای ریشه مضاعف باشد، باید دلتای آن برابر با صفر باشد. دلتای یک معادله درجه دوم به صورت زیر محاسبه می‌شود: $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
در معادله ما، داریم:
- $a = 3$
- $b = -m$
- $c = 4$
بنابراین، دلتای معادله به شکل زیر خواهد بود: $$ \Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 $$
- معادله دلتای برابر با صفر
برای پیدا کردن شرایط ریشه مضاعف، معادله دلتای بالا را برابر با صفر قرار می‌دهیم: $$ (-m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 0 $$
- حل معادله برای m
حالا معادله را حل می‌کنیم: $$ m^2 - 48 = 0 $$
از اینجا می‌توانیم به دو حالت برسم: $$ m^2 = 48 $$
- یافتن مقادیر m
با استفاده از ریشه‌گیری، می‌توانیم مقادیر m را محاسبه کنیم: $$ m = \sqrt{48} $$ $$ m = -\sqrt{48} $$
- تنظیم m برای ریشه مثبت
چون ما فقط به ریشه‌های مثبت نیاز داریم، بنابراین فقط مقدار مثبت را در نظر می‌گیریم: $$ m = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $$
مقدار m که معادله 3x² - mx + 4 = 0 را با یک ریشه مضاعف مثبت می‌کند، برابر با $4\sqrt{3}$ است.
More Information
ریشه مضاعف به این معناست که معادله یک ریشه دو بار تکرار شده دارد. این حالت معمولاً در مسائل فیزیکی و مهندسی که نیاز به ثبات در مقادیر دارند، بسیار اهمیت دارد.
Tips
- فراموش کردن شرط دلتا را برابر صفر قرار دادن.
- نادیده گرفتن علامت منفی در $b = -m$.
- استفاده از هر دو ریشه به جای تمرکز بر روی ریشه مثبت.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
