Bestimmen Sie - sofern möglich - die Grenzwerte der Folgen: a) \frac{4n^2 + 3n - 27}{8n^2 - 24n + 108} b) \frac{12n^7 - 8n^5 + 4n^3 - 12}{18n^7 - 3n^4 + n^2} c) \frac{5n^3 - 6n}{8n... Bestimmen Sie - sofern möglich - die Grenzwerte der Folgen: a) \frac{4n^2 + 3n - 27}{8n^2 - 24n + 108} b) \frac{12n^7 - 8n^5 + 4n^3 - 12}{18n^7 - 3n^4 + n^2} c) \frac{5n^3 - 6n}{8n^4 - 3} e) \left[(-1)^n + \frac{1}{n}\right] f) \left[(-1)^n \frac{1}{n}\right]
Understand the Problem
Die Frage bittet darum, die Grenzwerte von verschiedenen mathematischen Folgen zu bestimmen. Dazu sind verschiedene Formeln und Terme gegeben, die analysiert werden müssen, um ihre Grenzwerte zu finden, während n gegen unendlich geht.
Answer
a) $\frac{1}{2}$, b) $\frac{2}{3}$, c) $\frac{5}{8}$, e) keine Grenzwert, f) $0$
Answer for screen readers
a) $\frac{1}{2}$, b) $\frac{2}{3}$, c) $\frac{5}{8}$, e) keine Grenzwert, f) $0$
Steps to Solve
- Grenzwert für a) berechnen
Der Ausdruck für a) ist
$$ \frac{4n^2 + 3n - 27}{8n^2 - 24n + 108} $$
Wenn $n$ gegen unendlich geht, betrachten wir die höchsten Potenzen:
Die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner sind beide $n^2$.
Die Grenzwertberechnung ergibt:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{n} - \frac{27}{n^2}}{8 - \frac{24}{n} + \frac{108}{n^2}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$
- Grenzwert für b) berechnen
Der Ausdruck für b) ist
$$ \frac{12n^7 - 8n^5 + 4n^3 - 12}{18n^7 - 3n^4 + n^2} $$
Die höchsten Potenzen sind wieder $n^7$.
Die Grenzwertberechnung führt zu:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{12 - \frac{8}{n^2} + \frac{4}{n^4} - \frac{12}{n^7}}{18 - \frac{3}{n^3} + \frac{1}{n^5}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$
- Grenzwert für c) berechnen
Der Ausdruck für c) ist
$$ \frac{5n^3 - 6n}{8n^4 - 3} $$
Die höchsten Potenzen sind $n^4$ im Nenner und $n^3$ im Zähler.
Die Grenzwertberechnung ergibt:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{n^2}}{8 - \frac{3}{n^4}} = \frac{5}{8} $$
- Grenzwert für e) berechnen
Der Ausdruck für e) ist
$$ (-1)^n + \frac{1}{n} $$
Wenn $n$ gegen unendlich geht, bleibt $(-1)^n$ alternativ zwischen $1$ und $-1$, während $\frac{1}{n}$ gegen $0$ geht.
Der Grenzwert existiert nicht, weil $(-1)^n$ oszilliert:
$$ \text{Grenzwert existiert nicht} $$
- Grenzwert für f) berechnen
Der Ausdruck für f) ist
$$ (-1)^n \frac{1}{n} $$
Wenn $n$ gegen unendlich geht, wird $\frac{1}{n}$ gegen $0$ gehen, und
$$ \lim_{n \to \infty} (-1)^n \frac{1}{n} = 0 $$
Die Grenzwerte für die Ausdrücke in a) bis f) sind:
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $\frac{2}{3}$
- c) $\frac{5}{8}$
- e) keine Grenzwert
- f) $0$
a) $\frac{1}{2}$, b) $\frac{2}{3}$, c) $\frac{5}{8}$, e) keine Grenzwert, f) $0$
More Information
Der Grenzwert hilft uns zu verstehen, wie sich eine Funktion oder Folge verhält, wenn wir uns unendlich weit entfernen. Solche Grenzwertbetrachtungen sind wichtig in der Analysis, insbesondere bei der Untersuchung von Funktionen oder Folgen.
Tips
- Verwechseln der höchsten Potenzen im Zähler und Nenner. Achten Sie darauf, immer den höchsten Exponenten zu betrachten.
- Annahme, dass Grenzwerte für oszillierende Sequenzen existieren; dies ist nicht der Fall.
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