احتمال این که در 6 ساعت اول دو پالسی نادرست دریافت شود، چه مقدار است؟

Steps to Solve

1. محاسبه نرخ وقوع پالسی نادرست در ۶ ساعت برای محاسبه احتمال وقوع پالسی نادرست در یک دوره ۶ ساعته، ابتدا باید نرخ وقوع یک پالسی نادرست را در این بازه زمانی مشخص کنیم. به طور متوسط ۲ پالسی نادرست در ۲۴ ساعت وجود دارد، بنابراین: $$ \lambda = \frac{2 \text{ پالسی نادرست}}{24 \text{ ساعت}} \times 6 \text{ ساعت} = 0.5 \text{ پالسی نادرست} $$

2. استفاده از توزیع پواسن تعداد وقوع‌های نادرست در یک بازه مشخص از زمان توزیع پواسن را دنبال می‌کند. فرمول احتمال وقوع $k$ پالسی نادرست در زمان $t$ به صورت زیر است: $$ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} $$ که در اینجا $k$ تعداد پالسی نادرست مورد نظر و $\lambda$ نرخ وقوع است.

3. محاسبه احتمال دریافت ۲ پالسی نادرست در ۶ ساعت برای محاسبه احتمال دریافت ۲ پالسی نادرست:

• با توجه به محاسبه قبلی، $\lambda = 0.5$ و $k = 2$: $$ P(X = 2) = \frac{e^{-0.5} \cdot (0.5)^2}{2!} $$ محاسبه می‌شود.

4. محاسبه احتمال دریافت بیشتر از ۳ پالسی نادرست برای محاسبه احتمال دریافت بیشتر از ۳ پالسی نادرست، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم: $$ P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)) $$ ما باید تمام احتمالات برای $X=0, 1, 2, 3$ را محاسبه کنیم.

5. محاسبه هر یک از احتمالات برای هر $k$ از $0$ تا $3$ باید فرمول احتمال پواسن را به کار بگیریم.