اگر متغیر تصادفی X با پارامتر β بوده و c عددی در بازه [0, 1] باشد، مقدار احتمال P(X < -βln(1 - c) چه قدر است؟

Steps to Solve

1. تعریف ویژگی‌های متغیر تصادفی X
   متغیر تصادفی $X$ نمایی است با پارامتر $\beta$. تابع چگالی احتمال (PDF) برای این توزیع به صورت زیر است:
   $$ f(x) = \beta e^{-\beta x} \quad \text{برای } x \geq 0 $$

2. محاسبه احتمال خاص
   ما به دنبال محاسبه احتمال $P(X < -\beta \ln(1 - c))$ هستیم. برای این کار از فرمول تجمعی احتمال (CDF) استفاده می‌کنیم:
   $$ P(X < x) = 1 - e^{-\beta x} $$

3. جایگزینی مقدار x در فرمول CDF
   حالا مقدار $x = -\beta \ln(1 - c)$ را در فرمول CDF قرار می‌دهیم:
   $$ P(X < -\beta \ln(1 - c)) = 1 - e^{-\beta (-\beta \ln(1 - c))} $$

4. ساده‌سازی معادله
   این معادله را ساده می‌کنیم:
   $$ = 1 - e^{\beta^2 \ln(1 - c)} $$
   با استفاده از خواص لگاریتم:
   $$ = 1 - (1 - c)^{\beta} $$

5. محاسبه احتمال نهایی
   بنابراین:
   $$ P(X < -\beta \ln(1 - c)) = c $$