1. Escreva a expressão analítica da função g que tem por gráfico uma reta que passa no ponto (4,3) e é paralela à reta que define o gráfico da função f(x) = 2x - 6. 2. Considere as... 1. Escreva a expressão analítica da função g que tem por gráfico uma reta que passa no ponto (4,3) e é paralela à reta que define o gráfico da função f(x) = 2x - 6. 2. Considere as funções f(x) = √(x - 3) e g(x) = x² + 5. Qual das seguintes opções apresenta uma expressão de (f ° g)(x)? 3. O capital acumulado ao fim de 4 anos ao aplicar 3000€ a uma taxa de juro anual de 8%, com juros capitalizáveis de 3 em 3 meses, é:
Understand the Problem
A pergunta solicita que se encontre a expressão analítica de uma função que tem um gráfico específico e que também considere outras funções para determinar a composição delas. Por fim, pede o cálculo do capital acumulado com juros. São questões de matemática envolvendo funções e finanças.
Answer
- 1. $g(x) = 2x - 5$ - 2. $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 + 2}$ - 3. $3000(1 + \frac{0.08}{4})^{16}$
Answer for screen readers
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A função $g(x) = 2x - 5$.
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A expressão de $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 + 2}$.
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O capital acumulado é $A = 3000(1 + \frac{0.08}{4})^{16}$.
Steps to Solve
- Encontrar a função g(x)
A função $f(x) = 2x - 6$ tem uma inclinação (coeficiente angular) de 2. Para que a reta da função $g(x)$ seja paralela, também deve ter o mesmo coeficiente angular, que é 2. Usando o ponto (4, 3), podemos usar a forma da equação da reta, que é $y - y_1 = m(x - x_1)$: $$ g(x) - 3 = 2(x - 4) $$ Simplificando, obtemos: $$ g(x) = 2x - 8 + 3 = 2x - 5 $$
- Composição das funções $f$ e $g$
Dadas as funções $f(x) = \sqrt{x - 3}$ e $g(x) = x^2 + 5$, precisamos calcular $(f \circ g)(x)$, que significa aplicar $g(x)$ primeiro e depois $f$ no resultado: $$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 5) = \sqrt{x^2 + 5 - 3} = \sqrt{x^2 + 2} $$
- Cálculo do capital acumulado
Para calcular o capital acumulado, usamos a fórmula dos juros compostos: $$ A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt} $$ onde:
- ( P = 3000 ) (capital inicial)
- ( r = 0.08 ) (taxa de juros)
- ( n = 4 ) (número de vezes que o juros é capitalizado por ano)
- ( t = 4 ) (número de anos)
O número total de períodos de capitalização para 4 anos com capitalização trimestral é ( n \cdot t = 4 \cdot 4 = 16 ): $$ A = 3000(1 + \frac{0.08}{4})^{16} $$
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A função $g(x) = 2x - 5$.
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A expressão de $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 + 2}$.
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O capital acumulado é $A = 3000(1 + \frac{0.08}{4})^{16}$.
More Information
- A função $g(x)$ foi encontrada utilizando as propriedades de retas paralelas.
- A composição de funções é um conceito fundamental em matemática, utilizado para combinar funções.
- O cálculo de juros compostos é essencial em finanças e permite compreender como o capital cresce ao longo do tempo.
Tips
- Erros ao calcular a inclinação da linha da função $g(x)$.
- Não considerar corretamente a ordem da composição de funções.
- Aplicar a fórmula de juros compostos de maneira incorreta, especialmente ao calcular o número de períodos.
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