1°) Calculer par le théorème de Gauss le champ électrostatique \vec{E}(r) créé en un point M(r) sur l'axe horizontal (0r) de vecteur unitaire \vec{e_r}. 2°) Déduire le potentiel él... 1°) Calculer par le théorème de Gauss le champ électrostatique \vec{E}(r) créé en un point M(r) sur l'axe horizontal (0r) de vecteur unitaire \vec{e_r}. 2°) Déduire le potentiel électrostatique V(r). 3°) La partie 0z du fil est supprimée, calculer le champ électrostatique créé par le fil semi-infini z'0 en un point M(r) de l'axe (0r) en fonction des vecteurs \vec{e_r} et \vec{k}. 4°) Quelle est la direction de ce champ électrostatique par rapport au plan horizontal passant par 0.
Understand the Problem
La question demande de résoudre plusieurs aspects d'un problème de physique électrostatique concernant un fil infini avec une densité de charge constante. Il s'agit de calculer le champ électrostatique, le potentiel, et d'analyser l'effet de la suppression d'une partie du fil. Cela implique l'utilisation du théorème de Gauss et la compréhension des concepts associés au champ électrique.
Answer
Le champ électrostatique est $E(r) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$, et le potentiel est $V(r) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln\left(\frac{r_{\infty}}{r}\right)$.
Answer for screen readers
Le champ électrostatique est donné par $E(r) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$ pour un fil infini. Le potentiel est $V(r) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln\left(\frac{r_{\infty}}{r}\right)$. Pour un fil semi-infini, le champ devient $E_{\text{semi-infini}}(r) = \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 r}$.
Steps to Solve
- Calcul du champ électrostatique par le théorème de Gauss
Utilisons le théorème de Gauss pour déterminer le champ électrique $E(r)$ créé par un fil infini avec une densité de charge linéique $\lambda$. Pour une surface gaussienne cylindrique de rayon $r$ et de longueur $L$, le flux électrique $\Phi_E$ est donné par:
$$ \Phi_E = E(r) \cdot (2\pi r L) $$
Le champ est constant sur la surface latérale, et le flux à travers les extrémités est nul. Par ailleurs, la charge totale $Q$ à l'intérieur de la surface gaussienne est:
$$ Q = \lambda L $$
En appliquant la loi de Gauss, on a:
$$ \Phi_E = \frac{Q}{\epsilon_0} $$
Cela nous donne:
$$ E(r) \cdot (2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_0} $$
En simplifiant, nous trouvons le champ électrique:
$$ E(r) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r} $$
- Déduction du potentiel électrostatique V(r)
Pour déduire le potentiel électrostatique $V(r)$, nous intégrons le champ électrique. Le potentiel est défini par:
$$ V(r) = -\int E(r) , dr $$
En considérant que nous intégrons de l'infini vers $r$:
$$ V(r) = -\int_{\infty}^{r} \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r'} , dr' $$
Calculons cette intégrale:
$$ V(r) = -\left[\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln(r')\right]{\infty}^{r} = -\left(0 - \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln(r)\right) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln\left(\frac{r{\infty}}{r}\right) $$
- Champ électrostatique après suppression de la partie du fil 0z
Si la partie $0z$ du fil est supprimée, on reste avec un fil semi-infini. Pour calculer le champ électrostatique créé par le fil semi-infini, nous utilisons la formule pour un fil semi-infini. Le champ au point $M(r)$ sera d'une valeur similaire au cas d'un fil infini, mais tenant compte de la contribution à partir d'un bord:
$$ E_{\text{semi-infini}}(r) = \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 r} $$
- Direction du champ électrostatique par rapport au plan horizontal
Pour déterminer la direction du champ électrostatique, nous notons que le champ agira perpendiculairement au fil. Dans le cadre de notre configuration, cela se traduit par une direction radiale à partir du fil vers le point $M(r)$:
$$ \vec{E} = E(r) \hat{e}_r + 0\hat{k} $$
ce qui signifie que le champ est bien orienté dans le plan horizontal à l'axe $r$.
Le champ électrostatique est donné par $E(r) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$ pour un fil infini. Le potentiel est $V(r) = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln\left(\frac{r_{\infty}}{r}\right)$. Pour un fil semi-infini, le champ devient $E_{\text{semi-infini}}(r) = \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 r}$.
More Information
Le calcul du champ et du potentiel électrique autour d'un fil infini est un classique en électrostatique. Ce modèle aide à comprendre comment les charges qui se déplacent le long d'un fil affectent l'espace environnant.
Tips
- Oublier de considérer que le champ électrique d'un fil infini est radialement symétrique peut mener à une mauvaise orientation du champ.
- Confusion entre le champ électrique d'un fil infini et celui d'un fil semi-infini lors de l'évaluation des formules.
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