Vectores Aleatorios y Espacio Probabilizable

La función de distribución conjunta F(x, y) es no decreciente en cada variable. Esto significa que si aumentamos el valor de una variable, manteniendo la otra constante, la probabilidad acumulada no disminuye.

La función de distribución conjunta F(x, y) tiene un límite de 0 cuando x o y tienden a menos infinito.

La función de distribución conjunta F(x, y) tiene un límite de 1 cuando x e y tienden a infinito.

La función de distribución conjunta F(x, y) es continua por la derecha en cada variable. Esto significa que el límite por la derecha de F(x, y) cuando x o y tienden a un valor específico es igual al valor de F(x, y) en ese punto.

Cualesquiera que sean los valores x1, x2, y1, y2, con x1 < x2 e y1 < y2, se cumple que F(x2, y2) - F(x1, y2) - F(x2, y1) + F(x1, y1) ≥ 0. Esto significa que la probabilidad de estar en un rectángulo definido por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es siempre no negativa.

Un vector aleatorio (X, Y) es continuo si ambas variables X e Y son continuas y su función de distribución conjunta F es absolutamente continua, es decir, se puede expresar como una integral de una función de densidad f(x, y).

La función de densidad conjunta f(x, y) describe la probabilidad de que el vector aleatorio (X, Y) tome valores dentro de un rango determinado.

Para una función de densidad conjunta f(x, y), la integral sobre un conjunto B representa la probabilidad de que el vector (X, Y) se encuentre dentro de ese conjunto.

La probabilidad de un punto específico (x, y) en un vector aleatorio continuo es siempre cero debido a la naturaleza continua de las variables.

La integral doble de la función de densidad conjunta f(x, y) sobre todo el espacio debe ser igual a 1, asegurando que la probabilidad total es 1.

La función de distribución conjunta F(x, y) se puede obtener como la integral doble de la función de densidad conjunta f(x, y).

En los puntos donde la función de distribución F no es diferenciable dos veces, se establece, por convención, que la función de densidad es cero.

La función de densidad conjunta f(x, y) se puede obtener derivando parcialmente dos veces la función de distribución conjunta F(x, y), siempre que se cumplan las condiciones del Teorema de Schwarz.

Una función que describe la probabilidad de que un vector aleatorio (X, Y) tome un valor particular (x, y). Es decir, P(X = x, Y = y) representa la probabilidad de que la variable X tome el valor x y la variable Y el valor y al mismo tiempo.

Un gráfico de barras que representa la probabilidad de que un vector aleatorio discreto tome cada uno de sus posibles valores. La altura de cada barra indica la probabilidad de ese valor.

Un conjunto de variables aleatorias que son todas discretas, es decir, sus valores posibles son un conjunto finito o infinito numerable.

La suma de todas las probabilidades de un vector aleatorio discreto debe ser igual a 1. Esto significa que la probabilidad de que el vector tome un valor determinado es 1. Esto asegura que la probabilidad total de todos los eventos posibles sea 1.

Un subconjunto de valores del espacio muestral de un vector aleatorio, representado por la letra B. Se utiliza para describir la probabilidad de que el vector aleatorio tome un valor dentro de ese subconjunto.

La sumatoria de las probabilidades de todos los puntos (xi, yj) que pertenecen al conjunto B. Representa la probabilidad de que el vector aleatorio (X, Y) tome un valor dentro del conjunto B.

Cuando la probabilidad total del vector aleatorio es 1, significa que la probabilidad de que el vector tome un valor fuera de su conjunto de posibles valores es 0. La probabilidad total se refiere a la sumatoria de todas las probabilidades de todos los posibles valores del vector aleatorio.

La función de probabilidad conjunta de un vector aleatorio discreto se puede representar de manera gráfica mediante un gráfico de barras. Cada barra representa un posible valor del vector aleatorio, y las alturas de las barras indican las probabilidades de esos valores. Las barras se deben dibujar sobre el espacio muestral del vector aleatorio, lo que significa que cada barra debe tener su posición en la gráfica que corresponde al valor que representa.

La función de densidad conjunta f(x, y) se define como la derivada parcial de la función de distribución conjunta F(x, y). En otras palabras, f(x, y) representa la probabilidad de que las variables aleatorias X e Y tomen valores dentro de un infinitesimalmente pequeño rectanguló alrededor del punto (x, y).

La integral de la función de densidad conjunta f(x, y) sobre todo el espacio de valores posibles de X e Y debe ser igual a 1. Esto garantiza que la probabilidad total de que las variables aleatorias tomen cualquier valor posible sea igual a 1.

La función de densidad conjunta f(x, y) es una función no negativa. Esto significa que la probabilidad de que las variables aleatorias tomen cualquier valor no puede ser negativa.

La función de distribución conjunta F(x, y) representa la probabilidad acumulada de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual a x, y la variable aleatoria Y tome un valor menor o igual a y.

Dado que la integral de la función de densidad conjunta f(x, y) sobre todo el espacio de valores posibles de X e Y debe ser igual a 1, podemos usar esta condicion para determinar el valor de la constante k en la función de densidad.

La probabilidad de que X tome el valor xi dado que Y toma el valor y, multiplicada por la densidad de probabilidad de Y en el valor y

La probabilidad de que X tome el valor xi, calculada como la integral de la probabilidad de X dado un valor u de Y multiplicada por la densidad de Y en u, entre menos infinito e infinito.

La probabilidad de que Y tome el valor yj dado que X toma el valor x, se calcula como la probabilidad conjunta dividida por la densidad marginal de X.

La densidad de probabilidad de X, calculada como la suma de la probabilidad de X dado cada valor yj de Y multiplicada por la probabilidad de Y en ese valor

La variable X|p sigue una distribución Bernoulli con parámetro p, es decir, la probabilidad de éxito es p y la de fracaso es 1-p

La variable p sigue una distribución uniforme en el intervalo (0, 1), es decir, la probabilidad de que p tome cualquier valor en ese intervalo es constante

Una variable aleatoria X es Bernoulli de parámetro p si toma dos valores posibles, 0 y 1, con probabilidades 1-p y p, respectivamente.

Una variable aleatoria X tiene distribución uniforme en el intervalo (a, b) si su densidad de probabilidad es constante en ese intervalo, y 0 fuera de él.

La distribución de Poisson es reproductiva respecto de su parámetro λ. Esto significa que la suma de dos variables aleatorias independientes con distribuciones de Poisson, con parámetros λ1 y λ2, sigue una distribución de Poisson con parametro λ1 + λ2.

La distribución binomial negativa es reproductiva respecto del parámetro n. Esto significa que la suma de dos variables aleatorias independientes con distribuciones binomiales negativas, con parámetros n1 y n2 y el mismo valor de p, sigue una distribución binomial negativa con parámetro n1 + n2 y el mismo valor de p.

La distribución gamma es reproductiva respecto de su parámetro p. Esto significa que la suma de dos variables aleatorias independientes con distribuciones gamma, con parámetros p1 y p2 y el mismo valor de a, sigue una distribución gamma con parámetro p1 + p2 y el mismo valor de a.

La distribución normal es reproductiva respecto de su parámetro vectorial (µ, σ2). Esto significa que la suma de dos variables aleatorias independientes con distribuciones normales, con parámetros (µ1, σ12 ) y (µ2, σ22), sigue una distribución normal con parámetro (µ1 + µ2, σ12 + σ22).

Para que la propiedad de reproductividad sea válida, las variables aleatorias que se suman deben ser independientes entre sí. De lo contrario, la propiedad no se aplica.

El valor esperado del producto de funciones de variables aleatorias independientes es igual al producto de los valores esperados de cada función individual. Esto se aplica a variables aleatorias continuas y discretas.

Para variables aleatorias continuas independientes, la densidad conjunta es el producto de las densidades individuales. Esto facilita el cálculo de valores esperados y probabilidades.

El cálculo de la probabilidad de un evento en un espacio multidimensional (con más de una variable) se puede reducir a calcular la probabilidad de cada variable individualmente, siempre que las variables sean independientes.