M1 Statistique Chapitre 1 : Lois Multidimensionnelles

Questions and Answers

Qu'est-ce qu'un vecteur aléatoire?

Une famille X = (Xi )1≤i≤d : Ω → ×1≤i≤d Ei où chaque Xi est une variable aléatoire à valeurs dans Ei.

La loi jointe d'un vecteur aléatoire est la loi des variables marginales.

False

Qu'est-ce qu'une fonction de masse?

C'est une fonction qui caractérise la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

Comment est définie la fonction de répartition de X?

F (x1 ,..., xd ) = P(X1 ≤ x1 ,..., Xd ≤ xd ). Signup and view all the answers

Quel est le rôle des lois marginales?

Donner la probabilité d'une variable individuelle. Signup and view all the answers

Que se passe-t-il si la loi jointe est connue?

On connait toutes les lois marginales. Signup and view all the answers

La réciproque de la connaissance des lois marginales est vraie.

False Signup and view all the answers

Dans le cas discret, quelle est la valeur de la fonction de masse pour un vecteur aléatoire?

f (x1 ,..., xd ) = P(X1 = x1 ,..., Xd = xd ). Signup and view all the answers

Quels types d'ensembles peuvent être des domaines dans un vecteur aléatoire?

Discrets ou réels. Signup and view all the answers

Quelle est la définition d'une densité jointe?

Une fonction qui décrit la probabilité d'événements impliquant plusieurs variables. Signup and view all the answers

Study Notes

Lois multidimensionnelles

Un espace probabilisé est noté par (Ω, A, P).
Un vecteur aléatoire (X = (X_i)_{1 \leq i \leq d}) est défini sur (\Omega) et chaque (X_i) prend des valeurs dans un ensemble (E_i).
La tribu produit (E = \otimes_{i \in I} E_i) est la plus petite tribu rendant (X) un vecteur aléatoire et (X) une variable aléatoire sur ((E, E)).
La loi jointe de (X) est la loi de (X) considérée comme variable aléatoire. Les lois marginales sont les lois de chaque (X_i).

Cas discret

Les ensembles (E_i) sont dénombrables ou finis, ce qui rend (E) aussi dénombrable ou fini.
La loi de (X) est caractérisée par une fonction de masse (f: E \to [0,1]) définie par (f(x_1, \ldots, x_d) = P(X_1 = x_1, \ldots, X_d = x_d)).
Les lois marginales peuvent être calculées avec (f_j(x_j) = \sum_{\substack{x_1 \in E_1 \ x_{j-1} \in E_{j-1} \ x_{j+1} \in E_{j+1} \ \ldots \ x_d \in E_d}} f(x_1, \ldots, x_d)).

Cas réel

Si tous les ensembles (E_i) sont égaux à (\mathbb{R}), alors la fonction de répartition de (X) est (F: \mathbb{R}^d \to [0,1]) définie par (F(x_1, \ldots, x_d) = P(X_1 \leq x_1, \ldots, X_d \leq x_d)).
Les lois marginales de (X) peuvent être exprimées avec des limites de la fonction de répartition : (F_j(x_j) = \lim_{x_1 \to +\infty} \cdots \lim_{x_d \to +\infty} F(x_1, \ldots, x_d)).
Une loi admet une densité jointe (f : \mathbb{R}^d \to [0, +\infty[) et la mesure associée est (\mu(A) = \int_A f(x) , dx).

Densité et propriétés

Si la densité (f) est donnée, la densité marginale (f_j) est calculable comme (f_j(x_j) = \int_{\mathbb{R}^{d-1}} f(x) , dx_1 \ldots dx_{j-1} dx_{j+1} \ldots dx_d).
La séparation permet le calcul de propriétés statistiques et d'espérances de fonctions mesurables via des intégrales.

Autres cas

La structure des vecteurs aléatoires peut inclure des variables discrètes et continues simultanément (exemple : variables aléatoires complexes).

Calculs effectifs

La loi d'un vecteur (Y) défini par une transformation (Y = \varphi(X)) permet de déterminer la fonction de répartition ou la fonction caractéristique.
Les méthodes de calcul peuvent aussi inclure les attentes par le biais de fonctions mesurables bornées.

Description

Ce quiz aborde les concepts fondamentaux des lois multidimensionnelles, y compris les vecteurs aléatoires et les lois jointes et marginales dans un espace probabilisé. Les étudiants devront démontrer leur compréhension des notions clés telles que les tribus et les fonctions associées à des ensembles. Testez vos connaissances sur les bases de la statistique multivariée.