M1 Statistique Chapitre 1 : Lois Multidimensionnelles
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Questions and Answers

Qu'est-ce qu'un vecteur aléatoire ?

Une famille X = (Xi )1≤i≤d : Ω → ×1≤i≤d Ei est un vecteur aléatoire si, pour tout i ∈ {1, · · · , d}, Xi est une variable aléatoire à valeurs dans Ei.

Quelle est la définition de la loi jointe d'un vecteur aléatoire ?

La loi jointe du vecteur aléatoire X est la loi de X vu comme une variable aléatoire à valeurs dans (E, E).

Qu'est-ce que la fonction de masse dans le cas discret ?

La fonction de masse f : E → [0; 1] est définie pour tout x = (x1 ,..., xd ) ∈ E par f (x1 ,..., xd ) = P(X1 = x1 ,..., Xd = xd).

Comment la fonction de répartition de X est-elle définie ?

<p>La fonction de répartition de X est la fonction F : Rd → [0; 1] définie par F (x1 ,..., xd ) = P(X1 ≤ x1 ,..., Xd ≤ xd).</p> Signup and view all the answers

La réciproque de la proposition concernant les lois marginales est vraie.

<p>False</p> Signup and view all the answers

Quelle est l'expression de la densité marginale fj d'une variable aléatoire Xj ?

<p>La densité marginale fj (xj ) = ∫ f (x) dx1 · · · dxj−1 dxj+1 · · · dxd.</p> Signup and view all the answers

La loi d'un vecteur Y défini par une relation Y = φ(X) peut être calculée à partir de la loi de X par la relation ______.

<p>fonction de répartition</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Lois multidimensionnelles

  • Un espace probabilisé est noté par (Ω, A, P).
  • Un vecteur aléatoire est une famille de variables aléatoires définie sur un espace probabilisé.
  • La tribu produit E = ⊗i∈I Ei est essentielle pour établir la structure des vecteurs aléatoires.
  • La loi jointe d'un vecteur aléatoire X est celle de X considéré comme une variable aléatoire sur E.
  • Les lois marginales de X sont obtenues à partir des lois des composantes individuelles Xi.
  • Connaître la loi jointe d’un vecteur permet de connaître ses lois marginales, mais l'inverse n'est pas vrai.

Cas discret

  • Dans ce cas, les ensembles Ei sont soit fermés, soit dénombrables, impactant la nature de l'espace E.
  • La fonction de masse f caractérise la loi de X, avec la définition P(X1 = x1,..., Xd = xd).
  • Les lois marginales peuvent être exprimées en fonction de la loi jointe via une somme sur les autres variables.

Cas réel

  • Les ensembles Ei sont équivalents à R, formant ainsi l'espace E = Rd.
  • La fonction de répartition de X est notée F et définie par des inégalités combinées sur les composantes du vecteur.
  • Les densités jointes et marginales sont déterminées par des intégrales et des dérivées par rapport aux variables.

Autres cas

  • Un vecteur aléatoire peut contenir à la fois des variables discrètes et continues.
  • Les variables aléatoires complexes peuvent également être intégrées dans l'analyse.

Calculs effectifs

  • Pour une relation Y = φ(X), où X est un vecteur aléatoire, il est parfois nécessaire de calculer la loi de Y.
  • La fonction de répartition ou caractéristique de Y peut être déterminée à partir de X.
  • Utilisation de la méthode de la fonction muette pour calculer des espérances d’une fonction h mesurable sur Y, lorsqu’on connaît la densité f de X.

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Description

Ce quiz porte sur le premier chapitre des lois multidimensionnelles dans le cadre du programme de M1 Statistique à l'Aix-Marseille Université. Il explore les concepts de vecteurs aléatoires, lois jointes et lois marginales au sein d'un espace probabilisé. Testez vos connaissances sur ces notions fondamentales en probabilités.

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