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Questions and Answers
Qu'est-ce qu'un vecteur aléatoire ?
Une famille X = (Xi )1≤i≤d : Ω → ×1≤i≤d Ei est un vecteur aléatoire si, pour tout i ∈ {1, · · · , d}, Xi est une variable aléatoire à valeurs dans Ei.
Quelle est la définition de la loi jointe d'un vecteur aléatoire ?
La loi jointe du vecteur aléatoire X est la loi de X vu comme une variable aléatoire à valeurs dans (E, E).
Qu'est-ce que la fonction de masse dans le cas discret ?
La fonction de masse f : E → [0; 1] est définie pour tout x = (x1 ,..., xd ) ∈ E par f (x1 ,..., xd ) = P(X1 = x1 ,..., Xd = xd).
Comment la fonction de répartition de X est-elle définie ?
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La réciproque de la proposition concernant les lois marginales est vraie.
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Quelle est l'expression de la densité marginale fj d'une variable aléatoire Xj ?
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La loi d'un vecteur Y défini par une relation Y = φ(X) peut être calculée à partir de la loi de X par la relation ______.
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Study Notes
Lois multidimensionnelles
- Un espace probabilisé est noté par (Ω, A, P).
- Un vecteur aléatoire est une famille de variables aléatoires définie sur un espace probabilisé.
- La tribu produit E = ⊗i∈I Ei est essentielle pour établir la structure des vecteurs aléatoires.
- La loi jointe d'un vecteur aléatoire X est celle de X considéré comme une variable aléatoire sur E.
- Les lois marginales de X sont obtenues à partir des lois des composantes individuelles Xi.
- Connaître la loi jointe d’un vecteur permet de connaître ses lois marginales, mais l'inverse n'est pas vrai.
Cas discret
- Dans ce cas, les ensembles Ei sont soit fermés, soit dénombrables, impactant la nature de l'espace E.
- La fonction de masse f caractérise la loi de X, avec la définition P(X1 = x1,..., Xd = xd).
- Les lois marginales peuvent être exprimées en fonction de la loi jointe via une somme sur les autres variables.
Cas réel
- Les ensembles Ei sont équivalents à R, formant ainsi l'espace E = Rd.
- La fonction de répartition de X est notée F et définie par des inégalités combinées sur les composantes du vecteur.
- Les densités jointes et marginales sont déterminées par des intégrales et des dérivées par rapport aux variables.
Autres cas
- Un vecteur aléatoire peut contenir à la fois des variables discrètes et continues.
- Les variables aléatoires complexes peuvent également être intégrées dans l'analyse.
Calculs effectifs
- Pour une relation Y = φ(X), où X est un vecteur aléatoire, il est parfois nécessaire de calculer la loi de Y.
- La fonction de répartition ou caractéristique de Y peut être déterminée à partir de X.
- Utilisation de la méthode de la fonction muette pour calculer des espérances d’une fonction h mesurable sur Y, lorsqu’on connaît la densité f de X.
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Description
Ce quiz porte sur le premier chapitre des lois multidimensionnelles dans le cadre du programme de M1 Statistique à l'Aix-Marseille Université. Il explore les concepts de vecteurs aléatoires, lois jointes et lois marginales au sein d'un espace probabilisé. Testez vos connaissances sur ces notions fondamentales en probabilités.
