Programación Lineal: Métodos Gráficos y Enteros

Programación Lineal

Métodos Gráficos

• Definición: Técnica visual para resolver problemas de programación lineal con dos variables.
• Pasos:
  1. Formular el problema: Definir la función objetivo y las restricciones.
  2. Representar las restricciones: Graficar las ecuaciones en un plano cartesiano.
  3. Determinar la región factible: Área donde se cumplen todas las restricciones.
  4. Identificar los vértices: Puntos de intersección de las líneas de restricciones.
  5. Evaluar la función objetivo: Calcular el valor en los vértices para encontrar la solución óptima.

Programación Entera

• Definición: Variante de programación lineal donde algunas o todas las variables deben ser enteras.
• Características:
  • Se utiliza en situaciones donde las soluciones fraccionarias no tienen sentido (ej. número de productos, personas).
  • Existen dos tipos:
    • Programación entera pura: Todas las variables son enteras.
    • Programación entera mixta: Algunas variables son enteras y otras no.
• Métodos de solución:
  • Método gráfico (sólo para dos variables).
  • Método branch-and-bound: Divide el problema en subproblemas más pequeños.
  • Método branch-and-cut: Combina técnicas de branch-and-bound con cortes para eliminar regiones no factibles.

Aplicaciones en Optimización

• Ámbitos de aplicación:
  • Producción: Maximizar ganancias o minimizar costos en la fabricación.
  • Transporte: Optimización de rutas y costos logísticos.
  • Asignación de recursos: Distribuir recursos limitados para maximizar la eficiencia.
  • Finanzas: Optimización de carteras de inversión.
• Beneficios: Ayuda a tomar decisiones informadas basadas en análisis cuantitativo.

Solución de Problemas de Red

• Definición: Aplicación de programación lineal en redes para optimizar flujos.
• Elementos clave:
  • Nodos: Representan puntos de decisión o conexión.
  • Arcos: Representan las conexiones entre nodos (pueden tener capacidad).
• Ejemplos de problemas:
  • Flujo máximo: Encontrar la mayor cantidad de flujo que se puede enviar desde una fuente a un sumidero.
  • Caminos mínimos: Determinar el camino de menor costo o distancia entre dos nodos.
• Métodos de solución:
  • Algoritmo de Ford-Fulkerson: Para el problema de flujo máximo.
  • Algoritmo de Dijkstra: Para la búsqueda de caminos mínimos en redes.

Programación Lineal

• Es una técnica matemática que permite optimizar funciones objetivo sujetas a restricciones lineales.

Métodos Gráficos

• Un método visual para resolver problemas de programación lineal con dos variables.
• Los pasos para aplicar este método incluyen:
  • Formular el problema, definir las restricciones y la función objetivo.
  • Representar las restricciones gráficamente en un plano cartesiano.
  • Determinar la region factible, el área donde se cumplen todas las restricciones.
  • Identificar los vertices, los puntos de intersección de las líneas de restricciones.
  • Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices para encontrar la solución optima.

Programación Entera

• Es una variante donde algunas o todas las variables deben ser números enteros, utilizada para resolver problemas donde las soluciones fraccionarias no tienen sentido.
• Existen dos tipos:
  • Programación entera pura: Todas las variables son enteras.
  • Programación entera mixta: Algunas variables son enteras y otras no.
• Para resolver problemas de programación entera se pueden utilizar métodos como:
  • El metodo gráfico (solo para dos variables)
  • El método branch-and-bound, el cual divide el problema en subproblemas.
  • El método branch-and-cut, una combinación de branch-and-bound con cortes para eliminar regiones no factibles.

Aplicaciones en Optimización

• La programación lineal tiene una amplia gama de aplicaciones en diferentes áreas:
  • Producción: Maximización de ganancias o minimización de costos en la fabricación.
  • Transporte: Optimización de rutas y costos logísticos.
  • Asignación de recursos: Distribución eficiente de recursos limitados.
  • Finanzas: Optimización de carteras de inversión.
• Los beneficios de aplicar esta técnica son:
  • Apoyo en la toma de decisiones basadas en análisis cuantitativo.
  • Búsqueda de soluciones óptimas para problemas complejos.

Solución de Problemas de Red

• La programación lineal se aplica en redes para optimizar flujos.
• Los elementos clave de los problemas de red son:
  • Nodos: Representan puntos de conexión o decisión.
  • Arcos: Conexiones entre nodos, pueden tener capacidad.
• Algunos ejemplos de problemas de red incluyen:
  • Flujo máximo: Encontrar la mayor cantidad de flujo de un nodo fuente a un nodo sumidero.
  • Caminos mínimos: Determinar el camino de menor costo o distancia entre dos nodos.
• Algunos métodos de solución para problemas de red son:
  • El algoritmo de Ford-Fulkerson para el problema de flujo máximo
  • El algoritmo de Dijkstra para la búsqueda de caminos mínimos.

Este cuestionario evalúa el conocimiento sobre los métodos gráficos en programación lineal y la programación entera. Se examinan los pasos para formular problemas, representar restricciones y encontrar soluciones óptimas. Ideal para estudiantes que desean profundizar en estos conceptos clave de optimización.