Matematika Olympiáda 2024/2025

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Aká podmienka musí byť splnená pre minimalizáciu výrazu s jednou premennou $x$?

Hodnota premenných musí byť kladná.

Aspoň v dvoch nerovnostiach musí nastať rovnosť. (correct)

Všetky nerovnosti musia byť rovnosti.

Výraz musí byť klesajúci na celom intervale.

Aké hodnoty nadobúda premenná $x$ pri minimalizácii na intervale $(0, 1]$?

$x = 0,5$

$x = 2$

$x = 0$

$x = 1$ (correct)

Kedy bude funkcia $f(x)$ klesajúca na intervale $(0, 4 rac{85}{13}]$?

Keď $x = 1$

Keď $x$ je medzi $0$ a $4 rac{85}{13}$ (correct)

Keď $x < 0$

Keď $x$ presiahne $4 rac{85}{13}$

Čo platí pre premenné $y$ a $z$, ak $y imes z = rac{6}{x}$?

$y = rac{2}{x}$ a $z = rac{6}{x}$ Signup and view all the answers

Na akom intervale minimalizujeme funkciu $g(y)$, ak $y imes z = 6$?

(0, 2] Signup and view all the answers

Koľko hodnôt premennej $y$ vedie k minimalizácii výrazu, ak $x imes y = 2$?

1 Signup and view all the answers

Čo je výsledkom výrazu $13x^2 + 10y^2 + 5z^2$, ak minimalizujeme na hodnote $y = 2$ a $z = 3$?

98 Signup and view all the answers

Aké maximum môže nadobudnúť výrazy pri hodnotách premenných $x$, $y$, $z$?

6 Signup and view all the answers

Aká je najmenšia hodnota výrazu 13𝑥² + 10𝑦² + 5𝑧² pre trojicu (𝑥, 𝑦, 𝑧)?

66 Signup and view all the answers

Čo platí o funkcii 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥² + 𝑚/𝑥², ak 𝑘 a 𝑚 sú kladné reálne čísla?

Funkcia má minimum na intervale [𝑀, ∞) Signup and view all the answers

Kedy má výraz 𝑥𝑦 > 2 a 𝑥𝑧 > 3 rovnosť?

Keď sa vyskytne v dvoch ostrých nerovnostiach Signup and view all the answers

Aká nerovnosť musí platiť pre hodnoty 𝑦 a 𝑧 v súvislosti s hodnotou 6?

𝑦𝑧 ≥ 6 Signup and view all the answers

Akú formu má rozklad výrazu 13𝑥² + 10𝑦² + 5𝑧²?

(2𝑥 - 3𝑦)² + (3𝑥 - 𝑧)² Signup and view all the answers

Aká je povaha funkcie 𝑓 na intervale [𝑀, ∞)?

Rastúca Signup and view all the answers

Akú vlastnosť má funkcia 𝑓(𝑥) na intervale (0, 𝑀]?

Je klesajúca Signup and view all the answers

Čo je potrebné urobiť pre dosiahnutie minimálnej hodnoty výrazu 𝑓?

Vybrať hodnotu x maximálne z ostatných Signup and view all the answers

Aké čísla sú vzájomne delené, ak platí, že 𝑎𝑏1 … 𝑏𝑘 a 𝑐𝑑1 … 𝑑𝑙 nie sú deliteľné 10?

Čísla 2𝑘+𝑙 a 5𝑘+𝑙 Signup and view all the answers

Aké vlastnosti musia mať čísla 𝑏𝑘 a 𝑑𝑙 pre uvedené rovnice?

Musí platiť 𝑏𝑘 ≠ 0 a 𝑑𝑙 ≠ 0 Signup and view all the answers

Čo reprezentuje číslo 10𝑘 na základne 𝑥?

Má význam 10, ktoré je násobkom prirodzeného čísla 𝑘 Signup and view all the answers

Ako môžeme vyjadriť vzťah medzi číslami 𝑥 a 𝑦 pomocou čísla 10?

10𝑘 𝑥 = 𝑎𝑏1 … 𝑏𝑘 ⋅ 𝑦 Signup and view all the answers

Akú vlastnosť má číslo 2𝑓+𝑙 v zadaných podmienkach?

Nie je deliteľné 10 Signup and view all the answers

Aké rovnice sa dajú získať na základe poskytnutých rovníc?

10𝑘 𝑥 ⋅ 10𝑙 𝑦 = 𝑎𝑏1 … 𝑏𝑘 ⋅ 𝑐𝑑1 … 𝑑𝑙 Signup and view all the answers

Aký výraz reprezentuje desatinné číslo 𝑥 vo forme a, b, c?

𝑎,𝑏1, …,𝑏𝑘 Signup and view all the answers

Aký pomer platí medzi 𝑥 a 𝑦, ak 𝑥 = 2𝑙/5𝑘?

𝑥/y = 2/5 Signup and view all the answers

Study Notes

Matematika Olympiáda 2024/2025 - Riešenia úloh domáceho kola, kategória B

Úloha 1: Z číslic 1 až 9 sa vytvorí 9-ciferné číslo s rôznymi číslicami. Každá dvojica susedných číslic sa interpretuje ako dvojciferné číslo, a jeho najmenší prvočíselný deliteľ sa určí. Hľadajú sa dvojice prvočísel, ktoré sa dajú takto získať.
- Riešenie: Používa sa postup odvodzovania možností, pričom sa berú do úvahy párne číslice a ich maximálny počet výskytov v dvojciferných číslach. Prvočíslo 2 sa vyskytuje najviac 4-krát, ďalšie prvočíslo musí byť teda aspoň 4-krát.
- Príklad vyhovujúceho čísla: 124563987. Pre toto číslo sa dostanú prvočísla 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3.
- Počet vyhovujúcich čísel: 3072.
- Zistený systém striedania párnych a nepárnych číslic, aby dvojciferné čísla končiace nepárnou číslicou boli deliteľné 3.
Úloha 2: Trojuholník ABC, uhol BAC = 45°. Na strany AB a AC sú zvonku zostrojené pravouhlé rovnoramenné trojuholníky ABP a ACQ. R je stred úsečky PQ. Potreba dokázať, že AR = ½ polomeru kružnice opísanej trojuholníku ABC.
- Riešenie: Používa sa geometrická analýza a vlastnosti rovnoramenných a pravouhlých trojuholníkov. Používa sa pojem stred úsečky a vlastnosti opísanej kružnice trojuholníka.
- Použitím stredovej čiary zhodných trojuholníkov sa dokazuje, že AR je polovica polomeru kružnice opísanej trojuholníku ABC.
Úloha 3: Rovnostranný trojuholník so stranou dĺžky n možno rozdeliť na zhodné konvexné časti.
- a) 2 rovnostranné trojuholníky so stranou dĺžky 1
- b) 3 rovnostranné trojuholníky so stranou dĺžky 1
- Riešenie: Trieda a) nemá riešenie. Trieda b) má riešenie pre všetky n, ktoré sú násobkom 3.
Úloha 4:
- a) Hľadanie dvojciferného čísla n takého, aby 1/n malo v desatinnej forme za desatinnou čiarkou dve číslice.
- b) Dokaz, že pre každé kladné prirodzené čísla k a l existujú práve dve kladné racionálne čísla, ktoré po vydelení majú za desatinnou čiarkou práve k cifier a ich prevrátené hodnoty práve l cifier.
- Riešenie: Číslo 25 je príkladom (1/25 = 0.04). Použitie rozkladu čísel na prvočísla. Existencia čísel závisí od rozkladov čísel v prvočíslach (základný tvar zlomku).
Úloha 5: Kružnica opísaná ostrouhlému trojuholníku ABC. Bod D a E sú obrazy bodu A v osovej súmernosti vzhľadom k stranám BC. Úsečky CD a BE sa pretínajú na kružnici. Určiť možné hodnoty uhla BAC.
- Riešenie: Používa sa pojem osová súmernosť a vlastnosti obvodových uhlov. Zhodnosť obvodových uhlov vedie k zisteniu, že uhol BAC má možnú hodnotu 45°.
Úloha 6: Kladné reálne čísla x, y, z. xy ≥ 2, zx ≥ 3, yz ≥ 6. Hľadanie minimálnej hodnoty výrazu 13x² + 10y² + 5z².
- Riešenie: Používanie nerovností a zložitejších metód na nájdenie minimálnej hodnoty, ktorá nastáva, keď sú splnené všetky nerovnosti a rovnosti. Spôsoby pre transformáciu výraz na súčet štvorcov. Minimum sa nachádza pri x = 1, y = 2, z = 3.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Tento kvíz sa zaoberá riešeniami úloh domáceho kola matematickej olympiády pre kategóriu B. Obsahuje úlohy týkajúce sa kombinatoriky, prvočísel a vlastností trojuholníkov. Testujte svoje matematické zručnosti a overte si svoje vedomosti o týchto zaujímavých problémoch.