Matemáticas 1: Números Reales y Funciones

Números Reales y Sus Subconjuntos

• Los números reales incluyen todos los números racionales e irracionales.
• Subconjuntos fundamentales: números naturales, enteros, racionales e irracionales.

Intervalos en los Reales y Su Representación Gráfica

• Un intervalo se define por dos extremos y puede ser abierto, cerrado o semi-abierto.
• La representación gráfica consiste en una línea numérica donde se marcan los extremos.

Definiciones Básicas

• Variables: dependientes y independientes, donde la dependiente cambia en función de la independiente.
• Relación: una correspondencia entre dos conjuntos.
• Función: relación especial donde a cada elemento del dominio le corresponde uno del rango.
• Dominio: conjunto de valores de entrada; rango: conjunto de valores de salida.

Función Real de Variable Real y Sus Representaciones

• Representaciones analítica: fórmula matemática, numérica: tabla de valores, gráfica: gráfico en coordenadas, verbal: descripción en palabras.

Funciones Algebraicas

• Polinomiales: expresiones de la forma (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0).
• Racionales: cocientes de polinomios, puede tener asíntotas verticales y horizontales.

Funciones Trascendentes

• Incluyen funciones trigonométricas (seno, coseno), logarítmicas (logaritmo natural, logaritmo en base 10) y exponenciales (forma (a^x)).

Funciones Definidas por Partes

• Funciones que tienen diferentes expresiones matemáticas según el valor de la variable independiente.

Operaciones con Funciones

• Adición: suma de funciones.
• Sustracción: resta de funciones.
• Multiplicación: producto de funciones.
• División: cociente de funciones.
• Composición: creación de una nueva función aplicando una función dentro de otra.

Transformaciones Rígidas y No Rígidas

• Transformaciones rígidas: incluyen traslaciones y reflexiones, conservan la forma.
• Transformaciones no rígidas: incluyen dilataciones y compresiones, modifican la forma.

Funciones Pares, Impares y Ni Par Ni Impar

• Función par: (f(x) = f(-x)).
• Función impar: (f(x) = -f(-x)).
• Funciones ni par ni impar no cumplen ninguna de las dos condiciones.

Inyectividad, Suprayectividad y Biyectividad

• Función inyectiva: cada valor del rango corresponde a uno distinto en el dominio.
• Función suprayectiva: cubre todo el rango.
• Función biyectiva: es inyectiva y suprayectiva.

La Función Inversa

• La función inversa "deshace" la acción de la función original, tomando valores del rango y devolviendo al dominio.

La Función Implícita

• Expresada como una relación entre las variables donde no se presenta de forma explícita la variable dependiente.

Formulación de Funciones como Modelos Matemáticos

• Las funciones se utilizan para modelar situaciones reales en diversos contextos, como fenómenos físicos, químicos o económicos.

Modelación de Fenómenoscomo Funciones

• Los fenómenos pueden ser descritos usando funciones que representan sus relaciones fundamentales y comportamientos dinámicos.

Este cuestionario explora los números reales y sus subconjuntos, así como las funciones y sus representaciones. Se analizarán desde funciones algebraicas y trascendentes hasta funciones definidas por partes. Prepárate para profundizar en los conceptos esenciales de las matemáticas.