Matematika: Limity a funkce

### Matematická analýza 1 - Přednáška

• Přednášku drží Martin Křepela z Katedry matematiky FEL ČVUT
• Aktuální verze z 7. ledna 2025
• Cílová skupina: studenti na zimní semestr 2024/2025
• Přednáška se týká matematické analýzy 1
• Základní téma je matematická analýza
• "Nevěřte všemu, co si přečtete na internetu." - Abraham Lincoln (citováno na prvním snímku prezentace)

### Co je matematická analýza?

• „Analýza“ je jen název
• Jedná se o matematiku spojitého světa
• Pracuje s nekonečnem
• Zahrnuje limity, derivace a integrály

### Použití matematické analýzy

• Popisuje procesy založené na spojité změně, diferenciální rovnice
• Fyzika (nejstarší motivace)
• Optimalizace (hledání maxima, nejlepšího řešení)
• Aproximace (hledání přibližné hodnoty)
• Matematické modelování

### Organizace předmětu

• Přednášky: Úterý 14:30–16:00, posluchárna 209; Středa 16:15–17:45, posluchárna 256. Účast nepovinná, ale doporučená.
• Cvičení: Počítání a dokazování. Viz osobní rozvrh. Účast povinná.
• Proseminář: Středa 18:00–19:30, posluchárna 256 (týdny 1–8); Úterý 16:15–17:45, posluchárna 209 (týdny 9–14). Účast nepovinná, samostatný předmět (2 kredity).

### Literatura

• Hlavní zdroj: Skripta od J. Tkadlece: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. ČVUT, Praha, 2011.
• Skripta 4 jezdců z Apokalypsy (MFF UK).
• Klasické učebnice matematické analýzy (velmi detailní, starší přístup).
• Interaktivní Math Tutor.
• Další učebnice kalkulu.

### Hodnocení

• Zápočet ze cvičení (aktivita, domácí úkoly)
• Písemná část zkoušky (početní i teoretické úlohy)
• Ústní část zkoušky (klíčové pojmy, teoretické úlohy)
• Pro absolvování je potřeba splnit bod (3)
• Splnění bodu (n) je nutné pro splnění bodu (n+1), kde n ∈ {1,2}

### Základní pojmy - Elementární výroková logika

• Výrok: Je tvrzení (oznamovací věta), o kterém má smysl říci, zda je pravdivé/nepravdivé
• Příklady: "Číslo 6 je sudé.", "Brno leží v Čechách"
• Není výrok: "Bang!" , "Kéž by už bylo 16:00."

### Základní pojmy - Množiny

• Množina: Libovolný souhrn navzájem různých objektů
• Prvek: Objekt v množině
• Značení: x∈ M (x je prvkem M); x∉ M (x není prvkem M)
• Prázdná množina: Ø (množina bez prvků)
• Značení více prvků: x₁, x₂∈ M (x₁, x₂ jsou prvky M)
• Podmnožina: P⊂M (každý prvek z P je zároveň prvkem z M)
• Vlastní podmnožina: P⊂M (P je podmnožinou M a P se nerovná M)
• Značení pro množiny: {n² | k ∈ N}

### Množinové operace

• Sjednocení (∪): M ∪ N = {x | x ∈ M nebo x ∈ N}
• Průnik (∩): M ∩ N = {x | x ∈ M a x ∈ N}
• Rozdíl (): M \ N = {x | x ∈ M a x ∉ N}
• Disjunktní množiny: M∩ N = Ø

### Přírozená, celá a racionální čísla

• Přirozená čísla (N): {1, 2, 3, ...}
• Celá čísla (Z): {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
• Racionální čísla (Q): {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}

### Parita celých čísel

• Sudá čísla: z = 2k, k ∈ Z
• Lichá čísla: z = 2k + 1, k ∈ Z

### Kvantifikátory

• Univerzální kvantifikátor (∀): „pro každé“
• Existenční kvantifikátor (∃): "existuje"
• Existenční kvantifikátor s jedinečností (∃!): „existuje právě jedno“

### Řetězení kvantifikátorů

• Pořadí kvantifikátorů stejného typu lze zaměnit.
• Pořadí různých kvantifikátorů nelze zaměnit bez změny významu.

### Další zkrácené značení

• Krátké značení pro výroky s kvantifikátory. Věty týkající se zkráceného značení.

### Zápis neexistence

• Zapisování výroků, které vyjadřují neexistenci prvku splňujícího danou vlastnost.

### Matematická teorie

• Definice, axiomy, věty a jejich důkazy (konstrukce teorie)

### Definice

• Definice jsou názvy/označení objektů/vlastností.

### Axiomy

• Axiomy jsou tvrzení, která přijímáme bez důkazu jako pravdu.

### Věty

• Věty jsou tvrzení odvozená z axiomů a definic.

### Důkazy

• Logické vyvozování závěrů z předpokladů pomocí axiomů a dříve dokázaných vět.

### Základní typy důkazů

• Přímý důkaz: Předpoklad → krok 1 → krok 2... → závěr
• Důkaz sporem: Předpoklad → (důkaz vede k sporu) → závěr
• Matematická indukce: Dokazujeme V(1). Předpokládáme V(n) → dokaz V(n+1) → závěr.

### Přímý důkaz

• Metody přímého dokazování tvrzení.
• Volba libovolného prvku x a odvození výsledku.
• Přidání konkrétního příkladu k demonstraci.
• Konstruktivní vs. nekonstruktivní důkaz.

### Nepřímý důkaz

• Vypsání ekvivalence, demonstrace správnosti.
• Zadej konkrétní příklad.

### Důkaz sporem

• Demonstrace, že předpoklad vede ke sporu, což dokazuje pravost závěru.
• Konkrétní příklad.

### Důkaz matematickou indukcí

• Důkaz tvrzení aplikováním metody matematickou indukcí.
• Zadej konkrétní příklad.

### Prostor spojitých funkcí

• Definice a vlastnosti spojitých funkcí.
• Základní vlastnosti spojitých funkcí - vzorce týkající se spojitých funkcí.
• Věta: S monotoní posloupností má limitu.
• Věta: Její limitou je inf (nebo sup) číselné řady
• Důležitá věta: Každá spojitá funkce definovaná na uzavřeném intervalu má minimum a maximum.
• Žádný z předpokladů nelze vynechat.

### Asymptoty

• Definice asymptot: vertikální a šikmé.

### Reálné intervaly

• Otevřené intervaly
• Uzavřené intervaly
• Polootevřené intervaly

### Vnitřní body intervalu

• Body intervalu, které nejsou krajními body.

### Racionální funkce

• Vlastnosti a definice racionálních funkcí.

### Charakteristická funkce

• Charakteristická funkce množiny.

### Znaménková funkce

• Definice znaménkové funkce. Vlastnosti.

### Maximum jako funkce

• Definice a vlastnosti maxima jako funkce.

### Exponenciála a logaritmus

• Exponenciální funkce.
• Přirozený logaritmus.
• Obecná exponenciála.
• Obecná mocnina.

### Goniometrické a cyklometrické funkce

• Sinus, kosinus, tangens, kotangens
• Arkus sinus, arkus kosinus - Arkus tangens, arkus kotangens.

### Hyperbolické a hyperbolometrické funkce

• Popis a interpretace.

### Eulerova identita

• Vzorec pro Eulerovu identitu: e^(ix) = cos(x)+i sin(x)
• Důkazy a vztahy.

### Limita a spojitost funkce

• Limity a spojitost funkcí - jednostranné limity.
• Vlastnosti a kritéria pro výpočet limit funkcí.
• Monotonie vs. limity
• Limity konstant a posloupností.
• Věta o limitě složené funkce.

### Aritmetika Limit

• Aritmetika limit - různé výpočty.
• Použití věty o limitě složené funkce.
• Aritmetika neexistujících limit
• Odhady vs. limity
• Použití Taylorovy věty (odhad chyby a výpočet).

### Posloupnosti

• Posloupnost: posloupnost reálných čísel

• Zobrazení množiny přirozených čísel do reálného pole R.

• Značení (an)nen a (n)=1.a_n).

• Děj při výpočtech s limity

• Aritmetika posloupností.

• Základní kritéria konvergence.

• Konvergence dalších důležitých řad

• Posloupnosti bez limity

• Vztahy mezi limitami funkcí a posloupností

• Podílové kritérium

• Limitní podílové kritérium.

• Odvození věty o monotonii posloupností s limitou.

### Spojité funkce

• Definice spojitosti funkce v bodě a na intervalu

• Související věty - různé podmínky

• Důležité vlastnosti spojitých funkcí.

• Prostor spojitých funkcí

• Věty o monotonii a spojitosti.

• Věta o nabývání mezihodnot.

• Věta o derivaci inverzní funkce

### Derivace

• Derivce jako limita podílu
• Značení - jednostranné deriváty
• Věta o vztahu spojitosti a derivace
• Derivace základních funkcí
• Aritmetika derivací
• Derivace složené funkce.

### Taylorovy polynomy

• Definice Taylorova polynomu: obecný tvar.

• Věta o Taylorově polynomu.

• Derivace Taylorova polynomu.

• Odhad chyby Taylorovy aproximace

• Taylorův rozvoj

• Důležité Taylorovy rozvoje

### Určitý integrál

• Geometrický smysl a motivace

• Dělení intervalu

• Integrální součty

• Srovnání horního a dolního součtu.

• Vliv jemnosti dělení

• Riemannův integrál

• Bezspojitosti

• Kritéria pro výpočet limit

• Věty o aritmetice limit

• Praktické použití limit

• l'Hospitalovo pravidlo

• Spojitost a derivace

• Jednostranné derivace v krajních bodech

• Hledání primitivních funkcí

• Praktické použití Taylora

• Použití l'Hospitala a LSF na posloupnosti,

• Odmocnové kritérium,

• Srovnávací limity posloupností.

• Přerovnání řad

• Neabsolutní konvergencia

• Pozorování k geometrickému významu

### Pracovní tipy

• Neváhejte při výpočtech určitých integrálů používat geometrické interpretace.
• Pokud je integrand složitější funkce, snažte se jej rozdělit na jednodušší části.
• Zkontrolujte, zda je integrand kladný (nebo záporný) a zda má omezené hodnoty.
• Využívejte vhodné substituce, aby se integrand zjednodušil.

Tento kvíz se zaměřuje na limity a vlastnosti různých typů funkcí, včetně monotonních funkcí. Odpovíte na otázky týkající se limit, množin čísel a kvantifikátorů. Ideální pro studenty matematiky, kteří chtějí prohloubit své znalosti o těchto tématech.