Matematika: Limity a funkce

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Jaká funkce nemá limitu v žádném bodě?

Trivální funkce

Dirichletova funkce (correct)

Monotonní funkce

Funkce s jednou limitou

Jakou vlastnost mají monotonní funkce v bodě a ∈ R?

Mají více limit v bodě

Nemají žádné limity

Mají alespoň jednu jednostrannou limitu (correct)

Jsou nerostoucí na celém definičním oboru

Co je pravda o limitech monotonně klesajících funkcí?

Mají limitu zleva rovnou supremu funkce

Nemají žádnou limitu

Mají limitu zleva rovnou infimum funkce (correct)

Mají limitu zprava rovnou infimum

Jaké funkce můžeme považovat za jisté, že mají v bodě a limitu?

Monotonní funkce Signup and view all the answers

Jaký typ limit se může vyskytovat u monotonní funkce?

Obě výše uvedené možnosti Signup and view all the answers

Jak lze určit limitu zleva u monotonní funkce?

Je dána supremem hodnoty funkce na levém okolí Signup and view all the answers

Jakou limitu má funkce, která není monotonní na žádném levém prstencovém okolí?

Nemá limitu Signup and view all the answers

Jaký je maximální počet limit, které může mít funkce v bodě a ∈ R?

Jedna Signup and view all the answers

Jaká je množina celých čísel Z?

{1, 2, 3,...} ∪ {0, -1, -2, -3,...} Signup and view all the answers

Které z následujících čísel je považováno za sudé?

8 Signup and view all the answers

Který z uvedených výroků je pravdivý ohledně sudých a lichých čísel?

Každé celé číslo je buď sudé, nebo liché. Signup and view all the answers

Jak se symbolicky zapisuje výrok 'Existuje právě jedno x ∈ M takové, že platí V(x)'?

∃!x ∈ M : V(x) Signup and view all the answers

Co je součástí množiny racionálních čísel Q?

Celá čísla Signup and view all the answers

Jaké operace jsou racionální čísla uzavřená?

Sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým prvkem Signup and view all the answers

Jaký symbol označuje obecný kvantifikátor?

∀ Signup and view all the answers

Jaký výraz je výroková forma, pokud M1, M2 jsou množiny a x1, x2 jsou proměnné z těchto množin?

x1 + x2 je sudé číslo Signup and view all the answers

Jaká je limita funkce g(x) za podmínky, že lim f(x) = lim h(x) = L?

lim g(x) = L Signup and view all the answers

Co platí pro lim g(x), pokud je funkce f omezená a lim g(x) = 0?

lim f(x)g(x) = 0 Signup and view all the answers

Jaká je hodnota lim sin x, když x → 0?

0 Signup and view all the answers

Jaký je výsledek limity arctg xx − cos(x2 + 3) / (x − 4) při x → 4?

neexistuje Signup and view all the answers

Co se stane, pokud lim f(x) = ∞ a f(x) ≤ g(x)?

lim g(x) = ∞ Signup and view all the answers

Co znamená, pokud funkce g(x) je mezi dvěma funkcemi f(x) a h(x) a obě mají stejnou limitu?

g(x) má stejnou limitu jako f(x) a h(x) Signup and view all the answers

Jak se určuje limita výrazu, pokud se x blíží k nekonečnu pro funkci v podobě x^2 + (x + 3)sin x?

Je třeba zohlednit růstovou rychlost funkce Signup and view all the answers

Jaký je výsledek funkce sinus pro argument $x + rac{ ext{π}}{2}$?

$ ext{cos}(x)$ Signup and view all the answers

Jaká je perioda funkcí tangens a kotangens?

π Signup and view all the answers

Kdy je funkce tangens rovna nule?

Když $x$ je $k ext{π}$ pro $k ext{∈ Z}$ Signup and view all the answers

Jaký je hlavní princip přímého důkazu?

Důkaz se realizačními kroky vyvozuje z předpokladu. Signup and view all the answers

Kdy je funkce kotangens klesající?

Na intervalu $(k ext{π}, (k+1) ext{π})$ Signup and view all the answers

Co zahrnuje konstruktivní důkaz pro tvrzení typu ∃ x ∈ M : V(x)?

Znalezení konkrétního případu, který tvrzení splňuje. Signup and view all the answers

Jaká je hodnota $sin(2x)$?

$2 ext{sin}(x) ext{cos}(x)$ Signup and view all the answers

Jaký je rozdíl mezi konstruktivním a nekonstruktivním důkazem?

Konstruktivní důkaz dokazuje existenci pomocí specifického příkladu. Signup and view all the answers

Jakým způsobem je definována funkce cotangens?

$rac{ ext{cos}(x)}{ ext{sin}(x)}$ Signup and view all the answers

Jaké vlastnosti mají funkce tangens a kotangens?

Jsou obě periodicové s obdobnou periodou Signup and view all the answers

Jaký postup je typický pro nepřímý důkaz?

Předpokládáme negaci závěru a pokoušíme se dokázat předpoklad. Signup and view all the answers

Co platí o funkci sinus na intervalu $(-rac{π}{2}, rac{π}{2})$?

Je rostoucí Signup and view all the answers

Co znamená důkaz sporem?

Předpoklad, že neplatí, a dosažení sporu. Signup and view all the answers

Co představuje výraz (P ⇒ Z) ⇔ (¬Z ⇒ ¬P)?

Ekvivalenci mezi přímým a nepřímým důkazem. Signup and view all the answers

Jak se dokazuje tvrzení typu ∀ x ∈ M : V(x)?

Výběrem náhodného prvku a prokazováním specifického případu. Signup and view all the answers

Co znamená, že důkaz je nekonstruktivní?

Existence prvku není dokázána konkrétním příkladem. Signup and view all the answers

Jaký je hlavní cíl důkazu pomocí sporu?

Dokázat, že P implikuje Z. Signup and view all the answers

Co je prvním krokem při důkazu matematickou indukcí?

Dokážeme, že platí V(1). Signup and view all the answers

Co říká Bernoulliho nerovnost pro všechna x ≥ -1?

(1 + x)^n ≥ 1 + nx. Signup and view all the answers

Co je kartézský součin dvou množin X a Y?

Množina dvojic (x, y), kde x ∈ X a y ∈ Y. Signup and view all the answers

Kdy platí, že X × Y = Y × X?

Pokud X = Y. Signup and view all the answers

Jaký je výsledek kartézského součinu I × I, kde I = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}?

Množina uspořádaných dvojic, kde obě složky jsou v intervalu <0, 1>. Signup and view all the answers

Co je binární relace na X × Y?

Podmnožina kartézského součinu X × Y. Signup and view all the answers

Jaká je podmínka pro pokles Bernoulliho nerovnosti na x ≥ -2?

Není žádná další podmínka. Signup and view all the answers

Study Notes

### Matematická analýza 1 - Přednáška

Přednášku drží Martin Křepela z Katedry matematiky FEL ČVUT
Aktuální verze z 7. ledna 2025
Cílová skupina: studenti na zimní semestr 2024/2025
Přednáška se týká matematické analýzy 1
Základní téma je matematická analýza
"Nevěřte všemu, co si přečtete na internetu." - Abraham Lincoln (citováno na prvním snímku prezentace)

### Co je matematická analýza?

„Analýza“ je jen název
Jedná se o matematiku spojitého světa
Pracuje s nekonečnem
Zahrnuje limity, derivace a integrály

### Použití matematické analýzy

Popisuje procesy založené na spojité změně, diferenciální rovnice
Fyzika (nejstarší motivace)
Optimalizace (hledání maxima, nejlepšího řešení)
Aproximace (hledání přibližné hodnoty)
Matematické modelování

### Organizace předmětu

Přednášky: Úterý 14:30–16:00, posluchárna 209; Středa 16:15–17:45, posluchárna 256. Účast nepovinná, ale doporučená.
Cvičení: Počítání a dokazování. Viz osobní rozvrh. Účast povinná.
Proseminář: Středa 18:00–19:30, posluchárna 256 (týdny 1–8); Úterý 16:15–17:45, posluchárna 209 (týdny 9–14). Účast nepovinná, samostatný předmět (2 kredity).

### Literatura

Hlavní zdroj: Skripta od J. Tkadlece: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. ČVUT, Praha, 2011.
Skripta 4 jezdců z Apokalypsy (MFF UK).
Klasické učebnice matematické analýzy (velmi detailní, starší přístup).
Interaktivní Math Tutor.
Další učebnice kalkulu.

### Hodnocení

Zápočet ze cvičení (aktivita, domácí úkoly)
Písemná část zkoušky (početní i teoretické úlohy)
Ústní část zkoušky (klíčové pojmy, teoretické úlohy)
Pro absolvování je potřeba splnit bod (3)
Splnění bodu (n) je nutné pro splnění bodu (n+1), kde n ∈ {1,2}

### Základní pojmy - Elementární výroková logika

Výrok: Je tvrzení (oznamovací věta), o kterém má smysl říci, zda je pravdivé/nepravdivé
Příklady: "Číslo 6 je sudé.", "Brno leží v Čechách"
Není výrok: "Bang!" , "Kéž by už bylo 16:00."

### Základní pojmy - Množiny

Množina: Libovolný souhrn navzájem různých objektů
Prvek: Objekt v množině
Značení: x∈ M (x je prvkem M); x∉ M (x není prvkem M)
Prázdná množina: Ø (množina bez prvků)
Značení více prvků: x₁, x₂∈ M (x₁, x₂ jsou prvky M)
Podmnožina: P⊂M (každý prvek z P je zároveň prvkem z M)
Vlastní podmnožina: P⊂M (P je podmnožinou M a P se nerovná M)
Značení pro množiny: {n² | k ∈ N}

### Množinové operace

Sjednocení (∪): M ∪ N = {x | x ∈ M nebo x ∈ N}
Průnik (∩): M ∩ N = {x | x ∈ M a x ∈ N}
Rozdíl (): M \ N = {x | x ∈ M a x ∉ N}
Disjunktní množiny: M∩ N = Ø

### Přírozená, celá a racionální čísla

Přirozená čísla (N): {1, 2, 3, ...}
Celá čísla (Z): {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Racionální čísla (Q): {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}

### Parita celých čísel

Sudá čísla: z = 2k, k ∈ Z
Lichá čísla: z = 2k + 1, k ∈ Z

### Kvantifikátory

Univerzální kvantifikátor (∀): „pro každé“
Existenční kvantifikátor (∃): "existuje"
Existenční kvantifikátor s jedinečností (∃!): „existuje právě jedno“

### Řetězení kvantifikátorů

Pořadí kvantifikátorů stejného typu lze zaměnit.
Pořadí různých kvantifikátorů nelze zaměnit bez změny významu.

### Další zkrácené značení

Krátké značení pro výroky s kvantifikátory. Věty týkající se zkráceného značení.

### Zápis neexistence

Zapisování výroků, které vyjadřují neexistenci prvku splňujícího danou vlastnost.

### Matematická teorie

Definice, axiomy, věty a jejich důkazy (konstrukce teorie)

### Definice

Definice jsou názvy/označení objektů/vlastností.

### Axiomy

Axiomy jsou tvrzení, která přijímáme bez důkazu jako pravdu.

### Věty

Věty jsou tvrzení odvozená z axiomů a definic.

### Důkazy

Logické vyvozování závěrů z předpokladů pomocí axiomů a dříve dokázaných vět.

### Základní typy důkazů

Přímý důkaz: Předpoklad → krok 1 → krok 2... → závěr
Důkaz sporem: Předpoklad → (důkaz vede k sporu) → závěr
Matematická indukce: Dokazujeme V(1). Předpokládáme V(n) → dokaz V(n+1) → závěr.

### Přímý důkaz

Metody přímého dokazování tvrzení.
Volba libovolného prvku x a odvození výsledku.
Přidání konkrétního příkladu k demonstraci.
Konstruktivní vs. nekonstruktivní důkaz.

### Nepřímý důkaz

Vypsání ekvivalence, demonstrace správnosti.
Zadej konkrétní příklad.

### Důkaz sporem

Demonstrace, že předpoklad vede ke sporu, což dokazuje pravost závěru.
Konkrétní příklad.

### Důkaz matematickou indukcí

Důkaz tvrzení aplikováním metody matematickou indukcí.
Zadej konkrétní příklad.

### Prostor spojitých funkcí

Definice a vlastnosti spojitých funkcí.
Základní vlastnosti spojitých funkcí - vzorce týkající se spojitých funkcí.
Věta: S monotoní posloupností má limitu.
Věta: Její limitou je inf (nebo sup) číselné řady
Důležitá věta: Každá spojitá funkce definovaná na uzavřeném intervalu má minimum a maximum.
Žádný z předpokladů nelze vynechat.

### Asymptoty

Definice asymptot: vertikální a šikmé.

### Reálné intervaly

Otevřené intervaly
Uzavřené intervaly
Polootevřené intervaly

### Vnitřní body intervalu

Body intervalu, které nejsou krajními body.

### Racionální funkce

Vlastnosti a definice racionálních funkcí.

### Charakteristická funkce

Charakteristická funkce množiny.

### Znaménková funkce

Definice znaménkové funkce. Vlastnosti.

### Maximum jako funkce

Definice a vlastnosti maxima jako funkce.

### Exponenciála a logaritmus

Exponenciální funkce.
Přirozený logaritmus.
Obecná exponenciála.
Obecná mocnina.

### Goniometrické a cyklometrické funkce

Sinus, kosinus, tangens, kotangens
Arkus sinus, arkus kosinus - Arkus tangens, arkus kotangens.

### Hyperbolické a hyperbolometrické funkce

Popis a interpretace.

### Eulerova identita

Vzorec pro Eulerovu identitu: e^(ix) = cos(x)+i sin(x)
Důkazy a vztahy.

### Limita a spojitost funkce

Limity a spojitost funkcí - jednostranné limity.
Vlastnosti a kritéria pro výpočet limit funkcí.
Monotonie vs. limity
Limity konstant a posloupností.
Věta o limitě složené funkce.

### Aritmetika Limit

Aritmetika limit - různé výpočty.
Použití věty o limitě složené funkce.
Aritmetika neexistujících limit
Odhady vs. limity
Použití Taylorovy věty (odhad chyby a výpočet).

### Posloupnosti

Posloupnost: posloupnost reálných čísel
Zobrazení množiny přirozených čísel do reálného pole R.
Značení (an)nen a (n)=1.a_n).
Děj při výpočtech s limity
Aritmetika posloupností.
Základní kritéria konvergence.
Konvergence dalších důležitých řad
Posloupnosti bez limity
Vztahy mezi limitami funkcí a posloupností
Podílové kritérium
Limitní podílové kritérium.
Odvození věty o monotonii posloupností s limitou.

### Spojité funkce

Definice spojitosti funkce v bodě a na intervalu
Související věty - různé podmínky
Důležité vlastnosti spojitých funkcí.
Prostor spojitých funkcí
Věty o monotonii a spojitosti.
Věta o nabývání mezihodnot.
Věta o derivaci inverzní funkce

### Derivace

Derivce jako limita podílu
Značení - jednostranné deriváty
Věta o vztahu spojitosti a derivace
Derivace základních funkcí
Aritmetika derivací
Derivace složené funkce.

### Taylorovy polynomy

Definice Taylorova polynomu: obecný tvar.
Věta o Taylorově polynomu.
Derivace Taylorova polynomu.
Odhad chyby Taylorovy aproximace
Taylorův rozvoj
Důležité Taylorovy rozvoje

### Určitý integrál

Geometrický smysl a motivace
Dělení intervalu
Integrální součty
Srovnání horního a dolního součtu.
Vliv jemnosti dělení
Riemannův integrál
Bezspojitosti
Kritéria pro výpočet limit
Věty o aritmetice limit
Praktické použití limit
l'Hospitalovo pravidlo
Spojitost a derivace
Jednostranné derivace v krajních bodech
Hledání primitivních funkcí
Praktické použití Taylora
Použití l'Hospitala a LSF na posloupnosti,
Odmocnové kritérium,
Srovnávací limity posloupností.
Přerovnání řad
Neabsolutní konvergencia
Pozorování k geometrickému významu

### Pracovní tipy

Neváhejte při výpočtech určitých integrálů používat geometrické interpretace.
Pokud je integrand složitější funkce, snažte se jej rozdělit na jednodušší části.
Zkontrolujte, zda je integrand kladný (nebo záporný) a zda má omezené hodnoty.
Využívejte vhodné substituce, aby se integrand zjednodušil.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Tento kvíz se zaměřuje na limity a vlastnosti různých typů funkcí, včetně monotonních funkcí. Odpovíte na otázky týkající se limit, množin čísel a kvantifikátorů. Ideální pro studenty matematiky, kteří chtějí prohloubit své znalosti o těchto tématech.