गणित कक्षा 10: वास्तविक संख्याएं
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Questions and Answers

एक संकर्श्ट संख्या क्या है? क्या इसकी एक उदाहरण दे सकते हैं?

एक संख्या जिसे भवन पूर्णांक के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, π एक संकर्श्ट संख्या है।

यदि a और b दो संख्याएं हैं, तो Euclid's Division Lemma के अनुसार a = bq + r की अवधारणा का वर्णन करें।

a = bq + r, जहां q और r पूर्णांक हैं और 0 ≤ r < b है।

एक बहुपद की परिभाषा दें और इसके प्रकारों का वर्णन करें।

एक बहुपद एक अभिव्यक्ति है जिसमें चर और गुणांक को केवल जोड़, घटाव और गुणा के द्वारा संयोजित किया जाता है। इसके प्रकार मोनोमियल, बिनोमियल और ट्रिनोमियल हैं।

एक बहुपद के शून्य क्या है? Remainder Theorem के साथ इसका संबंध बताएं。

<p>एक बहुपद का शून्य वह मूल्य है जिसके लिए बहुपद शून्य हो जाता है। यदि p(x) एक बहुपद है और p(a) = 0, तो (x - a) बहुपद का एक गुणनखंड है।</p> Signup and view all the answers

एक सूत्र के दो चर के लिए रैखिक समीकरण युग्म की परिभाषा दें और इसके हल के तरीकों का वर्णन करें।

<p>एक सूत्र के दो चर के लिए रैखिक समीकरण युग्म दो रैखिक समीकरण हैं, जहां प्रत्येक समीकरण ax + by = c के रूप में होता है। इसके हल के तरीके रेखीय विधि, प्रतिस्थापन विधि और नाश विधि हैं।</p> Signup and view all the answers

एक रैखिक समीकरण युग्म के लिए संगती और असंगती प्रणाली की परिभाषा दें।

<p>एक रैखिक समीकरण युग्म संगत है, यदि इसका हल होता है, और असंगत है, यदि इसका कोई हल नहीं होता है।</p> Signup and view all the answers

महान संख्या प्रमेय का वर्णन करें।

<p>महान संख्या प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक संकर्श्ट संख्या का गुणनखंड प्रमुख संख्याओं के रूप में होता है, जिनका क्रम भिन्न हो सकता है।</p> Signup and view all the answers

एक बहुपद के शून्य का निर्धारण करने के लिए Factor Theorem का उपयोग कैसे किया जाता है?

<p>यदि (x - a) एक बहुपद का गुणनखंड है, तो p(a) = 0 होता है। यह Factor Theorem है।</p> Signup and view all the answers

यदि a और b दो संख्याएं हैं, तो a = bq + r में, r का मान क्या होगा?

<p>0 ≤ r &lt; b</p> Signup and view all the answers

एक बहुपद प(x) के शून्य के लिए, (x - a) क्या है?

<p>एक कारक</p> Signup and view all the answers

एक रैखिक समीकरण युग्म के लिए, यदि a1/a2 ≠ b1/b2 है, तो समीकरण क्या है?

<p>असंगत</p> Signup and view all the answers

एक बहुपद प(x) के लिए, यदि प(a) = 0 है, तो (x - a) क्या है?

<p>एक कारक</p> Signup and view all the answers

दो चर x और y के लिए, एक रैखिक समीकरण युग्म का स्वरूप क्या है?

<p>a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0</p> Signup and view all the answers

द्विघात समीकरण के मूल क्या होते हैं?

<p>वे मान जिनके लिए समीकरण सत्य होता है</p> Signup and view all the answers

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म के लिए समाधान की संख्या क्या हो सकती है?

<p>सभी उपर्युक्त</p> Signup and view all the answers

त्रिकोणमिति में trigonometric ratios का उपयोग कहां किया जाता है?

<p>समकोण त्रिभुज के कोणों के लिए</p> Signup and view all the answers

क्रॉस मल्टिप्लिकेशन विधि का उपयोग कहां किया जाता है?

<p>रैखिक समीकरण युग्म के हल के लिए</p> Signup and view all the answers

एक द्विघात समीकरण के मूल का सूत्र क्या है?

<p>x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Real Numbers

  • Euclid's Division Lemma: For any two positive integers a and b, there exist unique integers q and r such that a = bq + r, where 0 ≤ r < b.
  • Fundamental Theorem of Arithmetic: Every composite number can be expressed as a product of prime numbers in a unique way, except for the order in which they are arranged.
  • Irrational Numbers: Cannot be expressed as a ratio of integers (e.g., π, e).
  • Properties of Real Numbers:
    • The sum of a rational and an irrational number is irrational.
    • The product of a non-zero rational and an irrational number is irrational.
    • The sum of two irrationals can be rational or irrational.
    • The product of two irrationals can be rational or irrational.

Polynomials

  • Definition: An expression consisting of variables and coefficients combined using only addition, subtraction, and multiplication.
  • Types of Polynomials:
    • Monomials: Polynomials with one term (e.g., 3x^2).
    • Binomials: Polynomials with two terms (e.g., 2x + 3).
    • Trinomials: Polynomials with three terms (e.g., x^2 + 2x + 1).
  • Zeroes of a Polynomial: The values of the variable that make the polynomial equal to zero.
  • Remainder Theorem: If p(x) is a polynomial and p(a) = 0, then (x - a) is a factor of p(x).
  • Factor Theorem: If (x - a) is a factor of p(x), then p(a) = 0.

Pair of Linear Equations in Two Variables

  • Definition: A system of two linear equations with two variables, where each equation is of the form ax + by = c.
  • Methods of Solution:
    • Graphical Method: The point of intersection of the two lines represents the solution.
    • Substitution Method: Substitute the value of one variable from one equation into the other equation.
    • Elimination Method: Eliminate one variable by making the coefficients of that variable equal and opposite in both equations.
  • Consistent and Inconsistent Systems: A system is consistent if it has a solution, and inconsistent if it has no solution.

Quadratic Equations

  • Definition: A polynomial equation of degree two, of the form ax^2 + bx + c = 0.
  • Quadratic Formula: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.
  • Nature of Roots: The roots can be real and distinct, real and equal, or imaginary.
  • Graph of a Quadratic Equation: A parabola that opens upwards or downwards.

Introduction to Trigonometry

  • Angles: Measured in degrees, radians, or gradients.
  • Trigonometric Ratios:
    • Sine (sin): Opposite side / Hypotenuse.
    • Cosine (cos): Adjacent side / Hypotenuse.
    • Tangent (tan): Opposite side / Adjacent side.
  • Trigonometric Identities:
    • Pythagorean Identity: sin^2(A) + cos^2(A) = 1.
    • tan(A) = sin(A) / cos(A).

वास्तविक संख्याएं

  • यूक्लिड का विभाजन सिद्धांत: किसी दो धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए, अनन्य पूर्णांक q और r ऐसे हैं कि a = bq + r, जहां 0 ≤ r < b.
  • मूलभूत अंकगणित सिद्धांत: प्रत्येक संयोजन संख्या को प्राथमिक संख्याओं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें व्यवस्था का क्रम अलग हो सकता है.
  • तर्कहीन संख्याएं: पूर्णांक के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं (उदाहरण के लिए, π, e).
  • वास्तविक संख्याओं के गुण:
    • एक तर्कहीन और एक पूर्णांक का योग तर्कहीन है.
    • एक गैर-शून्य पूर्णांक और एक तर्कहीन संख्या का गुणनफल तर्कहीन है.
    • दो तर्कहीन संख्याओं का योग तर्कहीन या पूर्णांक हो सकता है.
    • दो तर्कहीन संख्याओं का गुणनफल तर्कहीन या पूर्णांक हो सकता है.

बहुपद

  • परिभाषा: चर और गुणांकों को केवल जोड़, घटाव और गुणन द्वारा संयोजित एक अभिव्यक्ति.
  • बहुपद के प्रकार:
    • एकचर बहुपद: एक शब्द वाला बहुपद (उदाहरण के लिए, 3x^2).
    • द्विचर बहुपद: दो शब्द वाला बहुपद (उदाहरण के लिए, 2x + 3).
    • त्रिचर बहुपद: तीन शब्द वाला बहुपद (उदाहरण के लिए, x^2 + 2x + 1).
  • बहुपद के शून्य: चर के वह मान जिन पर बहुपद शून्य हो जाता है.
  • अवशेष प्रमेय: यदि p(x) एक बहुपद है और p(a) = 0, तो (x - a) p(x) का एक गुणनफल है.
  • गुणनफल प्रमेय: यदि (x - a) p(x) का एक गुणनफल है, तो p(a) = 0.

दो चरों में रेखीय समीकरण का युग्म

  • परिभाषा: दो चरों के साथ दो रेखीय समीकरण, जहां प्रत्येक समीकरण ax + by = c के रूप में है.
  • समाधान के तरीके:
    • चित्रण विधि: दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद का बिंदु समाधान का प्रतिनिधित्व करता है.
    • स्थानांतरण विधि: एक चर का मान एक समीकरण से दूसरे समीकरण में स्थानांतरित करें.
    • समाप्ति विधि: दोनों समीकरणों में एक चर का गुणांक समान करें और दूसरे चर के गुणांक को समान और विपरीत करें.

द्विघात समीकरण

  • परिभाषा: डिग्री दो का बहुपद समीकरण, जिसका रूप ax^2 + bx + c = 0 है.
  • द्विघात सूत्र: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.
  • मूल की प्रकृति: मूल thực और अलग हो सकते हैं, या समान हो सकते हैं, या काल्पनिक हो सकते हैं.
  • द्विघात समीकरण का आलेख: ऊपर या नीचे खुलता हुआ परवलय.

त्रिकोणमिति का परिचय

  • कोण: डिग्री, रेडियन, या ग्रेड की इकाइयों में मापा जाता है.
  • त्रिकोणमितीय अनुपात:
    • साइन (sin): विपरीत भुजा / कर्ण.
    • कोसाइन (cos): पार्श्व भुजा / कर्ण.
    • टैंजंट (tan): विपरीत भुजा / पार्श्व भुजा.
  • त्रिकोणमितीय पहचान:
    • पाइथागोरस पहचान: sin^2(A) + cos^2(A) = 1.
    • tan(A) = sin(A) / cos(A).

वास्तविक संख्याएं

  • यूक्लिड का विभाजन लेम्मा :任 दो धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए, एक-of-a-kind पूर्णांक q और r हैं, जहाँ a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r &lt; b है।
  • मौलिक प्रमेय ऑफ आरिथमेटिक : प्रत्येक संयोजक संख्या को अद्वितीय रूप से प्राइम संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, trừ कि प्राइम फैक्टरों के क्रम में हो।
  • अपरिमेय संख्याएं : संख्याएं जिन्हें p/q रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 हैं।
  • वास्तविक संख्याओं के गुण :
    • बंदता गुण : दो वास्तविक संख्याओं का योग या गुणनफल हमेशा एक वास्तविक संख्या होता है।
    • विनिमेय गुण : वास्तविक संख्याओं का क्रम परिवर्तन से योग या गुणनफल में कोई परिवर्तन नहीं आता।
    • संयोजक गुण : वास्तविक संख्याओं के योग या गुणनफल में क्रम परिवर्तन से कोई परिवर्तन नहीं आता।
    • वितरण गुण : a(b + c) = ab + ac वास्तविक संख्याओं a, b, और c के लिए होता है।

बहुपद

  • बहुपद : एक अभिव्यक्ति जिसमें चर और गुणांक केवल जोड़, घटाव, और गुणन से संयोजित होते हैं।
  • बहुपद की डिग्री : चर की उच्चतम शक्ति जिसके बहुपद में आती है।
  • बहुपद के प्रकार :
    • एकांक बहुपद : एक टर्म वाला बहुपद।
    • द्विपद बहुपद : दो टर्म वाला बहुपद।
    • त्रिपद बहुपद : तीन टर्म वाला बहुपद।
  • बहुपद के शून्य बिंदु : चर के मान जिनके लिए बहुपद शून्य हो जाता है।
  • शेष प्रमेय : यदि p(x) डिग्री n का बहुपद है और p(a) = 0 है, तो (x - a) p(x) का फैक्टर है।

द्विवरीय रेखीय समीकरण का जोड़ा

  • रेखीय समीकरण : चर की उच्चतम शक्ति 1 वाला समीकरण।
  • द्विवरीय रेखीय समीकरण का जोड़ा : दो रेखीय समीकरण जिनमें दो चर हैं, a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 के रूप में व्यक्त होते हैं।
  • द्विवरीय रेखीय समीकरण के हल के तरीके :
    • प्रतिस्थापन विधि
    • उन्मूलन विधि
    • क्रॉस-गुणनफल विधि
  • संगत, असंगत, और आश्रित प्रणाली : द्विवरीय रेखीय समीकरण की प्रणाली संगत (एक-of-a-kind हल होता है), असंगत (कोई हल नहीं होता), या आश्रित (अनंत हल होते हैं) हो सकती है।

द्विघात समीकरण

  • द्विघात समीकरण : डिग्री 2 का बहुपद समीकरण, ax^2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त होता है, जहाँ a, b, और c स्थिरांक हैं।
  • द्विघात समीकरण के मूल : चर के मान जिनके लिए द्विघात समीकरण शून्य हो जाता है।
  • मूल निकालने का सूत्र : x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
  • मूल की प्रकृति : मूल वास्तविक और पृथक, वास्तविक और समान, या काल्पनिक हो सकते हैं।

त्रिकोणमिति का परिचय

  • त्रिकोणमितीय अनुपात : समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात, जैसे साइन, कोसाइन, और टेंजेंट।
  • त्रिकोणमितीय समीकरण : त्रिकोणमितीय अनुपातों के समीकरण जो सभी कोणों के लिए सत्य हैं, जैसे sin^2(A) + cos^2(A) = 1।
  • कोण योग और अंतर समीकरण : कोणों के योग और अंतर के समीकरण, जैसे sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)।
  • त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग : त्रिकोणमिति समकोण त्रिभुज की समस्याओं के समाधान में प्रयुक्त होती है, जैसे ऊंचाई और दूरी निकालने में होती है।

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Quiz Team

Description

इस क्विज़ में यूक्लिड के विभाजन लेम्मा से लेकर अविभाज्य संख्याओं तक वास्तविक संख्याओं से संबंधित अवधारणाओं का परीक्षण किया जाएगा. गणित कक्षा 10 के छात्रों के लिए उपयोगी.

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